Autor Tema: Método Newton Cotes

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13 Diciembre, 2018, 03:04 am
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pramirez

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Buenas noches a todos, me dieron un ejercicio para realizar con el método Newton Cotes, el problema es que no sé si lo resolví correctamente. ¿Podrían verificarlo para saber si está correcto?

Dada la integral definida \( \displaystyle\int-x^2+1,dx \) con [-1;2], calcule la integral en forma analítica.

Solución:

Integramos:

\( I=\displaystyle\int-x^2+1,dx = \displaystyle\frac{-x^3}{3}+X = (\displaystyle\frac{-2^3}{3}+2)- (\displaystyle\frac{-1^3}{3}+1) = -\displaystyle\frac{2^3}{3} - \displaystyle\frac{2^3}{3} = - \displaystyle\frac{4^3}{3} = -1. 33    \)



Aplicando Newton Cotes N=1

\( I= \displaystyle\frac{b+a}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}[1*0 + 1*(-3)] = \displaystyle\frac{3}{2}[0-3] = \displaystyle\frac{3}{2}*(-3) = -\displaystyle\frac{9}{2} = -4,5  \)

Ya que para N=1 \( a_0=1 \) y \( a_1=1 \)

Aplicando Newton Cotes N=2

\( I=\displaystyle\frac{b+a}{2} =\displaystyle\frac{3}{2}[ (1*0) + (\displaystyle\frac{4}{3}*-\displaystyle\frac{7}{2}) + \displaystyle\frac{1}{3} *(-3)] = \displaystyle\frac{3}{2}[\displaystyle\frac{4}{3}*(-\displaystyle\frac{7}{2})-1] = \displaystyle\frac{3}{2} * -\displaystyle\frac{17}{3}  =- \displaystyle\frac{17}{2} = -8,5  \)

Ya que para N=2 \( a_0=1 \), \( a_1=\displaystyle\frac{1}{3} \) y \( a_2=\displaystyle\frac{1}{3} \)

13 Diciembre, 2018, 04:10 am
Respuesta #1

Masacroso

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La integral no está bien resuelta analíticamente, se te han saltado dos signos. Revísala.

Y lo de Newton-Cotes no parece estar bien, habida cuenta del valor real de la integral. Supongo que tienes asimilado que para \( n=1 \) es la regla del trapecio, y para \( n=2 \) la regla de Simpson, en tal caso tendríamos

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}2((1-1)+(1-4))=-\frac92 \)

usando la regla del trapecio. Y para la regla de Simpson sería

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}6((1-1)+4(1-1/4)+(1-4))=\frac12\cdot 0=0 \)

En general los métodos de aproximación de Newton-Cotes consisten en aproximar el integrando por un polinomio de interpolación de Lagrange asociado de \( n+1 \) puntos, es decir

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\, dx\approx\int_a^b L[f; x_0,x_1,\ldots,x_n](x)\, dx \)

donde el polinomio de interpolación de Lagrange \( L \) con \( n+1 \) puntos se define por \( L[f;x_0,x_1,\ldots,x_n](x):= \sum_{k=0}^n f(x_k)\ell_k (x) \) con \( \ell_k(x):=\prod_{\substack{j=0\\ j\neq k}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j} \). Cuando se elige \( x_0=a \) y \( x_n=b \), y la distancia entre cada par de \( x_k \) consecutivos es igual, entonces salen los métodos de aproximación más conocidos como la regla del trapecio o la de Simpson.

13 Diciembre, 2018, 02:08 pm
Respuesta #2

pramirez

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La integral no está bien resuelta analíticamente, se te han saltado dos signos. Revísala.

Y lo de Newton-Cotes no parece estar bien, habida cuenta del valor real de la integral. Supongo que tienes asimilado que para \( n=1 \) es la regla del trapecio, y para \( n=2 \) la regla de Simpson, en tal caso tendríamos

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}2((1-1)+(1-4))=-\frac92 \)

usando la regla del trapecio. Y para la regla de Simpson sería

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}6((1-1)+4(1-1/4)+(1-4))=\frac12\cdot 0=0 \)

En general los métodos de aproximación de Newton-Cotes consisten en aproximar el integrando por un polinomio de interpolación de Lagrange asociado de \( n+1 \) puntos, es decir

