Autor Tema: Obtener una base, dada la matriz asociada a una transformación lineal

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12 Diciembre, 2018, 11:38 pm
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alucard

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Hola tengo dudas con este enunciado

Sea \( A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{2}&{-1}&{0}\\{-4}&{0}&{-1}\end{bmatrix} \)

a) analice si A es diagonalizable

b)Si A es la matriz asociada a una transformación lineal \( T: R^3 \to R^3 \) respecto de la base canónica, obtenga si es posible ,una base B de \( R^3 \) tal que la matriz asociada a T respecto de B sea

\( M_{BB}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{bmatrix} \)

Claramente por ser diagonal inferior y ademas que la multiplicidad algebraica es igual a la geométrica A es diagonalizable por ende

\( D=M_{BB}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{bmatrix} \)

\( P=M_{BE}=\begin{bmatrix}{-1}&{0}&{0}\\{-1}&{0}&{1}\\{2}&{1}&{0}\end{bmatrix} \)

solo tengo que aplicar

\( M_{BB}=M_{EB}\cdot M_{EE}\cdot M_{BE} \)

La inversa de la matriz P sera la que tiene en sus columnas la base buscada, ¿es correcto?

Desde ya gracias
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

13 Diciembre, 2018, 01:04 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

A es diagonalizable, hasta ahí bien; no entiendo el razonamiento que sigue, pero te ayudo diciendo que una base B de \( R^3 \), respecto a la cuál la matriz es diagonal (coincide con \( m_{BB} \) del apartado b) es : \( B=\left\{{\left[\begin{array}{ccc}{-1}\\{-1}\\{2}\end{array}\right]}, \ \left[\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{1}\end{array}\right], \ \left[\begin{array}{ccc}{0}\\{1}\\{0}\end{array}\right]\right\} \), observa que estos elementos son los autovectores correspondientes a los autovalores de T. En consecuencia la respuesta que das (inversa de P, etc) es incorrecta.


Saludos