Autor Tema: Lema de Fatou con funciones no necesariamente no negativas.

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09 Diciembre, 2018, 01:51 am
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lindtaylor

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Sea \( g \) función integrable sobre un conjunto \( E \) y suponga que \( (f_n)  \)es una sucesión de funciones medibles tal que \( |f_n|\leq g \) c.t.p sobre \( E. \)
Entonces \( \int_{E} \liminf f_n\leq \liminf \int_{E}f_n\leq \limsup \int_{E}f_n\leq \int_{E}\limsup f_n \).

En la solución de este ejercicio en una parte afirman que \( \int_{E}\liminf f_n+\int g\leq \int \liminf (f_n+g) \). ¿Cómo puedo justificar esto?
Yo lo justifiqué de esta forma: \( \inf f_n+g\leq f_n+g, \liminf f_n+g\leq \liminf(f_n+g) \) luego \( \int\liminf f_n+g\leq  \int \liminf(f_n+g) \). ¿Estaría correcto?

También no sé como justificar que \( \liminf \int (f_n+g)\leq \liminf \int f_n+\int g. \) ¿Cómo se puede justificar esto?
....

09 Diciembre, 2018, 02:42 am
Respuesta #1

Masacroso

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No veo como esto \( \inf f_n+g\leq f_n+g \) justifica esto otro \( \liminf f_n+g\leq \liminf(f_n+g) \), en todo caso tendrías que aclarar algo más esa parte.

La desigualdad ahí no es necesaria ya que \( \liminf_n (f_n(x)+g(x))=g(x)+\liminf_n f_n(x) \), ya que \( g \) es constante ahí dado un \( x\in E \) cualquiera.

Lo que pasa es que sí es cierto, en general, que \( \liminf_n a_n+\liminf_n b_n\le\liminf_n (a_n+b_n) \) para cualquiera par de sucesiones (reales) \( (a_k),(b_k) \).

La igualdad de antes se puede demostrar así: si llamamos \( A:=\{f_n(x):n\in\Bbb N\} \) para un \( x\in E \) dado, denotamos \( c:=g(x) \) entonces \( \inf (A+c)=c+\inf A \), lo que se puede demostrar por contradicción de la definición de \( A+c:=\{x+c: x\in A\} \) y de la de ínfimo, y por tanto la igualdad anteriormente citada.

Tu última desigualdad también se puede escribir como una igualdad por las mismas razones.