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\, dx\approx\int_a^b L[f; x_0,x_1,\ldots,x_n](x)\, dx \)

donde el polinomio de interpolación de Lagrange \( L \) con \( n+1 \) puntos se define por \( L[f;x_0,x_1,\ldots,x_n](x):= \sum_{k=0}^n f(x_k)\ell_k (x) \) con \( \ell_k(x):=\prod_{\substack{j=0\\ j\neq k}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j} \). Cuando se elige \( x_0=a \) y \( x_n=b \), y la distancia entre cada par de \( x_k \) consecutivos es igual, entonces salen los métodos de aproximación más conocidos como la regla del trapecio o la de Simpson.

Hola, ante todo gracias por responder. Voy a revisar los calculos por el tema de los signos.

Sobre aplicar el método de trapecio y simpson el enunciado no me lo pide, solo me indica aplicar newton cotes con la formula correspondiente para n=1 y n=2, debería aplicar estos dos métodos aunque no lo indique el enunciado o debo interpretar que se aplican ambos cuando hablan de newton cotes?.  Entiendo que ambos métodos serían lo mismo que aplicar newton cotes pero la consulta es para entender que método debo elegir, la fórmula con la que resolví de newton cotes es diferente a la que se utiliza con trapecio y simpson.

13 Diciembre, 2018, 02:37 pm
Respuesta #3

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La integral no está bien resuelta analíticamente, se te han saltado dos signos. Revísala.

Y lo de Newton-Cotes no parece estar bien, habida cuenta del valor real de la integral. Supongo que tienes asimilado que para \( n=1 \) es la regla del trapecio, y para \( n=2 \) la regla de Simpson, en tal caso tendríamos

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}2((1-1)+(1-4))=-\frac92 \)

usando la regla del trapecio. Y para la regla de Simpson sería

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}6((1-1)+4(1-1/4)+(1-4))=\frac12\cdot 0=0 \)

En general los métodos de aproximación de Newton-Cotes consisten en aproximar el integrando por un polinomio de interpolación de Lagrange asociado de \( n+1 \) puntos, es decir

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\, dx\approx\int_a^b L[f; x_0,x_1,\ldots,x_n](x)\, dx \)

donde el polinomio de interpolación de Lagrange \( L \) con \( n+1 \) puntos se define por \( L[f;x_0,x_1,\ldots,x_n](x):= \sum_{k=0}^n f(x_k)\ell_k (x) \) con \( \ell_k(x):=\prod_{\substack{j=0\\ j\neq k}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j} \). Cuando se elige \( x_0=a \) y \( x_n=b \), y la distancia entre cada par de \( x_k \) consecutivos es igual, entonces salen los métodos de aproximación más conocidos como la regla del trapecio o la de Simpson.

Hola, ante todo gracias por responder. Voy a revisar los calculos por el tema de los signos.

Sobre aplicar el método de trapecio y simpson el enunciado no me lo pide, solo me indica aplicar newton cotes con la formula correspondiente para n=1 y n=2, debería aplicar estos dos métodos aunque no lo indique el enunciado o debo interpretar que se aplican ambos cuando hablan de newton cotes?.  Entiendo que ambos métodos serían lo mismo que aplicar newton cotes pero la consulta es para entender que método debo elegir, la fórmula con la que resolví de newton cotes es diferente a la que se utiliza con trapecio y simpson.

Según miro en el artículo de wikipedia (asumiendo el método de Newton-Cotes cerrado) cuando \( n=1 \) equivale a la regla del trapecio, y con \( n=2 \) es la regla de Simpson.

¿Cuál fórmula es la que estás usando? Si la escribes aquí salimos de dudas.

13 Diciembre, 2018, 03:51 pm
Respuesta #4

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Y lo de Newton-Cotes no parece estar bien, habida cuenta del valor real de la integral. Supongo que tienes asimilado que para \( n=1 \) es la regla del trapecio, y para \( n=2 \) la regla de Simpson, en tal caso tendríamos

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}2((1-1)+(1-4))=-\frac92 \)

usando la regla del trapecio. Y para la regla de Simpson sería

\( \displaystyle \int_{-1}^2(1-x^2)\, dx\approx \frac{2-(-1)}6((1-1)+4(1-1/4)+(1-4))=\frac12\cdot 0=0 \)

