Autor Tema: ¿Es \(x=56\) una de las 6 soluciones principales de \(78x\equiv84\pmod{102}\)?

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24 Diciembre, 2018, 08:06 am
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manooooh

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Hola!

Indicar el valor de verdad de "\(x=56\) es una de las \(6\) soluciones principales de \(78x\equiv84\pmod{102}\)" demostrando o justificando.



Verdadero. Prueba. Por un conocido teorema, como \(\gcd{\{78,102\}}=6\) y \(6\mid84\) entonces la ecuación de congruencia dada tiene \(6\) soluciones principales en \(\Bbb Z_{102}\).

Para probar que \(x=56\) es una solución debemos resolver \(56\cdot78=4368\pmod{102}\). Notemos que \(4368=2^4\cdot3\cdot7\cdot13\). Luego \[112\cdot3\cdot13\equiv10\cdot3\cdot13\equiv28\cdot3=84\pmod{102},\] y así queda demostrado.

¿Es correcto?

Gracias!
Felices fiestas

EDITADO. Gracias a hméndez

24 Diciembre, 2018, 01:18 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola!

Indicar el valor de verdad de "¿Es \(x=56\) una de las \(6\) soluciones principales de \(78x\equiv84\pmod{102}\)?" demostrando o justificando.



Verdadero. Prueba. Por un conocido teorema, como \(\gcd{\{78,102\}}=6\) y \(6\mid84\) entonces la ecuación de congruencia dada tiene \(6\) soluciones principales en \(\Bbb Z_{102}\).

Para probar que \(x=56\) es una solución debemos resolver \(56\cdot78=4368\pmod{102}\). Notemos que \(4368=2^4\cdot3\cdot7\cdot13\). Luego \[112\cdot3\cdot13\equiv10\cdot3\cdot13\equiv28\cdot3=84\pmod{102},\] y así queda demostrado.

¿Es correcto?

Gracias!
Felices fiestas

Yo creo que ahí, como te piden el valor de verdad, basta con comprobar la cuenta (78*56) % 102 para ver si el resto sale 84 (valdría con calculadora o dividiendo a mano). No hace falta más que saber interpretar qué quiere decir la congruencia, sin aludir necesidad de aludir a teoremas, descomponer números ni nada.

Ah, que te piden justificar o demostrar, ni lo había visto, perdona.

Feliz Navidad otra vez.

24 Diciembre, 2018, 02:39 pm
Respuesta #2

hméndez

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Hola!

Indicar el valor de verdad de "¿Es \(x=56\) una de las \(6\) soluciones principales de \(78x\equiv84\pmod{102}\)?" demostrando o justificando.



Verdadero. 

...

manooooh :o, algo que choca, si preguntas por un valor de verdad, lo correcto es que sea de una proposición; por lo menos
supime los signos de interrogación.

Saludos

Feliz Navidad

24 Diciembre, 2018, 08:36 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Yo creo que ahí, como te piden el valor de verdad, basta con comprobar la cuenta (78*56) % 102 para ver si el resto sale 84 (valdría con calculadora o dividiendo a mano). No hace falta más que saber interpretar qué quiere decir la congruencia, sin aludir necesidad de aludir a teoremas, descomponer números ni nada.

Creo que con mostrar o desmentir que \( x=56 \) es solución no basta, porque el enunciado agrega "es una de las 6 soluciones". Por ejemplo, si efectivamente \( x=56 \) es solución pero encontramos que hay \( 8 \) soluciones principales entonces la proposición es falsa.

Ah, que te piden justificar o demostrar, ni lo había visto, perdona.

¿Qué querés decir con eso, que lo tengo mal? Pues ahora me hacés dudar. Yo creo que si nos pidiesen probar o justificar si \( x=2 \) es solución de \( x-2=0 \) pues es suficiente con reemplazar el valor en la ecuación: \( 2-2=0 \), y así \( x=2 \) es solución. Ya está probado. (No es un buen ejemplo porque faltaría una condición más -en nuestro caso ver si hay 6 soluciones-).

Saludos

24 Diciembre, 2018, 08:37 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

manooooh :o, algo que choca, si preguntas por un valor de verdad, lo correcto es que sea de una proposición; por lo menos
supime los signos de interrogación.

Gracias! Ya está correctamente escrito.

Por favor, ¿podrías corregir la "prueba"?

Felices fiestas

25 Diciembre, 2018, 03:09 am
Respuesta #5

feriva

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Ah, que te piden justificar o demostrar, ni lo había visto, perdona.

¿Qué querés decir con eso, que lo tengo mal?

