[lee_bran]

Buenas,

Hasta ahora no había leído ninguno de sus escritos respecto al UTF... y me quedo con la resolución del teorema que presenté en el primer post del hilo porque es más compacta y me parece mejor redactada.

Aclaro de nuevo que el tema de los volúmenes lo utilicé únicamente para resolver una duda del caso particular \( n=3 \) que me planteaba Luis Fuentes: en principio no tiene que ver con la demostración propiamente dicha.

Saludos y suerte.

[mongar]

Bien, gracias. Suerte en la vida, en matematicas conocimiento e intuicion.

[Luis Fuentes]

Hola

Hasta ahora no había leído ninguno de sus escritos respecto al UTF... y me quedo con la resolución del teorema que presenté en el primer post del hilo porque es más compacta y me parece mejor redactada.

Lo que pusiste en tu primer post del hilo como te he dicho y argumentado no demuestra nada. No resuelve nada.

Aclaro de nuevo que el tema de los volúmenes lo utilicé únicamente para resolver una duda del caso particular \( n=3 \) que me planteaba Luis Fuentes: en principio no tiene que ver con la demostración propiamente dicha.

La explicación que das para el caso \( n=3 \) no tiene sentido. Mi crítica no se reduce además al caso \( n=3. \) Tu de repente te has sacado de la manga que el polinomio \( P(x) \) que tu mismo defines como P\( (x)=(x+y)^n-x^n-y^n \) es el polinomio cero. Y claramente no lo es; ni para \( n=2 \), ni para \( n=3 \), ni para \( n=4 \)... para ningún \( n>1 \).

Saludos y suerte.

[feriva]

\( P(x)=0 \) porque la única manera de quitarle a un cubo entero de lado \( (x+y) \) algo de la forma \( 3x^2y+3xy^2 \) y seguir teniendo un cubo entero es no quitándole nada.

Pero se trata de saber por qué tendría que ser así.

Con n=2 no es cierto

\( (4+3)^{2}
  \) es el cuadrado de un entero, de \( 7
  \)

Ahora

\( (4+3)^{2}=4^{2}+3^{2}+2\cdot4\cdot3
  \)

\( (4+3)^{2}-2\cdot4\cdot3=4^{2}+3^{2}=25
  \) y sí que también es el cuadrado de un entero; de 5, pero eso no quita que sea distinto de 7.

Luego al ser distintos, si \( f(a+b)=(a+b)^2
  \), se tiene que, en general, no es apliacación lineal \( f(a+b)\neq f(a)+f(b)
  \).

Saludos.

[lee_bran]

La explicación que das para el caso \( n=3 \) no tiene sentido. Mi crítica no se reduce además al caso \( n=3. \) Tu de repente te has sacado de la manga que el polinomio \( P(x) \) que tu mismo defines como P\( (x)=(x+y)^n-x^n-y^n \) es el polinomio cero. Y claramente no lo es; ni para \( n=2 \), ni para \( n=3 \), ni para \( n=4 \)... para ningún \( n>1 \).

Saludos y suerte.

La explicación que he dado para el caso \( n=3 \) SI tiene sentido. Si el cubo grande es el de lado (x+y)...

https://ibb.co/yW09xHQ

Y SI, dado que no encontró ningún punto débil donde atacar, al final basó su crítica en reducirla a los casos \( n=3 \) y \( n=2 \) porque es la respuesta estándar que da a los que intentan demostrar el teorema dado que como ha reconocido en alguna ocasión, tiene prejuicios ante que alguien encuentre una demostración sencilla.

Ya le dije que el caso \( n=2 \) queda excluído porque es una demostración por reducción al absurdo y el caso \( n=3 \) queda justificado con lo que dije y lo que muestro en la imagen.

[feriva]

Y SI, dado que no encontró ningún punto débil donde atacar, al final basó su crítica en reducirla a los casos \( n=3 \) y \( n=2 \) porque es la respuesta estándar que da a los que intentan demostrar el teorema dado que como ha reconocido en alguna ocasión, tiene prejuicios ante que alguien encuentre una demostración sencilla.

Ya le dije que el caso \( n=2 \) queda excluído porque es una demostración por reducción al absurdo y el caso \( n=3 \) queda justificado con lo que dije y lo que muestro en la imagen.

No es eso, lee_bran, no dice sólo esos casos. Tú dices que para que esto sea un cubo, o una potencia “n” tal que \( (x+y)^{n}
  \), sólo pude ocurrir \( (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}
  \) si n>2. Y es cierto, porque ya está demostrado que es así, los únicos casos son los triviales, cuando “x=0” ó “y=0” (o los dos) y entonces claro que \( (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}
  \). Pero por qué sólo puede pasar eso, en eso se concretaría la pregunta de Luis.

Saludos.

[lee_bran]

Buenas tardes feriva,

No veo que Luis realice ninguna pregunta en su última intervención...

