Autor Tema: Ecuación exponencial y logaritmos

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08 Diciembre, 2018, 09:04 pm
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johandh_

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Aquí no me queda claro si debo llevar los radicales a mínimo común índice, expresar 9 como potencia de 3 e igualar los exponentes, por esta razón vengo a aclarar mis dudas, el libro expresa que el resultado es \( x = -11 \)

\( \sqrt[ ]{3^{x-1}} \) = \( \sqrt[3 ]{9^{x+2}} \)

Por último estos dos ejercicios de logaritmos

\( x^{log_2 x-3}= x \)

\( x^{log x}= 100x \) con x > 0

No me terminan de quedar claros porque no se cumple la propiedad de que un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número del logaritmo. Estoy atento a las respuestas, saludos a todos.

08 Diciembre, 2018, 09:40 pm
Respuesta #1

statistic_man

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Para la primera cuestión lo más sencillo es escribir ambos miembros de la ecuación en la misma base (3) e igualar los exponentes.

En cuánto a la segunda ecuación no sé si el -3 queda dentro del logaritmo o no. Yo lo que haría es lo siguiente. Como las bases son  iguales igualaría los exponentes para sacar la x.

En el tercero escribiría lo siguiente:  \( \frac{x^{log x}}{100}=x \) aplico propiedad de los logaritmos y resuelvo como el caso previo. Inténtalos y nos cuentas. Saludos.

08 Diciembre, 2018, 09:52 pm
Respuesta #2

oveka

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A la segunda ecuación necesario logaritmizar por base 2.

08 Diciembre, 2018, 09:56 pm
Respuesta #3

statistic_man

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A la segunda ecuación necesario logaritmizar por base 2.

Es irrelevante, iguala exponentes y listo, las bases son iguales. Saludos.

08 Diciembre, 2018, 10:38 pm
Respuesta #4

feriva

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Aquí no me queda claro si debo llevar los radicales a mínimo común índice, expresar 9 como potencia de 3 e igualar los exponentes, por esta razón vengo a aclarar mis dudas, el libro expresa que el resultado es \( x = -11 \)

\( \sqrt[ ]{3^{x-1}} \) = \( \sqrt[3 ]{9^{x+2}} \)

Por último estos dos ejercicios de logaritmos

\( x^{log_2 x-3}= x \)

\( x^{log x}= 100x \) con x > 0

No me terminan de quedar claros porque no se cumple la propiedad de que un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número del logaritmo. Estoy atento a las respuestas

Hola.

Te detallo el primero; escríbelo así

\( (3^{x-1})^{\frac{1}{2}}=(9^{x+2})^{\frac{1}{3}}
  \)

Ahora, logaritmo a los dos lados y regla de las potencias

\( \dfrac{1}{2}log(3^{x-1})=\dfrac{1}{3}log(9^{x+2})
  \)

podemos despejar, por ejemplo así

\( \dfrac{3}{2}log(3^{x-1})=log(9^{x+2})
  \)

volvemos a aplicar la regla de la potencia y expresamos el 9 como tres al cuadrado

\( \dfrac{3(x-1)}{2}log3=(x+2)log(3^{2})
  \)

aplicamos la regla de la potencia con ese cuadrado

\( \dfrac{3(x-1)}{2}log3=(2x+4)log(3)
  \)

y cancelamos log3

\( \dfrac{3(x-1)}{2}=(2x+4)
  \)

\( x=-11 \)

...

Te detallo también el del logaritmo en base 2:

\( x^{(log_{2}x-3)}=x
  \)

Logaritmo a ambos lados y regla de las potencias

\( (log_{2}x-3)logx=logx
  \)

Divides a ambos lados por log(x)

\( log_{2}x-3=1
  \)

\( log_{2}x=4
  \)

y ahí ya está, se hace sin calculadora:

\( x=2^{4}=16
  \)

También es solución x=1, como ha indicado Bobby Fischer

A ver si puedes hacer el que queda.

