Autor Tema: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!

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16 Diciembre, 2018, 08:05 pm
Respuesta #10

lee_bran

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Demuestre que el pecado existe y contesto.

16 Diciembre, 2018, 08:15 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Demuestre que el pecado existe y contesto.

Si te refieres al concepto religioso de pecado, no es tema para tratar en un foro de matemáticas y además me declaro incompetente para opinar sobre él.

Si es una metáfora para pedir que te explique cual es tu error en tu argumento, ya lo he hecho. La pelota está en tu tejado. Te he hecho una crítica muy concreta:

No veo que hayas aclarado nada. ¿Dónde está la contradicción?¿Exactamente con que es contradictorio que \( P(x)
 \) tome valores positivos para \( x \) positivos?¿Por qué es contradictorio que no tenga raíces reales positivas?. No contradice nada.

a la que no has contestado. Si tu piensas que ya has respondido a esa crítica, yo entonces no tengo nada más que decir. Suerte.

Saludos.

16 Diciembre, 2018, 09:00 pm
Respuesta #12

lee_bran

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Tienes razón en tus respuestas (4),(5) y (6). Pero la clave precisamente es que respondieses a (2) y (3). La cuestión es que tu """demostración""" si estuviese bien probaría lo contrario de lo que has dicho en 4,5 y 6. Entonces la pregunta iba orientada a que, si se supone que crees que tu prueba es correcta, ¿por qué esa misma prueba no estaría probando que la ecuación de Fermat tiene soluciones reales o que tiene soluciones enteras cuando \( n=2 \)?.
Esquema de demostración de lógica de proposiciones para una demostración por reducción al absurdo:

\( A\Rightarrow{}B \Leftrightarrow{}A \) y \( no B \Rightarrow{}falso  \)

A= n es un número entero mayor que 2.
B= no existen números enteros positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Tiene soluciones enteras para n=2 porque aunque no lo excluí explícitamente tras comunicar que iba a realizar una demostración por reducción al absurdo, daba por hecho que usted sabía el esquema de dichas demostraciones. NO HACE FALTA DEMOSTRARLO MAS QUE PARA VALORES DE N MAYORES DE 2.

Si quiere que lo demuestre para reales positivos, en lugar de B habría que utilizar la siguiente proposición:
B' = no existen números reales positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Esa proposición es falsa: contraejemplo \( x=1, y=1, z=\sqrt[ ]{2} \)

Son proposiciones distintas: una es falsa y la otra es verdadera (si no le vale la que yo doy, recurro a la demostración de Wiles) ¿QUÉ VOY A DEMOSTRAR AHÍ SI SON ENTIDADES LÓGICAS DISTINTAS?

16 Diciembre, 2018, 09:41 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

Esquema de demostración de lógica de proposiciones para una demostración por reducción al absurdo:

\( A\Rightarrow{}B \Leftrightarrow{}A \) y \( no B \Rightarrow{}falso  \)

A= n es un número entero mayor que 2.
B= no existen números enteros positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Tiene soluciones enteras para n=2 porque aunque no lo excluí explícitamente tras comunicar que iba a realizar una demostración por reducción al absurdo, daba por hecho que usted sabía el esquema de dichas demostraciones. NO HACE FALTA DEMOSTRARLO MAS QUE PARA VALORES DE N MAYORES DE 2.

Si quiere que lo demuestre para reales positivos, en lugar de B habría que utilizar la siguiente proposición:
B' = no existen números reales positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Esa proposición es falsa: contraejemplo \( x=1, y=1, z=\sqrt[ ]{2} \)

Son proposiciones distintas: una es falsa y la otra es verdadera (si no le vale la que yo doy, recurro a la demostración de Wiles) ¿QUÉ VOY A DEMOSTRAR AHÍ SI SON ENTIDADES LÓGICAS DISTINTAS?

Nada de esto responde a lo que te he preguntado. La cuestión es que aclares que impide aplicar tu mismo argumento a los casos que te indico. No basta que digas simplemente que esos casos los excluyes de la hipótesis; la  pregunta es, ¿si no los excluimos por qué no funcionaría tu """demostración"""?. La respuesta es simplemente que, como te he indicado y argumentado, tu """demostración""" está mal.

Saludos.

16 Diciembre, 2018, 10:32 pm
Respuesta #14

lee_bran

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Hola

Esquema de demostración de lógica de proposiciones para una demostración por reducción al absurdo:

\( A\Rightarrow{}B \Leftrightarrow{}A \) y \( no B \Rightarrow{}falso  \)

A= n es un número entero mayor que 2.
B= no existen números enteros positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Tiene soluciones enteras para n=2 porque aunque no lo excluí explícitamente tras comunicar que iba a realizar una demostración por reducción al absurdo, daba por hecho que usted sabía el esquema de dichas demostraciones. NO HACE FALTA DEMOSTRARLO MAS QUE PARA VALORES DE N MAYORES DE 2.

