[sqrmatrix]

Saludos, lee_bran, y al resto de los participantes de este hilo.

Creo que hay una contradicción en tu demostración que te están explicando los demás participantes del foro y que no estás considerando. Espero poder aclararlo y que lo puedas ver.

2º) \( z< x+y \). Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \). Al afirmar que este polinomio es mayor que \( 0 \) para todo valor positivo de \( x \), como consecuencia del teorema fundamental del álgebra estamos afirmando que no tiene raíces reales en \( \mathbb{R^+} \)  ,(es decir que las soluciones del polinomio para  \( x \) no son reales) aunque sí podría tener hasta \( n-1 \) raíces complejas en esta semirrecta. Esto entra en contradicción con que la solución \( (x, y , z) \) tiene valores enteros positivos.

Supones que \( z^n=x^n+y^n \), que \( x \), \( y \), \( z \), \( n \), son enteros positivos, y que \( z<x+y \), y teniendo todo eso en cuenta, demuestras que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...>0 \), lo cual es cierto (basta darle valores positivos a cada variable para ver que se cumple siempre). Esto ya nos demuestra que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \), por lo que las soluciones del polinomio \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \), que utilizas como prueba de contradicción, no son aplicables a este caso, ya que has demostrado que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \).

Espero que esto te deje claro el fallo de tu demostración y que te están intentando explicar los demás participantes del hilo.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Y SI, dado que no encontró ningún punto débil donde atacar, al final basó su crítica en reducirla a los casos \( n=3 \) y \( n=2 \)

Cualquiera que lea el hilo puede ver que la crítica es general. Es la que acaba de apuntar sqrmatrix. En un momento dado quise poner un ejemplo de ella para \( n=3 \), simplmente por concretar la expresión del polinomio \( p(x) \). Por ejemplo para \( n=4 \),

\( p(x)=(x+y)^4-x^4-y^4=4x^3y+6x^2y^2+4xy^3 \)

y obviamente no es el polinomio cero, como en un momento dado afirmaste.

porque es la respuesta estándar que da a los que intentan demostrar el teorema dado que como ha reconocido en alguna ocasión,

Si realmente has leído las respuestas que doy a los que intentan demostrar el teorema de Fermat en este foro, verás que argumento de manera detallada y específica los errores de cada uno de ellos. No doy ninguna respuesta estándar.

tiene prejuicios ante que alguien encuentre una demostración sencilla.

Si, los tengo. Lo veo muy improbable básicamente porque es un tema muy "trillado" y nadie a llegado a nada con métodos elementales. No obstante, en mis respuestas tales prejuicios quedan al margen, en cuanto que como he dicho me limito a describir de manera razonada los errores que se cometen, que suelen ser de bulto.

Ya le dije que el caso \( n=2 \) queda excluído porque es una demostración por reducción al absurdo y el caso \( n=3 \) queda justificado con lo que dije y lo que muestro en la imagen.

Lo único que estás diciendo en la imagen y en la explicación posterior es que:

\( (x+y)^3-(x+y-k)^3\neq p(x)=(x+y)^3-x^3-y^3 \)

¿y...?¿qué tiene que ver eso con que el polinomio \( p(x) \) sea cero?. ¡Nada!.

Saludos.

[feriva]

Hola, sqrmatrix, me alegro de verte por el foro. Y, si me lo permites, feliz Navidad (si no, no he dicho nada).

Saludos, lee_bran, y al resto de los participantes de este hilo.

Creo que hay una contradicción en tu demostración que te están explicando los demás participantes del foro y que no estás considerando. Espero poder aclararlo y que lo puedas ver.

2º) \( z< x+y \). Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \). Al afirmar que este polinomio es mayor que \( 0 \) para todo valor positivo de \( x \), como consecuencia del teorema fundamental del álgebra estamos afirmando que no tiene raíces reales en \( \mathbb{R^+} \)  ,(es decir que las soluciones del polinomio para  \( x \) no son reales) aunque sí podría tener hasta \( n-1 \) raíces complejas en esta semirrecta. Esto entra en contradicción con que la solución \( (x, y , z) \) tiene valores enteros positivos.