Saludos.

08 Diciembre, 2018, 11:01 pm
Respuesta #5

sugata

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Feriva, para el primero es más fácil escribir \( 9=3^2 \) e igualar exponentes como ha dicho statistic_man.

09 Diciembre, 2018, 12:14 am
Respuesta #6

Bobby Fischer

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Buenas tardes.

A la segunda ecuación necesario logaritmizar por base 2.

Es irrelevante, iguala exponentes y listo, las bases son iguales. Saludos.


No es irrelevante. Las soluciones de \( f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)} \) en general no son las de \( g(x)=h(x) \).



Te detallo también el del logaritmo en base 2:

\( x^{(log_{2}x-3)}=x
  \)

Logaritmo a ambos lados y regla de las potencias

\( (log_{2}x-3)logx=logx
  \)

Divides a ambos lados por log(x)

\( log_{2}x-3=1
  \)

\( log_{2}x=4
  \)

y ahí ya está, se hace sin calculadora:

\( x=2^{4}=16 \)

A ver si puedes hacer el que queda.

Saludos.

Al dividir entre \( \log(x) \) hay que considerar el caso en que \( \log(x)=0\Rightarrow{x=1} \) que, de hecho, también es solución.

Saludos.

09 Diciembre, 2018, 12:55 am
Respuesta #7

feriva

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Al dividir entre \( \log(x) \) hay que considerar el caso en que \( \log(x)=0\Rightarrow{x=1} \) que, de hecho, también es solución.

Saludos.

Cierto, muchas gracias; voy a editar para añadirlo.

Saludos.

09 Diciembre, 2018, 12:59 am
Respuesta #8

feriva

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Feriva, para el primero es más fácil escribir \( 9=3^2 \) e igualar exponentes como ha dicho statistic_man.


Hola, Sugata. Está en la línea cuarta o quinta puesto como tres al cuadrado; es que lo he hecho detallando los pasos para que se vea todo bien.

Saludos, buenas noches.

17 Enero, 2019, 07:46 am
Respuesta #9

EduardoA

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Aquí no me queda claro si debo llevar los radicales a mínimo común índice, expresar 9 como potencia de 3 e igualar los exponentes, por esta razón vengo a aclarar mis dudas, el libro expresa que el resultado es \( x = -11 \)

\( \sqrt[ ]{3^{x-1}} \) = \( \sqrt[3 ]{9^{x+2}} \)

Por último estos dos ejercicios de logaritmos

\( x^{log_2 x-3}= x \)

\( x^{log x}= 100x \) con x > 0

No me terminan de quedar claros porque no se cumple la propiedad de que un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número del logaritmo. Estoy atento a las respuestas, saludos a todos.

¡Hola! Con respecto a la primera ecuación, ibas por buen camino con ese razonamiento; te presento la forma en  la que lo desarrollé:

\(
\sqrt{3^{x-1}} = \sqrt[3]{9^{x+2}} \\
(\sqrt{3^{x-1}})^{6} = (\sqrt[3]{9^{x+2}})^{6} \\
3^{3x-3} = 9^{2x+4} \\
3^{3x-3} = 3^{4x+8} \\
3x-3 = 4x+8 \\
x = -11
 \)

Ahora bien, con respecto a las logarítmicas, te comparto mi solución de la segunda ya que la primera ha quedado muy bien resuelta en las demás respuestas:

\(
x^{\log{x}}=100x \\
\frac {x^{\log{x}}} {100} = x \\
\log{x}^{\log{x}} - 2 = \log{x} \\
(\log{x})^{2} - \log{x} - 2 = 0 \\
 \)

Donde resolviendo esa cuadrática, y terminando de despejar \(  x  \), tendremos que: \(  x = 100  \) ó \(  x = \frac {1}{10}  \).

Espero te sea de ayuda y si ves que algo anda mal te agradezco me lo hagas saber, saludos.