[Fernando Moreno]

Hola Luis. Lo de los restos no enteros tengo que estudiarlo. Es una prueba más de que no lo estaba haciendo bien; pues no pretendía eso.

De todas maneras, dando una segunda vuelta a lo planteado, me surge alguna curiosidad más. Por ejemplo:

Tengo que:  \( x^3=z^3-y^3\,=\,z^2(z)-y^2(y) \) .  Si divido la ecuación entre  \( 3^{3k} \) ;  Módulo \( 3^{3k} \)  tendré:  \( 0=z^2(a)-y^2(b) \) .  Puesto que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( x^3 \) .  Y  " a " sería el resto con  " \( z \) "  -y-  " b " el resto con  " \( y \) " .  Creo que hasta aquí bien.

Como también:  \( z-y=x-d \) .  Si divido también entre  \( 3^{3k} \) .  Módulo \( 3^{3k} \)  tendré:  \( a-b=\,1\,\vee\,2\,\vee\,.\,.\vee\,\,R \) .  Porque  \( 3^{3k} \)  no divide á  " \( x-d \) " .  Luego " a "  \( \wedge \)  " b " tendrán valores diferentes, no pueden ser iguales. Pero como hemos dicho antes que:  \( 0=z^2(a)-y^2(b) \) ;  entonces:  \( z^2=b \)  \( \wedge \)  \( y^2=a \) ,  ¿no?

Pero entonces:  " \( y^2-z^2=\,1\,\vee\,2\,\vee\,.\,.\vee\,\,R \) " .  Pero como  \( 3^{3k-1} \)  divide á  \( z^2-y^2 \) ,  también dividirá á  \( y^2-z^2 \) .  Y eso significaría que yo podría dividir entre  \( 3^{3k} \)  e incluso con mayores potencias de 3 que ésa á  " \( z-y \) " .  Cuando habíamos establecido que la potencia de 3 mayor que podría dividirlo era de:  " \( 3^{3k-1} \) " .

Un saludo,

[mente oscura]

Pero entonces:  " \( y^2-z^2=\,1\,\vee\,2\,\vee\,.\,.\vee\,\,R \) " .  Pero como  \( 3^{3k-1} \)  divide á  \( z^2-y^2 \) ,  también dividirá á  \( y^2-z^2 \) .  Y eso significaría que yo podría dividir entre  \( 3^{3k} \)  e incluso con mayores potencias de 3 que ésa á  " \( z-y \) " .  Cuando habíamos establecido que la potencia de 3 mayor que podría dividirlo era de:  " \( 3^{3k-1} \) " .

Un saludo,

Hola.

Me pierdo, un poco, entre tanta letra. Pero lo que tengo "claro", es que esa afirnación es errónea.

Si \( 3^{3k-1}|(y-z) \rightarrow{  } 3^{3k-1}|(y^2-z^2) \ / 3^{3k} \cancel{|}(y^2-z^2) \). Porque \( 3 \cancel{!}(y+z) \).

El desarrollo normal es: \( x^3=z^3-y^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)=(z-y)[(z-y)^2+3zy] \).

Entonces, \( 3^{3k-1}|(z-y) \) y \( 3^1|(z^2+zy+y^2) \).

Un cordial saludo.

[Fernando Moreno]

Holal mente oscura.

La cosa está en que si después de dividir  " \( z-y \) "  entre  \( 3^{3k} \) ;  que no da entero (como efectivamente tú indicas). Los restos que se obtienen:  " \( a-b \) " ;  son a su vez divisibles entre 3. Yo entiendo que sí, si es cierto que:  \( a=y^2 \)  \( \wedge \)  \( b=z^2 \) .  Pero puedo estar equivocado, naturalmente. De hecho, por mi estadísticas de aciertos, debe ser así. Pero necesito entender donde está el error en mi razonamiento; más que en la existencia de supuestos límites infranqueables.

Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo que:  \( x^3=z^3-y^3\,=\,z^2(z)-y^2(y) \) .  Si divido la ecuación entre  \( 3^{3k} \) ;  Módulo \( 3^{3k} \)  tendré:  \( 0=z^2(a)-y^2(b) \) .  Puesto que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( x^3 \) .  Y  " a " sería el resto con  " \( z \) "  -y-  " b " el resto con  " \( y \) " .  Creo que hasta aquí bien.

Si lo que vas a hace es tomar restos módulo "tanto"... no digas que divides por "tanto"; di que tomas restos módulo "tanto". En otro caso puede prestarse a confusión porque en algún momento dividiste "de verdad", y acabase manejando números no enteros.

