Autor Tema: Superficies

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06 Diciembre, 2018, 05:53 pm
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zaida

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Necesito saber cómo hallar la intersección de las superficies:

\( x^2+y^2 -2xz=6 \)
\( 3x^2-y^2+3z=0 \),

para poder hallar el vector director de la intersección en la dirección de z creciente y así poder hacer la derivada direccional en un punto dado.
No sé cómo hacerlo y lo necesito para un trabajo.
Gracias

07 Diciembre, 2018, 12:30 am
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

Según creo, sería:

\( \begin{cases} x^2+y^2-2xz-6=0  \qquad (i) \\ 3x^2-y^2+3z=0  \qquad (ii) \end{cases} \)

\( F(x,y,z)=x^2+y^2-2xz-6 \)

\( G(x,y,z)=3x^2-y^2+3z \)

Las superficies estarían definidas de manera implícita: \( F(x,y,z)=0; \qquad G(x,y,z)=0; \)

\( \vec{\nabla}F=\left[\begin{array}{ccc}{2x-2z}\\{2y}\\{-2x}\end{array}\right]\parallel \vec{n_F}=\left[\begin{array}{ccc}{x-z}\\{y}\\{-x}\end{array}\right] \)

\( \vec{\nabla}G=\left[\begin{array}{ccc}{6x}\\{-2y}\\{6z}\end{array}\right]\parallel \vec{n_G}=\left[\begin{array}{ccc}{3x}\\{-y}\\{3z}\end{array}\right] \)

\( \vec{n_F}\times \vec{n_G}=det\begin{bmatrix}{\vec{i}}&{\vec{j}}&{\vec{k}}\\{x-z}&{y}&{-x}\\{3x}&{-y}&{3z}\end{bmatrix}=\left[\begin{array}{ccc}{(3z-x)y}\\{3(-x^2-xz+z^2)}\\{y(z-4x)}\end{array}\right]=\vec{d} \)

\( \vec{d} \) es el vector tangente a la curva intersección de las superficies.

Si \( \vec{d}=\left[\begin{array}{ccc}{d_x}\\{d_y}\\{d_z}\end{array}\right] \), entonces la componente \( z \) de \( \vec{d} \) es:

\( d_z=y(z-4x) \)

\( \dfrac{\partial d_z}{\partial z}=\dfrac{\partial d_z}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial z}=\dfrac{\partial d_z}{\partial x}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{\partial z}{\partial x}} \) (Pendiente de confirmación.)

\( \dfrac{\partial d_z}{\partial z}=\dfrac{1}{\dfrac{\partial z}{\partial x}}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}[y(z-4x)]=\dfrac{1}{\dfrac{\partial z}{\partial x}}\cdot \left[\dfrac{\partial y}{\partial x}\cdot (z-4x)+y\cdot (\dfrac{\partial z}{\partial x}-4)\right]; \)

\( \begin{cases} x^2+y^2-2xz=6  \qquad (i) \\ 3x^2-y^2+3z=0  \qquad (ii) \end{cases} \)

\( 4x^2+(3-2x)z=6\qquad (i)+(ii) \)

\( z=\dfrac{4x^2-6}{2x-3} \) (Despejar \( z \) de \( (i)+(ii) \))

Sustituir en \( (i) \):

\( y^2=\dfrac{6x^3+3x^2-18}{2x-3} \)

(Sustituir en \( (ii) \), por supuesto, tiene que dar la misma expresión para \( y \))

\( x \) es un parámetro libre.

La curva dada en forma paramétrica es:

\( \left[\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\\{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{\pm \displaystyle \sqrt{\dfrac{6x^3+3x^2-18}{2x-3}}}\\{\dfrac{4x^2-6}{2x-3}}\end{array}\right] \) (lo cual nos da las expresiones de \( y \) y \( z \) para poder calcular las derivadas parciales anteriores)

El contenido del spoiler contiene un error muy grande. No le presten atención. Fallo de principiante que puede resumirse en:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=107194.msg423256#msg423256

Spoiler
Me gustaría añadir que no tengo un conocimiento "de peso" de lo que aquí se expone.

\( \begin{cases} x^2+y^2-2xz=6  \qquad (i) \\ 3x^2-y^2+3z=0  \qquad (ii) \end{cases} \)

Despeja \( z \) de \( (ii) \) y sustituye en \( (i) \).

Queda: \( 2x^3-\dfrac{2}{3}xy^2+x^2+y^2-6=0 \)

A \( 2x^3-\dfrac{2}{3}xy^2+x^2+y^2-6 \) lo llamamos \( F(x,y,z) \), de manera que \( F(x,y,z)=0 \).

Ahora \( \vec{\nabla}F=\left[\begin{array}{ccc}{\dfrac{\partial f}{\partial x}}\\{\dfrac{\partial f}{\partial y}}\\{\dfrac{\partial f}{\partial z}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\dfrac{\partial f}{\partial x}}\\{\dfrac{\partial f}{\partial y}}\\{0}\end{array}\right] \)

\( D_{\vec{k}}f=\vec{\nabla}F\cdot \vec{k}=\left[\begin{array}{ccc}{\dfrac{\partial f}{\partial x},}&{\dfrac{\partial f}{\partial y},}&{0}\end{array}\right]\!\!\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{1}\end{array}\right]=0 \)

https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente

https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_direccional

https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/05/11-Vector-Normal-y-Plano-Tangente.pdf

Con Mathematica:

Plot3D[{(x^2 + y^2 - 6)/(2 x), y^2/3 - x^2}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, Exclusions -> {x == 0}, PlotStyle -> {Red, Green}, BoxRatios -> True]



Plot3D[{y^2/3 - x^2}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, PlotStyle -> {Green}, BoxRatios -> True]



Plot3D[{(x^2 + y^2 - 6)/(2 x)}, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, Exclusions -> {x == 0}, PlotStyle -> {Red}, BoxRatios -> True]



ContourPlot3D[{x^3 - 2/3*x*y^2 + x^2 + y^2 - 6 == 0}, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, {z, -10, 10}, BoxRatios -> True]



Saludos.
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07 Diciembre, 2018, 01:27 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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La curva intersección de las superficies dadas es:






ParametricPlot3D[{{x, Sqrt[(6 x^3 + 3 x^2 - 18)/(2 x - 3)], (4 x^2 - 6)/(2 x - 3)}, {x, -Sqrt[(6 x^3 + 3 x^2 - 18)/(2 x - 3)], (4 x^2 - 6)/(2 x - 3)}}, {x, -50, 50}, Exclusions -> {x == 3/2}, PlotStyle -> {Red, Green}, BoxRatios -> True]


Saludos.