Autor Tema: Duda sobre la inmersión de espacios Lp en el espacio de distribuciones

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13 Diciembre, 2018, 09:27 pm
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Luxeet

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El ejercicio es el siguiente: Debo demostrar que \( L^p (\Omega) \hookrightarrow D'(\Omega) \) ,   \( \Omega \subseteq{\mathbb{\mathbb{R^n}}} \) es acotado

Spoiler
\( L^p (\Omega)=\left\{{u: \Omega \rightarrow{\mathbb{R}} \ / \ u \ es \ medible \ y \ \displaystyle\int_{\Omega}\left |{u}\right |^p dx< \infty}\right\} \)

\( D'(\Omega)=\left\{{T: D(\Omega) \rightarrow{\mathbb{R}} \ / \ T \ es \ lineal \ y \ continua}\right\} \) (Espacio de distribuciones)

\( L^1 _{loc}(\Omega)=\left\{{u: \Omega \rightarrow{\mathbb{R}} \ / \ u \ es \ medible \ y \ \displaystyle\int_{K}\left |{u}\right | dx< \infty \ y \ K\subseteq{\Omega} \ compacto}\right\} \)
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Para esto tengo por definición que dados dos espacios vectoriales topológicos \( V \) y \( W \) se dice que \( V \hookrightarrow W \) si existe una aplicación \( R: V \rightarrow{ W} \) tal que \( R \) es lineal inyectiva y continua.

(Incluso otros textos toman por definición que \( V \hookrightarrow W \)  si \( \exists{c>0}  \) tal que \( \left |{u}\right |_W \leq{c\left |{u}\right |_V} \) , \( \forall u \in V \))


Ahora, anteriormente a este ejercicio ya tengo demostrado que \( L^{1}_{loc}(\Omega) \hookrightarrow D'(\Omega)  \)

Entonces ¿bastaría demostrar que  \( L^p (\Omega) \subseteq{L^{1}_{loc}(\Omega)} \) para así concluir el ejercicio o debo hacer todo el planteamiento siguiente?:

Spoiler
(1) Definir \( T \ : \ L^p (\Omega) \rightarrow{D'(\Omega)}  \)  tal que \( Tu=\left<{Tu, \varphi}\right>=\displaystyle\int_{\Omega}u(x)\varphi (x)dx \)  ; \( \varphi \in D(\Omega) \)

(2) Probar que \( L^p (\Omega)\subseteq{L^{1}_{loc}(\Omega)} \), para así usar el Lema de Du Bois Raymond y con eso decir que \( T \) es inyectiva

(3)Tomar una suceción \( (u_v)_{v \in \mathbb{N}} \in L^p (\Omega) \) y tambien un \( u \in L^p (\Omega) \) y así probar que si:  \( u_v \rightarrow{u} \) en \( L^p (\Omega) \) \( \Longrightarrow{} \) \( u_v \rightarrow{u} \) en \( D'(\Omega) \)
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Quizá tenga errores en ambos razonamientos que indico,  :( como siempre les agradezco muchísimo toda la atención y ayuda que puedan brindarme.

Saludos cordiales.
Ss.

14 Diciembre, 2018, 08:23 am
Respuesta #1

Masacroso

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Podrías demostrar que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^1_{\rm loc}(\Omega) \), para eso es suficiente con mostrar que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^p_{\rm loc}(\Omega) \) ya que \( L^p_{\rm loc}(\Omega)\hookrightarrow L^1_{\rm loc}(\Omega) \) es bastante trivial.

14 Diciembre, 2018, 06:29 pm
Respuesta #2

Luxeet

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Podrías demostrar que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^1_{\rm loc}(\Omega) \), para eso es suficiente con mostrar que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^p_{\rm loc}(\Omega) \) ya que \( L^p_{\rm loc}(\Omega)\hookrightarrow L^1_{\rm loc}(\Omega) \) es bastante trivial.
Para ello bastaría probar que \( \exists{c>0}  \) tal que \( \left |{u}\right |_{L^{p}_{loc} (\Omega)} \leq{c\left |{u}\right |_{L^p (\Omega)}} \) ,  \( \forall u \in L^p (\Omega) \)