Entonces entiendo que tomas restos módulo \( 3^{3k} \) en la ecuación \( x^3=z^3-y^3 \). Como \( x \) es divisible por \( 3^k \) obtienes:

\( 0\equiv z^2a-y^2b \) mod \( 3^{3k} \) donde \( a\equiv z \) mod \( 3^{3k} \) y \( b\equiv y \) mod \( 3^{3k} \)

Fíjate que mantengo tu forma de escribirlo, aunque lo lógico por la notación que has usado para los restos de \( z,y \) sería escribir:

\( 0\equiv a^3-b^3 \) mod \( 3^{3k} \)

Como también:  \( z-y=x-d \) .  Si divido también entre  \( 3^{3k} \) .  Módulo \( 3^{3k} \)  tendré:  \( a-b=\,1\,\vee\,2\,\vee\,.\,.\vee\,\,R \) .Porque  \( 3^{3k} \)  no divide á  " \( x-d \) ".

 

Aquí simplemente quieres decir que \( z-y\neq 0 \) mod \( 3^{3k} \) o equivalentemente \( a-b\neq 0 \) mod \( 3^{3k} \) porque \( z-y \) no es divisible por \( 3^{3k} \) .

En ese sentido y sólo a efectos de notación, ¿no te parece más económico decir que \( a-b\neq 0 \) que enumerar todos los valores ("muchos") que SI puede tomar?.

También una vez más justificas la afirmación basándote en alguna propiedad de \( x-d \). Pero para deducir esas propiedades no hace falta para nada usar \( d \), que es una variable que no aporta ninguna información. Tienes cierta tendencia a sobrestimar su utilidad y en algún caso te ha llevado a error. Sea como sea, es cierto que estamos bajo la hipótesis (correcta) de que \( 3^{3k-1} \) es la máxima potencia de \( 3 \) que divide a \( z-y \).

.  Luego " a "  \( \wedge \)  " b " tendrán valores diferentes, no pueden ser iguales.

Bien.

Pero como hemos dicho antes que:  \( 0=z^2(a)-y^2(b) \) ;  entonces:  \( z^2=b \)  \( \wedge \)  \( y^2=a \) ,  ¿no?

No tiene porqué. Es decir en general \( 0=pa-qb \) mod \( N \) no significa que \( p=b \) y \( a=q \) mod \( N \). ¡Ni siquiera se da sin trabajar con restos!. \( 2\cdot 14-4\cdot 7 \)=0 por ejemplo.

Pero entonces:  " \( y^2-z^2=\,1\,\vee\,2\,\vee\,.\,.\vee\,\,R \) " .

 

Ahí quieres decir simplemente que \( y^2-z^2\neq 0 \) mod \( 3^{3k} \). Bien.

Pero como  \( 3^{3k-1} \)  divide á  \( z^2-y^2 \) ,  también dividirá á  \( y^2-z^2 \) .  Y eso significaría que yo podría dividir entre  \( 3^{3k} \)  e incluso con mayores potencias de 3 que ésa á  " \( z-y \) " .  Cuando habíamos establecido que la potencia de 3 mayor que podría dividirlo era de:  " \( 3^{3k-1} \) " .

Aquí no se si te entiendo bien. Pareces creer que si \( z-y=a-b \) mod \( 3^{3k} \) y \( a-b \) es divisible por \( 3^{3k-1} \) entonces \( z-y \) es divisible por una potencia de \( 3 \) mayor que \( 3k-1 \). Y no es así. Por ejemplo:

\( z-y=3^{3k-1}+3^{3k} \)

De forma que \( z-y=a-b=3^{3k-1} \) mod \( 3^{3k} \), \( a-b \) es divisible por \( 3^{3k-1} \) pero \( z-y \) no es divisible por \( 3^{3k} \).

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola,

Tengo que:  \( x^3=z^3-y^3\,=\,z^2(z)-y^2(y) \) .  Si divido la ecuación entre  \( 3^{3k} \) ;  Módulo \( 3^{3k} \)  tendré:  \( 0=z^2(a)-y^2(b) \) .  Puesto que  \( 3^{3k} \)  divide á  \( x^3 \) .  Y  " a " sería el resto con  " \( z \) "  -y-  " b " el resto con  " \( y \) " .  Creo que hasta aquí bien.

Si lo que vas a hace es tomar restos módulo "tanto"... no digas que divides por "tanto"; di que tomas restos módulo "tanto". En otro caso puede prestarse a confusión porque en algún momento dividiste "de verdad", y acabase manejando números no enteros.

Entonces entiendo que tomas restos módulo \( 3^{3k} \) en la ecuación \( x^3=z^3-y^3 \). Como \( x \) es divisible por \( 3^k \) obtienes:

\( 0\equiv z^2a-y^2b \) mod \( 3^{3k} \) donde \( a\equiv z \) mod \( 3^{3k} \) y \( b\equiv y \) mod \( 3^{3k} \)

Fíjate que mantengo tu forma de escribirlo, aunque lo lógico por la notación que has usado para los restos de \( z,y \) sería escribir:

\( \color{red}0\equiv a^3-b^3 \) mod \( 3^{3k} \)

Como también:  \( z-y=x-d \) .  Si divido también entre  \( 3^{3k} \) .  Módulo \( 3^{3k} \)  tendré:  \( a-b=\,1\,\vee\,2\,\vee\,.\,.\vee\,\,R \) .Porque  \( 3^{3k} \)  no divide á  " \( x-d \) ".