Por cierto: en la imagen que intenté adjuntar, el caso de \( 3^3 \) contiene dos errores de signos. Lo correcto sería:
\( 3x^2y+3xy^2\neq{}3(x+y)^2-3(x+y)+1 \)

Debería estar claro que en ese caso lo que se hace es quitar \( 3 \) caras laterales de grosor 1 que coinciden en un vértice, luego quitamos \( 3 * 1 *(x+y)^2 \) cuadraditos... PEEERO estamos quitando 3 veces el volumen de una arista de grosor 1 y ancho 1, luego se las volvemos a añadir \( 3*1*1*(x+y) \)... PERO con esto el volumen del cubo del vértice se lo hemos quitado 3 veces y puesto 3 veces, luego hay que quitarlo una vez más para llegar al siguiente cubo menor \( +1 \)

Si se quiere particularizar en una dimensión superior a \( 3 \), se razonaría de manera análoga. Pero para algo dí un argumento general: para no tener que particularizar en cada valor posible de la \( n \).

Saludos.

[feriva]

Buenas tardes feriva,

No veo que Luis realice ninguna pregunta en su última intervención...

Buenos días y Feliz Navidad a todo esto.

En la última no, pero hay alguna como ésta

¿De dónde te sacas que es cero?. Por ejemplo para \( n=3 \):

\( z^3=x^3+y^3=(x+y)^3-(3x^2y+3xy^2) \)

Es decir en ese caso \( P(x)=3x^2y+3xy^2 \). ¿Cómo deduces ahora o de dónde obtienes que \( P(x)=0 \)?.

Si demuestras eso último demuestras que al menos una variable es cero y con ello demuestras el teorema; pero ahí viene la pregunta, ¿cómo se deduce?

Saludos.

[lee_bran]

Vaya feriva, me pone en un serio brete: debido a su trato amable, no quiero ser grosero con usted, pero... hoy no es navidad y tengo por costumbre no felicitarle a nadie esa fecha porque tiene significado religioso judeo-cristiano y yo soy ateo desde que nací. Así que, ... ¡feliz miércoles!

¿Ha visto las imágenes que colgué? Vale que no soy Da Vinci ni Miguel Ángel, pero lo que me pregunta se vé allí bastante claro. No obstante, lo explico por pasos:

(1) A cada cubo de lado entero (bueeeeno... natural) \( n \) hay \( n-1 \) formas de quitarle cubos y seguir teniendo cubos enteros, o lo que es lo mismo: si \( n \) es natural, hay exactamente \( n-1 \) cubos naturales menores de \( n^3 \). ¿De acuerdo con esto?

(2) Cuando se pasa de un cubo de lado \( n \) a uno de lado \( n-1 \), lo que hacemos es quitarle volumen de la forma que describí, que en resumen es quitarle todos los cubitos visibles en el dibujo de la izquierda. ¿Algún problema hasta aquí?

(3) Lo que hago a continuación es dar una fórmula para calcular el número de cubitos a quitar en función del lado y del número de "capas" que eliminemos, que es \( 3∗k(x+y)^2−3k^2(x+y)+k^3 \). Si no se lo creen, demostración por inducción (ejercicio).

(4) Si expandimos la fórmula tenemos \( 3kx^2+3ky+6kxy-3k^2x-3k^2y+k^3 \).

(5) Reordenándolo en función de los coeficientes de las potencias de \( x \), tenemos \( (3k)x^2+(6ky-3k^2)x-3k^2y+3ky+k^3 \)

(6) Por otra parte, estamos diciendo que lo que le podemos quitar al cubo entero original es algo de la forma \( P(x)=(3y)x^2+(3y^2)x \), luego, igualando coeficientes:

(a) \( 3k=3y\Rightarrow{}k=y \)
(b) \( 6ky -3k^2=3y^2 \)
(c) \( -3k^2y+3ky+k^3=0 \)

De (a) deducimos que \( k=y \). Sustituyendo en (b) obtenemos de nuevo que \( k=y \) (o \( -y \), pero eso es descartable porque ambas estaban definidas como naturales), y al sustituir en (c) tenemos que \( y=0 \). Aquí deducimos que al menos una variable es 0 y por tanto \( P(x)=0 \) necesariamente.

¿Alguna pega matemática con algo de este último mensaje?

Sea lo que sea, dimito...

Saludos,

[feriva]

Vaya feriva, me pone en un serio brete: debido a su trato amable, no quiero ser grosero con usted, pero... hoy no es navidad y tengo por costumbre no felicitarle a nadie esa fecha porque tiene significado religioso judeo-cristiano y yo soy ateo desde que nací. Así que, ... ¡feliz miércoles!

Tranquilo, retiro lo dicho

En cuanto a la demostración, yo sólo interpretaba la pregunta de Luis; no me atrevo a hacer de juez de demostraciones, salvo muy raros casos.

Feliz miércoles o lo que queda de él.