Supones que \( z^n=x^n+y^n \), que \( x \), \( y \), \( z \), \( n \), son enteros positivos, y que \( z<x+y \), y teniendo todo eso en cuenta, demuestras que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...>0 \), lo cual es cierto (basta darle valores positivos a cada variable para ver que se cumple siempre). Esto ya nos demuestra que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \), por lo que las soluciones del polinomio \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \), que utilizas como prueba de contradicción, no son aplicables a este caso, ya que has demostrado que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \).

Y aunque no lo hubiera demostrado. De hecho no hace falta, pues si el teorema se enuncia bien, debe añadir como condición de la propia conjetura que “x,y,z” son enteros positivos distintos de cero (cosa que Wikipedia no hace en el cuadrito donde escribe la afirmación).

Partiendo de que hay que ajustarse a las condiciones de la hipótesis, no se puede asumir que ese polinomio “P(x)” es cero, ya que, equivale a asumir indirectamente que “x” ó “y” sean cero (lo implica) y, por tanto, considerarlo cero equivale a no respetar de partida una condición del propio enunciado.

Es como si intentamos demostrar que es falso tomando “n=2”; pues no se puede, porque el enunciado indica que debemos tomar “n>2”, demostraremos otra cosa, no el Teorema.

Es decir, considerando P(x)=0, se debe llegar a la conclusión de que el teorema (que deja de ser exactamente el de Fermat) es falso y no verdadero, ya que sí existe la igualdad con esa condición.

Saludos.

[sqrmatrix]

Saludos, feriva.

Yo también me alegro de hablar contigo. Y, por supuesto, feliz Navidad a tí también, y a todos los usuarios del foro.

Y aunque no lo hubiera demostrado. De hecho no hace falta, pues si el teorema se enuncia bien, debe añadir como condición de la propia conjetura que “x,y,z” son enteros positivos distintos de cero (cosa que Wikipedia no hace en el cuadrito donde escribe la afirmación).

Partiendo de que hay que ajustarse a las condiciones de la hipótesis, no se puede asumir que ese polinomio “P(x)” es cero, ya que, equivale a asumir indirectamente que “x” ó “y” sean cero (lo implica) y, por tanto, considerarlo cero equivale a no respetar de partida una condición del propio enunciado.

No se me había ocurrido esta forma de verlo. Simplemente repasé la demostración en busca de la equivocación, y ví esa contradicción. Pero claro, como bien dices, esa demostración está implícita en la conjetura y, por tanto, no se puede considerar que se cumpla \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \). De hecho, si lo miramos bien, no se puede afirmar que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \) si trabajamos con enteros positivos, independientemente de que estemos considerando el Último Teorema de Fermat, o cualquier otro teorema, o incluso de forma aislada, ya que la suma de enteros positivos es siempre un entero positivo, nunca \( 0 \).

Un saludo.

[feriva]

Saludos, feriva.

Yo también me alegro de hablar contigo. Y, por supuesto, feliz Navidad a tí también, y a todos los usuarios del foro.

Y aunque no lo hubiera demostrado. De hecho no hace falta, pues si el teorema se enuncia bien, debe añadir como condición de la propia conjetura que “x,y,z” son enteros positivos distintos de cero (cosa que Wikipedia no hace en el cuadrito donde escribe la afirmación).

Partiendo de que hay que ajustarse a las condiciones de la hipótesis, no se puede asumir que ese polinomio “P(x)” es cero, ya que, equivale a asumir indirectamente que “x” ó “y” sean cero (lo implica) y, por tanto, considerarlo cero equivale a no respetar de partida una condición del propio enunciado.

No se me había ocurrido esta forma de verlo. Simplemente repasé la demostración en busca de la equivocación, y ví esa contradicción. Pero claro, como bien dices, esa demostración está implícita en la conjetura y, por tanto, no se puede considerar que se cumpla \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \). De hecho, si lo miramos bien, no se puede afirmar que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \) si trabajamos con enteros positivos, independientemente de que estemos considerando el Último Teorema de Fermat, o cualquier otro teorema, o incluso de forma aislada, ya que la suma de enteros positivos es siempre un entero positivo, nunca \( 0 \).

Un saludo.

Cierto, siempre caigo en lo mismo, se me olvida que el cero no es signado, no es positivo ni negativo, y ya con eso queda descartado. No obstante, convendría que lo dijeran en el enunciado, para los despistados como yo.

Saludos.