[diegoariel]

Hola buen día, soy Diego y soy estudiante de física y tengo un problema que no puedo terminar de resolver, o más bien de verificar que está bien resuelto: Me dicen que hay una base de funciones \( B = {{1, x^2, 2^x}} \) y un subespacio S de funciones contínuas en \mathbb{}, luego una tira de datos \( T = {(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)} \) con \( x_i = i \); \( i=0,1,2 \). Con todo eso me piden:
a) Demostrar que B es una base del subespacio S y que \( \forall{} \) tira de datos \( T(x_i) \) existe una unica función p que pertenece a S tal que interpola a T.
b) Demostrar que existe el conjunto interno asociado tal que \( \left<{p,q}\right> = \displaystyle\sum_{i=0}^2{}{p(x_i)q(x_i)} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buen día, soy Diego y soy estudiante de física y tengo un problema que no puedo terminar de resolver, o más bien de verificar que está bien resuelto: Me dicen que hay una base de funciones \( B = {{1, x^2, 2^x}} \) y un subespacio S de funciones contínuas en \mathbb{}, luego una tira de datos \( T = {(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)} \) con \( x_i = i \); \( i=0,1,2 \). Con todo eso me piden:
a) Demostrar que B es una base del subespacio S y que \( \forall{} \) tira de datos \( T(x_i) \) existe una unica función p que pertenece a S tal que interpola a T.

Entiendo que \( S \) es el espacio generado por \( B=\{1,x^2,2^x\} \). Entonces para ver que son base del mismo tienes que probar que son independientes. Si has estudiado la teoría que lo sustenta lo puedes demostrar usando el Wronskiano.

En otro caso lo puedes hacer por definición. Tienes que ver que:

\( a\cdot 1+b\cdot x^2+d\cdot 2^x=0\qquad \Rightarrow{}\qquad a=b=c=0 \)

Para ello dale valores a \( x \), obtén varias ecuaciones lineales y concluye.

Para la segunda parte tienes que comprobar que el sistema de ecuaciones:

\( a_1+a_2\cdot x_0^2+a_3\cdot 2^{x_0}=y_0 \)
\( a_1+a_2\cdot x_1^2+a_3\cdot 2^{x_1}=y_1 \)
\( a_1+a_2\cdot x_2^2+a_3\cdot 2^{x_2}=y_2 \)

tiene solución única. Como \( x_i=i \), equivale a :

\( a_1=y_0 \)
\( a_1+a_2\cdot 1^2+a_3\cdot 2^1=y_1 \)
\( a_1+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^2=y_2 \)

Termina.

b) Demostrar que existe el conjunto interno asociado tal que \( \left<{p,q}\right> = \displaystyle\sum_{i=0}^2{}{p(x_i)q(x_i)} \)

Demuestra que la aplicación dada es bilineal y deifinida positiva.

Saludos.

[diegoariel]

Hola Luis muchas gracias por la respuesta, tengo algunas preguntas más sobre cosas que están como implícitas y yo no se si estoy haciendo del todo bien o más bien de qué manera están bien hechas. Basicamente mi duda es: para hallar que a, b, c tienen que ser cero para que \( 1 + bx^2 + c2^x = 0 \) vos decís obt´1n varias ecuaciones lineales y concluye, yo obtendría un sist y cómo concluiría que a, b, c tienen que ser cero ? le calculo el det y como da distinto de cero tiene que haber una única solución y como el sist es homogéneo entonces los coef deben ser cero o hay que justificar algo más ?

Finalmente masomenos lo mismo sucede en el siguiente punto, el det del sist no homogéneo da distinto de cero y por eso la sol es única y ya ?

Disculpame si fui un poco molesto y muchas gracias de nuevo

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis muchas gracias por la respuesta, tengo algunas preguntas más sobre cosas que están como implícitas y yo no se si estoy haciendo del todo bien o más bien de qué manera están bien hechas. Basicamente mi duda es: para hallar que a, b, c tienen que ser cero para que \( 1 + bx^2 + c2^x = 0 \) vos decís obt´1n varias ecuaciones lineales y concluye, yo obtendría un sist y cómo concluiría que a, b, c tienen que ser cero ? le calculo el det y como da distinto de cero tiene que haber una única solución y como el sist es homogéneo entonces los coef deben ser cero o hay que justificar algo más ?

Correcto.

Finalmente masomenos lo mismo sucede en el siguiente punto, el det del sist no homogéneo da distinto de cero y por eso la sol es única y ya ?

Bien.

Disculpame si fui un poco molesto y muchas gracias de nuevo

No eres molesto. Puedes preguntar cuantas veces quieras las dudas que tengas. Cuida, eso si, la escritura y la ortografía.

Saludos.