Hola,
Supongo que \( z^3=x^3+y^3 \) , para \( x,y,z \) enteros, coprimos dos a dos; uno de ellos par y que " \( 3 \) " divide á “ \( x \) " .
De esta manera: \( x^3=z^3-y^3\,=\,(z-y)\,(z^2+zy+y^2)\,=\,(z-y)\,(\,(z-y)^2+3zy\,) \) . Como 3 no divide ni á “ \( y \) “ , ni á “ \( z \) “ . Entonces “ \( 9 \) “ debe dividir á “ \( z-y \) “ .
Puesto que: \( z^3=x^3+y^3 \) , sabemos que: \( z=x+y-d \) ; para un “ \( d \) “ entero menor que el menor de los valores de \( x,y \) . De esta manera: \( z-y\,=\,x-d \) . Y : “ \( 9 \) “ divide á " \( z-y \) " -y- \( 3 \) (y sólo \( 3 \)) divide á " \( x \) " -y- por tanto á " \( d \) " .
La división euclídea de “ \( z \) “ entre \( 9 \) es: \( z=9q_1+r_1 \) ( \( q_1,r_1 \) enteros; \( r_1\,<\,9 \) ) . Y la de “ \( y \) “ entre \( 9 \) es: \( y=9q_2+r_2 \) . Sustituyendo en: " \( z-y\,=\,x-d \) " ; tendremos: \( 9q_1+r_1-9q_2-r_2\,=\,x-d \) . Si dividimos esta ecuación entre 9 ; entonces: \( q_1-q_2+\dfrac{r_1}{9}-\dfrac{r_2}{9}\,=\,\dfrac{x’-d’}{3} \) ; para: \( x’=\dfrac{x}{3} \) , \( d’=\dfrac{d}{3} \) , “ \( \dfrac{r_1-r_2}{9} \) “ entero \( \wedge \) “ \( \dfrac{x’-d’}{3} \) “ entero. Si yo dividiera ahora la ecuación resultante entre 3, me quedaría (Módulo 3) : \( a-b+c-e\,=\,1\,\vee\,2 \) ; para unos \( a,b,c,e \) de valor: \( 0\,\vee\,1\,\vee\,2 \) . El resultado es “ \( 1\,\vee\,2 \) “ , puesto que “ \( x-d \) “ no es divisible entre 27. Éste es el punto de partida que suponemos como verdadero.
En base a las divisiones euclídeas entre 9 referidas antes de “ \( z \) “ -y- de “ \( y \) “ , yo puedo reescribir “ \( z^3-y^3=x^3 \) “ así: \( z^2(9q_1+r_1)-y^2(9q_2+r_2)=x^3 \) . Esto es: \( 9z^2q_1-9y^2q_2+z^2r_1-y^2r_2=x^3 \) . Si divido esta ecuación entre 9: \( z^2q_1-y^2q_2+\dfrac{z^2r_1}{9}-\dfrac{y^2r_2}{9}=3x’^3 \) ; para: \( x’^3=\dfrac{x^3}{27} \) \( \wedge \) “ \( \dfrac{z^2r_1-y^2r_2}{9} \) “ entero. Veamos ahora qué ocurre si divido la ecuación resultante entre 3. Módulo 3 será: \( f-g+h-i=0 \) ; para unos \( f,g,h,i \) de valor: \( 0\,\vee\,1\,\vee\,2 \) . El resultado será “ \( 0 \) “ , puesto que obviamente “ \( 3x’^3 \) “ es divisible entre 3.
Pero esto no ocurre de esta manera. Analicemos por qué. Lo que yo tengo realmente al hacer esta última división Módulo 3 es esto: \( z^2a-y^2b+z^2c-y^2e=0 \) . Como Módulo 3 : “ \( z^2 \) “ es igual á 1 , pues es el único resto cuadrático de 3. Y lo mismo pasa con “ \( y^2 \) “. En realidad: \( z^2a-y^2b+z^2c-y^2e=\,\,"a-b+c-e" \) . Pero esto es ya una contradicción. Pues si hemos establecido que: \( a-b+c-e\,=\,1\,\vee\,2 \) ; ¿cómo es posible ahora que: \( a-b+c-e\,=\,0 \) ?
Un saludo,