Autor Tema: Método Simpson

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09 Enero, 2019, 06:40 pm
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pramirez

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Hola a todos, resulta que me dieron el siguiente problema para resolver con el método Simpson:

Calcule la integral \( \displaystyle\int_{200}^{240}f(x)dx \) aplicando el Método de Simpson, conociendo la siguiente tabla de valores:

X =     200, 210, 220, 230, 240
F(x) = 6.55, 6.54, 6.53, 6.51, 6.56.

Por lo que analizo no sería posible aplicar el método Simpsom ya que tengo 4 intervalos (200;210),(210;220),(220;230),(230;240) y 5 puntos cuando para poder aplicar Simpsom 3/8 n=3 o sea tres intervalos.

¿Esto es correcto o lo estoy analizando mal?, en caso de poder aplicarse Simpson ¿con cual función?, en el enunciado no indica ninguna.

Cualquier ayuda bienvenida.  :laugh:

09 Enero, 2019, 06:45 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola pramirez.

Por los datos que tienes, lo mejor que puedes hacer es dividir la integral en 2:

    \( \displaystyle\int_{200}^{240}f(x)dx=\displaystyle\int_{200}^{220}f(x)dx+\displaystyle\int_{220}^{240}f(x)dx \).

y en cada una aplicar el Método de Simpson, ya que para calcular la integral necesitas los extremos del intervalo y el punto medio.

Esto de dividir la integral en partes y aplicar el método numérico en cada una y sumarlas tiene el apellido de "compuesto", en particular, aquí estarías aplicando el "Método de Simpson Compuesto".

09 Enero, 2019, 07:18 pm
Respuesta #2

pramirez

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Hola pramirez.

Por los datos que tienes, lo mejor que puedes hacer es dividir la integral en 2:

    \( \displaystyle\int_{200}^{240}f(x)dx=\displaystyle\int_{200}^{220}f(x)dx+\displaystyle\int_{220}^{240}f(x)dx \).

y en cada una aplicar el Método de Simpson, ya que para calcular la integral necesitas los extremos del intervalo y el punto medio.

Esto de dividir la integral en partes y aplicar el método numérico en cada una y sumarlas tiene el apellido de "compuesto", en particular, aquí estarías aplicando el "Método de Simpson Compuesto".

 Hola, gracias por la respuesta. Desconocía esta forma de resolver, te hago unas consultas adicionales:

 ¿Que método de Simpson debería aplicar en cada una 1/3, 3/8 o cual?, ¿como podes calcular la integral sin conocer la función para poder calcular f(a) y f(b)?.

Saludos

09 Enero, 2019, 07:42 pm
Respuesta #3

mathtruco

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Normalmente, junto a cada regla de integración, o luego de ver todas, se ven las "compuestas". Si no las viste, me imagino que es fácil ver porqué es correcta la metodología, ¿no?

No entendí tu pregunta sobre los 1/3 o 3/8, ¿no es llegar y aplicar? Revisa este link.

Si no se conoce la función en los puntos donde hay que aplicar la fórmula, entonces simplemente no se puede usar la fórmula. Pero siempre puedes aplicar la Regla del Trapecio para aproximar el valor de la integral.

09 Enero, 2019, 08:10 pm
Respuesta #4

pramirez

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Normalmente, junto a cada regla de integración, o luego de ver todas, se ven las "compuestas". Si no las viste, me imagino que es fácil ver porqué es correcta la metodología, ¿no?

No entendí tu pregunta sobre los 1/3 o 3/8, ¿no es llegar y aplicar? Revisa este link.

Si no se conoce la función en los puntos donde hay que aplicar la fórmula, entonces simplemente no se puede usar la fórmula. Pero siempre puedes aplicar la Regla del Trapecio para aproximar el valor de la integral.

Claro mi consulta parte por que indicas de aplicar Simpson compuesta, como  dice el link que indicas existe Simpson 1/3 y 3/8 con sus compuesta. ¿Cual aplicarías basado en  la que indicaste?

09 Enero, 2019, 08:18 pm
Respuesta #5

mathtruco

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Si no has visto la versión compuesta de las cuadraturas entonces no te líes con ese tema.

Lo que te indiqué en la primera respuesta es hacer lo siguiente:

    \( \displaystyle\int_{200}^{240}f(x)dx=\int_{200}^{220}f(x)dx+\int_{220}^{240}f(x)dx \)

                          \( \approx\dfrac{220-200}{6}\left(f(200)+4f\left(\dfrac{200+220}{2}\right)+f(220)\right)+\dfrac{240-220}{6}\left(f(220)+4f\left(\dfrac{220+240}{2}\right)+f(240)\right) \)

                          \( \approx\dfrac{20}{6}\left(f(200)+4f(210)+f(220)\right)+\dfrac{20}{6}\left(f(220)+4f(230)+f(240)\right) \)


10 Enero, 2019, 01:28 am
Respuesta #6

pramirez

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Si no has visto la versión compuesta de las cuadraturas entonces no te líes con ese tema.

Lo que te indiqué en la primera respuesta es hacer lo siguiente:

    \( \displaystyle\int_{200}^{240}f(x)dx=\int_{200}^{220}f(x)dx+\int_{220}^{240}f(x)dx \)

                          \( \approx\dfrac{220-200}{6}\left(f(200)+4f\left(\dfrac{200+220}{2}\right)+f(220)\right)+\dfrac{240-220}{6}\left(f(220)+4f\left(\dfrac{220+240}{2}\right)+f(240)\right) \)

                          \( \approx\dfrac{20}{6}\left(f(200)+4f(210)+f(220)\right)+\dfrac{20}{6}\left(f(220)+4f(230)+f(240)\right) \)



Clarísimo, con eso me respondiste todo. Aplicaste la derivación de la regla de Simpson para f(x), no sabía que se podía dividir la integral para "reducir" intervalos pero veo que mientras sea par no habría problema. Muchas gracias!  :aplauso:


10 Enero, 2019, 02:37 am
Respuesta #7

mathtruco

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(...)
no sabía que se podía dividir la integral para "reducir" intervalos
(...)

Es una propiedad muy utilizada para integrales indefinidas. Si \( f \) es continua en \( [a,b] \), entonces

    \( \displaystyle\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \)

para cualquier \( c\in (a,b) \), seguro la usaste en más de una ocasión.


(...)
pero veo que mientras sea par no habría problema.
(...)

Eso y que conozcas el valor de la función en el punto medio de cada intervalo.