Sería: \( \displaystyle\int_{K} \left |{u(x)}\right |^p  dx=\displaystyle\int_{K}\left |{u\cdot{1}}\right |^pdx\leq{ \left\|{u}\right\|_{q}} \left\|{1}\right\|_{p_1} \) esto por desigualdad de Hölder y \( q \) es el exponente conjugado de \( p_1 \)
(y de aquí elegir un valor adecuado de \( q \) para darle forma a la norma de \( L^p \))


 ¿Y así luego se tendría que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^p_{\rm loc}(\Omega) \)?  :banghead: No sé está bien hacer la integración sobre \( K \) ya que a la derecha de esa desigualdad busco la norma de \( L^{p} \)

Gracias
Ss.

15 Diciembre, 2018, 10:22 am
Respuesta #3

Masacroso

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Podrías demostrar que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^1_{\rm loc}(\Omega) \), para eso es suficiente con mostrar que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^p_{\rm loc}(\Omega) \) ya que \( L^p_{\rm loc}(\Omega)\hookrightarrow L^1_{\rm loc}(\Omega) \) es bastante trivial.
Para ello bastaría probar que \( \exists{c>0}  \) tal que \( \left |{u}\right |_{L^{p}_{loc} (\Omega)} \leq{c\left |{u}\right |_{L^p (\Omega)}} \) ,  \( \forall u \in L^p (\Omega) \)

Sería: \( \displaystyle\int_{K} \left |{u(x)}\right |^p  dx=\displaystyle\int_{K}\left |{u\cdot{1}}\right |^pdx\leq{ \left\|{u}\right\|_{q}} \left\|{1}\right\|_{p_1} \) esto por desigualdad de Hölder y \( q \) es el exponente conjugado de \( p_1 \)
(y de aquí elegir un valor adecuado de \( q \) para darle forma a la norma de \( L^p \))


 ¿Y así luego se tendría que \( L^p(\Omega)\hookrightarrow L^p_{\rm loc}(\Omega) \)?  :banghead: No sé está bien hacer la integración sobre \( K \) ya que a la derecha de esa desigualdad busco la norma de \( L^{p} \)

Gracias

Tienes que usar una función distancia especial para los espacios \( L^p_{\rm loc} \), la norma \( \|{\cdot}\|_p \) me parece que no sirve (no sé ni siquiera si realmente es una norma en este espacio, ya que en principio una norma no puede tomar valores infinitos).

La distancia en los espacios \( L^p_{\rm loc}(X) \), tal y como yo los conozco, se definen a través de una sucesión de subconjuntos abiertos relativamente compactos en \( X \) que cubren a \( X \). Sea esa sucesión \( (X_j) \), entonces para \( f,g\in L^p_{\rm loc}(X) \) se define la distancia

\( \displaystyle d_p(f,g):=\sum_{j=0}^\infty\frac{2^{-j} q_{j,p}(f-g)}{1+q_{j,p}(f-g)} \)

donde \( q_{j,p}(f-g):=\| f|_{X_j}-g|_{X_j}\|_p \), es decir, los \( q_{j,p} \) es la distancia inducida por la norma \( \|{\cdot}\|_p \) en cada subconjunto \( X_j \).

Se puede demostrar que la topología inducida por la función distancia \( d_p \) es independiente de la sucesión utilizada, y que además el espacio es completo bajo esa función distancia.

Ésa es la definición que tengo de la distancia utilizada en los espacios \( L^p_{\rm loc} \). Con esa distancia se puede demostrar que la inclusión \( i:L^p(X)\to L^p_{\rm loc}(X),\, x\mapsto x \) es continua, y por tanto \( L^p(X)\hookrightarrow L^p_{\rm loc}(X) \). Luego la otra inclusión entre \( L^p_{\rm loc} \) y \( L^1_{\rm loc} \) también es continua con esas funciones distancias, terminando así la demostración.

De hecho se puede demostrar, además de la inmersión, que cada espacio es denso dentro de otro... pero eso es otro tema.

P.D.: no conozco el teorema de Du Bois Raymond. Si no has usado la función distancia antes descrita entonces probablemente tengas que hacer la demostración de otra manera, con otras herramientas diferentes de las que yo conozco.