Autor Tema: Probabilidades

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07 Diciembre, 2018, 10:41 pm
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LuisCdC

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Hola, necesito ayuda con este problema
Para una sucesión de eventos (\( n\geq 2 \)) Bernoulli, V victoria con probabilidad \( p \) y D derrota con \( 1-p \), sea \( Y_n \) la variable aleatoria que indica el numero de veces que aparece la secuencia (V,V).

Ejemplo: en la secuencia para \( n=10 \), {V,V,D,V,V,V,D,V,V,D}, \( Y_{10}= 4 \).
Me piden dar una expresión para la esperanza \( E[Y_n] \) y la varianza \( Var[Y_n] \) en fincion de \( p \) y \( n \).
Necesito una idea de cómo hacerlo, que distribución se puede aplicar acá.

09 Diciembre, 2018, 01:36 am
Respuesta #1

Masacroso

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Lo cierto es que no veía el modo de plantear el problema en una fórmula sencilla de abordar, y sin embargo la solución es tremendamente sencilla. La solución la tienes aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/1722306/find-the-expected-number-of-two-consecutive-1s-in-a-random-binary-string

La clave está en definir \( Y_n:=\sum_{k=1}^{n-1}X_k \), donde cada \( X_k \) representa un par de experimentos de Bernoulli. Los \( X_k \) no son independientes unos de otros, sin embargo la esperanza al ser lineal tendríamos que \( \Bbb E[Y_n]=\sum_{k=1}^{n-1}\Bbb E[X_k] \).

Para calcular la varianza podemos usar la identidad \( \Bbb V[Y_n]=\Bbb E[Y_n^2]-(\Bbb E[Y_n])^2 \) y

\( \displaystyle \Bbb E[Y_n^2]=\Bbb E\left(\sum_{k=1}^{n-1} X_k\right)^2=\sum_{1\le k<j\le n-1}2\Bbb E[X_kX_j]+\sum_{k=1}^{n-1}\Bbb E[X_k^2] \)

sabiendo además que \( \Bbb E[X_kX_j]=\Bbb E[X_j]\Bbb E[X_k] \) cuando \( X_j \) y \( X_k \) son independientes, que en este caso ocurre cuando \( |j-k|\ge 2 \).

09 Diciembre, 2018, 07:53 am
Respuesta #2

LuisCdC

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Muchas gracias, lo entendí todo.
Sabia que tenía su truco porque para hallar su PMF esta fregado.  :D