En general los métodos de aproximación de Newton-Cotes consisten en aproximar el integrando por un polinomio de interpolación de Lagrange asociado de \( n+1 \) puntos, es decir

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\, dx\approx\int_a^b L[f; x_0,x_1,\ldots,x_n](x)\, dx \)

donde el polinomio de interpolación de Lagrange \( L \) con \( n+1 \) puntos se define por \( L[f;x_0,x_1,\ldots,x_n](x):= \sum_{k=0}^n f(x_k)\ell_k (x) \) con \( \ell_k(x):=\prod_{\substack{j=0\\ j\neq k}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j} \). Cuando se elige \( x_0=a \) y \( x_n=b \), y la distancia entre cada par de \( x_k \) consecutivos es igual, entonces salen los métodos de aproximación más conocidos como la regla del trapecio o la de Simpson.

Hola, ante todo gracias por responder. Voy a revisar los calculos por el tema de los signos.

Sobre aplicar el método de trapecio y simpson el enunciado no me lo pide, solo me indica aplicar newton cotes con la formula correspondiente para n=1 y n=2, debería aplicar estos dos métodos aunque no lo indique el enunciado o debo interpretar que se aplican ambos cuando hablan de newton cotes?.  Entiendo que ambos métodos serían lo mismo que aplicar newton cotes pero la consulta es para entender que método debo elegir, la fórmula con la que resolví de newton cotes es diferente a la que se utiliza con trapecio y simpson.

Según miro en el artículo de wikipedia (asumiendo el método de Newton-Cotes cerrado) cuando \( n=1 \) equivale a la regla del trapecio, y con \( n=2 \) es la regla de Simpson.

¿Cuál fórmula es la que estás usando? Si la escribes aquí salimos de dudas.


Hola, la formula que estoy utilizando es la siguiente: \( I= \displaystyle\frac{b+a}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}{a_k}{y_k} \) esta fórmula puede ser aplicada a una tabla de datos en dónde antemano sabemos que para N=1 los valores de \( a_0=1, a_1=1 \), para N=2 los valores de \( a_0=\displaystyle\frac{1}{3}, a_1=\displaystyle\frac{4}{3}, a_1=\displaystyle\frac{1}{3} \) y así sucesivamente para cada valor de N que se nos vaya presentando, es lo que aplique en el primer calcule que publique.

  Te adjunto dos ejemplos:

   N=1 https://drive.google.com/open?id=1p9xhyvG37VRDMi0z7GPXnrIcyewzUTmP
   N=2 https://drive.google.com/file/d/1g3HBnN--yJIX8BDDCRej1H2PW3H9Nyov/view?usp=sharing 

Lo que quiero entender es sí resolviendo de esta forma o por los métodos de Trapecio y Simpson son maneras equivalentes de realizar lo mismo.

13 Diciembre, 2018, 07:28 pm
Respuesta #5

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Hola, la formula que estoy utilizando es la siguiente: \( I= \displaystyle\frac{b+a}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}{a_k}{y_k} \) esta fórmula puede ser aplicada a una tabla de datos en dónde antemano sabemos que para N=1 los valores de \( a_0=1, a_1=1 \), para N=2 los valores de \( a_0=\displaystyle\frac{1}{3}, a_1=\displaystyle\frac{4}{3}, a_1=\displaystyle\frac{1}{3} \) y así sucesivamente para cada valor de N que se nos vaya presentando, es lo que aplique en el primer calcule que publique.

  Te adjunto dos ejemplos:

   N=1 https://drive.google.com/open?id=1p9xhyvG37VRDMi0z7GPXnrIcyewzUTmP
   N=2 https://drive.google.com/file/d/1g3HBnN--yJIX8BDDCRej1H2PW3H9Nyov/view?usp=sharing 

Lo que quiero entender es sí resolviendo de esta forma o por los métodos de Trapecio y Simpson son maneras equivalentes de realizar lo mismo.

Ya veo, sí son lo mismo que lo que he hecho en mi primera respuesta. Pero fíjate que estás escribiendo la fórmula mal, mirando en tus imágenes se ve que la fórmula es \( I=\frac{b-a}2\sum_{k=0}^n a_k y_k \), supongo que \( y_k:=f(a+kh) \), donde \( h:=\frac{b-a}n \).