Si quiere que lo demuestre para reales positivos, en lugar de B habría que utilizar la siguiente proposición:
B' = no existen números reales positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Esa proposición es falsa: contraejemplo \( x=1, y=1, z=\sqrt[ ]{2} \)

Son proposiciones distintas: una es falsa y la otra es verdadera (si no le vale la que yo doy, recurro a la demostración de Wiles) ¿QUÉ VOY A DEMOSTRAR AHÍ SI SON ENTIDADES LÓGICAS DISTINTAS?

Nada de esto responde a lo que te he preguntado. La cuestión es que aclares que impide aplicar tu mismo argumento a los casos que te indico. No basta que digas simplemente que esos casos los excluyes de la hipótesis; la  pregunta es, ¿si no los excluimos por qué no funcionaría tu """demostración"""?. La respuesta es simplemente que, como te he indicado y argumentado, tu """demostración""" está mal.

Saludos.

Para empezar: No los excluyo de la hipótesis ya que algunos de esos casos SON la hipótesis.

\( A\Rightarrow{}B \)
\( A \)= HIPÓTESIS = \( n \) es un número entero mayor que 2
\( \Rightarrow{} \) = SÍMBOLO DE IMPLICACIÓN
\( B \)= CONCLUSIÓN

Si cambia la hipótesis, la conclusión puede variar. OBVIO. Ejemplo: Si lanzo una moneda al aire puede salir cara o cruz. Si lanzo un gato al aire, ¿puede salir cara o cruz? Algo me dice que es mejor no intentarlo.

Para terminar: los otros casos sin embargo no son la hipótesis, sino que son la CONCLUSIÓN.

B= no existen enteros positivos \( x,y,z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)
B'=no existen reales positivos \( x,y,z \) que \( x^n+y^n=z^n \)

La proposición B por si misma no es ni cierta ni falsa: en algunos casos lo será (cuando n=1 o 2) y en otros no (todos los demás).
La proposición B' por si misma es FALSA.

A y no B' = A y no FALSO = A y VERDADERO = A

Pero A por si misma tampoco es falsa ni verdadera, luego con ella sola no puedo demostrar nada.

Su argumentación es equivocada.

17 Diciembre, 2018, 07:46 am
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Hola

Para empezar: No los excluyo de la hipótesis ya que algunos de esos casos SON la hipótesis.

\( A\Rightarrow{}B \)
\( A \)= HIPÓTESIS = \( n \) es un número entero mayor que 2
\( \Rightarrow{} \) = SÍMBOLO DE IMPLICACIÓN
\( B \)= CONCLUSIÓN

Si cambia la hipótesis, la conclusión puede variar. OBVIO. Ejemplo: Si lanzo una moneda al aire puede salir cara o cruz. Si lanzo un gato al aire, ¿puede salir cara o cruz? Algo me dice que es mejor no intentarlo.

Para terminar: los otros casos sin embargo no son la hipótesis, sino que son la CONCLUSIÓN.

B= no existen enteros positivos \( x,y,z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)
B'=no existen reales positivos \( x,y,z \) que \( x^n+y^n=z^n \)

La proposición B por si misma no es ni cierta ni falsa: en algunos casos lo será (cuando n=1 o 2) y en otros no (todos los demás).
La proposición B' por si misma es FALSA.

A y no B' = A y no FALSO = A y VERDADERO = A

Pero A por si misma tampoco es falsa ni verdadera, luego con ella sola no puedo demostrar nada.

Sigues sin entender; la cuestión es si en tu mensaje inicial eliminas la palabra "entero" de todas partes, ¿qué parte de tu demostración se supone que fallaría? Y no me vale que me digas que si los números no son enteros sabemos que hay contraejemplos; si los hay. Y sabemos de antemano que el resultado es falso en ese caso; pero entonces debería de haber una paso en tu demostración que fallase.

Por otra parte e independientemente de todo esto, no has sido capaz de indicar claramente a que contradicción se supone que llegas con tu argumento.

Saludos.

17 Diciembre, 2018, 10:22 am
Respuesta #16

lee_bran

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Su error es que en algún momento desvincula el polinomio \( P(x) \) de la solución del enunciado, de ahí que no vea la contradicción. Eso es un error y aquí se lo muestro:

Último teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
 [texx]z^n= x^n + y^n = (x+y)^n -P(x) = (x+y)^n-Q(x,y) = (x+y)^n-R(y)[/texx] siendo \( P(x), Q(x,y), R(y) \) las funciones resultantes de despejar \( x^n + y^n \) de la identidad del binomio de Newton.

¿Que qué parte falla al eliminar la palabra enteros (o sustituirla por reales)? Veámoslo.

Demostración:
Procederemos por reducción al absurdo. SEA n UN ENTERO MAYOR QUE 2. Supondremos que existen soluciones (x, y, z) reales positivas tales que \( x^n+y^n=z^n \).

Estoy suponiendo algo que sé a ciencia cierta que es así, luego estoy cometiendo un error de partida al confundir el concepto de uso de la palabra "suponer".

Saludos.