Aquí simplemente quieres decir que \( z-y\neq 0 \) mod \( 3^{3k} \) o equivalentemente \( a-b\neq 0 \) mod \( 3^{3k} \) porque \( z-y \) no es divisible por \( 3^{3k} \) .

En ese sentido y sólo a efectos de notación, ¿no te parece más económico decir que \( a-b\neq 0 \) que enumerar todos los valores ("muchos") que SI puede tomar?.

También una vez más justificas la afirmación basándote en alguna propiedad de \( x-d \). Pero para deducir esas propiedades no hace falta para nada usar \( d \), que es una variable que no aporta ninguna información. Tienes cierta tendencia a sobrestimar su utilidad y en algún caso te ha llevado a error.

Ok, intentaré expresarme de forma mejor. Tomo nota de todo. (Quisiste decir: " \( 0\equiv a-b \) mod \( 3^{3k} \) " )

Pero como hemos dicho antes que:  \( 0=z^2(a)-y^2(b) \) ;  entonces:  \( z^2=b \)  \( \wedge \)  \( y^2=a \) ,  ¿no?

No tiene porqué. Es decir en general \( 0=pa-qb \) mod \( N \) no significa que \( p=b \) y \( a=q \) mod \( N \). ¡Ni siquiera se da sin trabajar con restos!. \( 2\cdot 14-4\cdot 7 \)=0 por ejemplo.

No profundicé lo suficiente aquí. Ni un poco 

Pero como  \( 3^{3k-1} \)  divide á  \( z^2-y^2 \) ,  también dividirá á  \( y^2-z^2 \) .  Y eso significaría que yo podría dividir entre  \( 3^{3k} \)  e incluso con mayores potencias de 3 que ésa á  " \( z-y \) " .  Cuando habíamos establecido que la potencia de 3 mayor que podría dividirlo era de:  " \( 3^{3k-1} \) " .

Aquí no se si te entiendo bien. Pareces creer que si \( z-y=a-b \) mod \( 3^{3k} \) y \( a-b \) es divisible por \( 3^{3k-1} \) entonces \( z-y \) es divisible por una potencia de \( 3 \) mayor que \( 3k-1 \). Y no es así. Por ejemplo:

\( z-y=3^{3k-1}+3^{3k} \)

De forma que \( z-y=a-b=3^{3k-1} \) mod \( 3^{3k} \), \( a-b \) es divisible por \( 3^{3k-1} \) pero \( z-y \) no es divisible por \( 3^{3k} \).

Aquí tampoco hice mis deberes bien. Disculpas. Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Ok, intentaré expresarme de forma mejor. Tomo nota de todo. (Quisiste decir: " \( 0\equiv a-b \) mod \( 3^{3k} \) " )

No, quise decir lo que puse.

Si \( z\equiv a \) mod \( 3^{3k} \), \( y\equiv b \) mod \( 3^{3k} \), entonces \( z^3\equiv a^3 \) mod \( 3^{3k} \), \( y^3\equiv b^3 \) mod \( 3^{3k} \) y por tanto \( z^3-y^3\equiv a^3-b^3 \) mod \( 3^{3k} \).

Saludos.

[mongar]

3 divide a x, se pierde generalidad al suponerlo?, segun mis  calculos si el exponente divide a x, no existe solucion entera.

[mongar]

Siguiendo con el tema y sin afan de corregir ejercicios, como se distinguen segun tu razonamiento las parejas x,y; con la misma diferencia? Asi, por ejemplo, 7, 10 de 10, 13, de 13, 16,  ...,  a mi modo de ver el problema, se hace necesario un descenso finito.

[Fernando Moreno]

Hola mongar,

3 divide a x, se pierde generalidad al suponerlo?, segun mis  calculos si el exponente divide a x, no existe solucion entera.

Me parece bien que hagas tu propio intento. Y si te he podido inspirar en algo, mejor que mejor. Pero yo veo que lo suyo es que lo hagas en un hilo a parte y si quieres, haces referencia al mío. No se pierde generalidad si 3 divide á  \( x \) .  De hecho el caso n = 3 es equivalente a plantearlo de esta forma:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) .

Siguiendo con el tema y sin afan de corregir ejercicios, como se distinguen segun tu razonamiento las parejas x,y; con la misma diferencia? Asi, por ejemplo, 7, 10 de 10, 13, de 13, 16,  ...,  a mi modo de ver el problema, se hace necesario un descenso finito.

Aquí no entiendo lo que quieres decir. Pero ya digo que en general no hay distinciones entre  \( x \)  ó  \( y \) .  Te repito, muéstranos tu intento, será interesante.

Un saludo,