No. Simplemente que creí que te pedían sólo que dijeras si era falso o verdadero y que, con eso, te bastaba simplemente hacer la cuenta “para tus adentros” y contestar “verdadero”. No había leído el final del enunciado o no me había fijado.

Saludos.

25 Diciembre, 2018, 10:38 am
Respuesta #6

Fernando Revilla

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Creo que con mostrar o desmentir que \( x=56 \) es solución no basta, porque el enunciado agrega "es una de las 6 soluciones". Por ejemplo, si efectivamente \( x=56 \) es solución pero encontramos que hay \( 8 \) soluciones principales entonces la proposición es falsa.

Efectivamente, no basta. Por un conocido teorema, si \( ax\equiv b\; (\text{mod }n) \) cumple \( d=\text{mcd }(a,n)\mid b \) entonces la ecuación tiene exactamente \( d \) soluciones en \( \left\{{0,1,2,\ldots, n-1}\right\} \). En nuestro caso, \( d=6 \), \( n-1=101 \) y \( 56\in \left\{{0,1,2,\ldots, 101}\right\} \) es solución, en consecuencia la proposición dada es verdadera.

26 Diciembre, 2018, 06:04 am
Respuesta #7

manooooh

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Hola

(...) Por un conocido teorema, si \( ax\equiv b\; (\text{mod }n) \) cumple \( d=\text{mcd }(a,n)\mid b \) entonces la ecuación tiene exactamente \( d \) soluciones en \( \left\{{0,1,2,\ldots, n-1}\right\} \). En nuestro caso, \( d=6 \), \( n-1=101 \) y \( 56\in \left\{{0,1,2,\ldots, 101}\right\} \) es solución, en consecuencia la proposición dada es verdadera.

Elegante :). Supongo que usás el mismo teorema que utilicé pero "concluís más rápido", al notar que \( 56\in\Bbb Z_{102}=\{0,1,\dots,101\} \).

Sin embargo no entiendo esa conclusión: si ahora suponemos que nos preguntan por si \( x=1 \) es una de las 6 soluciones de \( 78x\equiv84\pmod{102} \) tendríamos que \( x=1\in\{0,1,\dots,101\} \) pero \( 78\cdot1=78\neq84\equiv\pmod{102} \). ¿Qué no estoy viendo? ???




¿Qué hay de mi prueba?:

Verdadero. Prueba. Por un conocido teorema, como \(\gcd{\{78,102\}}=6\) y \(6\mid84\) entonces la ecuación de congruencia dada tiene \(6\) soluciones principales en \(\Bbb Z_{102}\).

Para probar que \(x=56\) es una solución debemos resolver \(56\cdot78=4368\pmod{102}\). Notemos que \(4368=2^4\cdot3\cdot7\cdot13\). Luego \[112\cdot3\cdot13\equiv10\cdot3\cdot13\equiv28\cdot3=84\pmod{102},\] y así queda demostrado.

Gracias y felices fiestas

EDIT. No me fijé que decías "\( 56\in\{0,\dots,101\} \) es solución", por lo que supongo que habrás hecho lo mismo que yo para comprobar que \( x=56 \) es solución de la ecuación de congruencia (porque mágicamente no se puede probar :laugh: :laugh:).

26 Diciembre, 2018, 07:01 am
Respuesta #8

Fernando Revilla

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EDIT. No me fijé que decías "\( 56\in\{0,\dots,101\} \) es solución", por lo que supongo que habrás hecho lo mismo que yo para comprobar que \( x=56 \) es solución de la ecuación de congruencia (porque mágicamente no se puede probar :laugh: :laugh:).

No sé que hiciste. Para probar que \( x=56 \) es solución de \( 78x\equiv 84\; (\text{mod }102) \), basta que compruebes que \( 78\cdot 56-84 \) es múltiplo de \( 102 \) (así lo hice yo).


26 Diciembre, 2018, 07:02 am
Respuesta #9

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Hola

EDIT. No me fijé que decías "\( 56\in\{0,\dots,101\} \) es solución", por lo que supongo que habrás hecho lo mismo que yo para comprobar que \( x=56 \) es solución de la ecuación de congruencia (porque mágicamente no se puede probar :laugh: :laugh:).

No sé que hiciste. Para probar que \( x=56 \) es solución de \( 78x\equiv 84\; (\text{mod }102) \), basta que compruebes que \( 78\cdot 56-84 \) es múltiplo de \( 102 \) (así lo hice yo).

Lo que hice fue descomponer \( 78\cdot56 \) en factores primos para "trabajar más fácil", trabajando en congruencia módulo \( 102 \).

Saludos