17 Diciembre, 2018, 10:28 am
Respuesta #17

Luis Fuentes

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Hola

Su error es que en algún momento desvincula el polinomio \( P(x) \) de la solución del enunciado, de ahí que no vea la contradicción. Eso es un error y aquí se lo muestro:

Último teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
 [texx]z^n= x^n + y^n = (x+y)^n -P(x) = (x+y)^n-Q(x,y) = (x+y)^n-R(y)[/texx] siendo \( P(x), Q(x,y), R(y) \) las funciones resultantes de despejar \( x^n + y^n \) de la identidad del binomio de Newton.

Ahí no muestras nada. Lo que tienes que explicar claramente cuál es la contradicción. En mensajes anteriores dices que la contradicción surge del hecho de que \( P(x)>0 \) para \( x \) positivo. ¿Pero qué contradice eso? ¿En qué otra parte del argumento se supone que se deduce que eso no puede ser?.

Citar
¿Que qué parte falla al eliminar la palabra enteros (o sustituir la por reales)? Veámoslo.

Demostración:
Procederemos por reducción al absurdo. SEA n UN ENTERO MAYOR QUE 2. Supondremos que existen soluciones (x, y, z) reales positivas tales que x^n+y^n=z^n.

Estoy suponiendo algo que sé a ciencia cierta que es así, luego estoy cometiendo un error de partida al confundir el concepto de uso de la palabra "suponer".

Mal. No hay ningún error en suponer cierto algo que sabemos que lo es. Simplemente de esa suposición no debería de llegarse a ninguna contradicción. Y ahí está el problema, no se sabe porque en un caso se supone que llegas a tal contradicción y en otro no.

Saludos.

17 Diciembre, 2018, 10:37 am
Respuesta #18

feriva

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¿Alguna otra persona cuyo criterio se considere válido para sojuzgar demostraciones matemáticas quiere criticar lo que escribí? Porque me parece que al igual que Luis Fuentes, yo también soy matemático y de momento somos 1 contra 1.

Hola, lee_bran

Yo no soy matemático, como sabes, y no puedo juzgar si mi criterio es válido o no. Aparte de eso no estoy seguro de entender bien la propuesta de demostración que expones, tendría que mirarla y pensarla más despacio. Lo que sí creo que puedo hacer es interpretar la objeción de Luis.

Supongamos un caso particular, n=3.

\( x^{3}+y^{3}=z^{3}
  \)

Tomemos también estos valores concretos para “x,y”.

\( x=188;\, y=128
  \)

Desarrollando el binomio

\( (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}
  \)

y de ahí

\( x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-(3x^{2}y+3xy^{2})
  \)

Sustituyendo los valores

\( (188)^{3}+(128)^{3}=(188+128)^{3}-3(188)^{2}(128)-3(188)(128)^{2}
  \)

Esa igualdad va a existir siempre, la cuestión es si la raíz cúbica de eso (de cualquier miembro, porque son iguales) puede ser un entero.

Imaginemos que sólo tuviéramos calculadoras y ordenadores que llegaran a darnos cuatro decimales y no más.

Al hacer los cálculos tendríamos

\( \sqrt[3]{(188)^{3}+(128)^{3}}=206,0000=206
  \); hasta cuatro decimales sí existen “enteros” que cumplen la igualdad (al menos hasta cuatro, porque no sé qué puede pasar buscando más; a lo mejor encuentro hasta cinco, hasta seis... no sé).
Con calculadora (en ese mundo donde sólo hay cuatro decimales) comprobaríamos que sí se cumple la igualdad.

Entonces, la pregunta de Luis digamos que se puede interpretar también así: ¿cómo demuestras que la mantisa no tiene nunca, en ningún caso, infinitos ceros detrás de la parte entera, cuál es el argumento para asegurar eso? Creo que eso, más o menos, es lo que él no ve que demuestres.
Si no tienen nunca infinitos ceros, entonces no habrá tres enteros x,y,z que cumplan la igualdad. Directa o indirectamente, es lo que hay que demostrar.

Saludos.

17 Diciembre, 2018, 10:41 am
Respuesta #19

lee_bran

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Cometí un error al escribir el polinomio P(x): no hay ningún término independiente. Lo correcto sería:

\( P(x) = A_{n-1}* x^{n-1}+A_{n-2}*x^{n-2} +...+A_1*x \) con \( A_i>0 \)

De aquí tenemos que \( P(x) =x*P'(x) \). Surge el hecho de que \( P(x)>0 \): pero ¿qué valores anulan el polinomio?

- x=0, que entra en contradicción con que x>0
- valores de x complejos con parte real positiva e imaginaria no nula o no más valores, que entra en contradicción con que x es un valor entero o con que existe alguna solución.
- valores de x reales negativos o valores complejos con parte real negativa e imaginaria no nula o ninguno, que entra en contradicción con que x>0 o con que x es entero positivo o con que existe alguna solución.

Respecto a lo de:

Citar
Mal. No hay ningún error en suponer cierto algo que sabemos que lo es. Simplemente de esa suposición no debería de llegarse a ninguna contradicción. Y ahí está el problema, no se sabe porque en un caso se supone que llegas a tal contradicción y en otro no.

El error no es suponer cierto algo que sabemos que lo es: el error es utilizar la palabra "suponer" en vez de "sea". Seamos rigurosos en el uso del lenguaje.