Autor Tema: Intento n = 3 sin descenso

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04 Diciembre, 2018, 07:08 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo que  \( z^3=x^3+y^3 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos;  uno de ellos par y que  " \( 3 \) "  divide á  “ \( x \) " .

De esta manera:  \( x^3=z^3-y^3\,=\,(z-y)\,(z^2+zy+y^2)\,=\,(z-y)\,(\,(z-y)^2+3zy\,) \) .  Como 3 no divide ni á  “ \( y \) “ ,  ni á  “ \( z \) “ .  Entonces  “ \( 9 \) “  debe dividir á  “ \( z-y \) “ .

Puesto que:  \( z^3=x^3+y^3 \) ,  sabemos que:  \( z=x+y-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  \( x,y \) .  De esta manera:  \( z-y\,=\,x-d \) .  Y :  “ \( 9 \) “  divide á  " \( z-y \) "  -y-  \( 3 \)  (y sólo \( 3 \))  divide á  " \( x \) "  -y- por tanto á  " \( d \) " .

La división euclídea de  “ \( z \) “  entre  \( 9 \)  es:  \( z=9q_1+r_1 \)  ( \( q_1,r_1 \)  enteros;  \( r_1\,<\,9 \) ) .  Y la de  “ \( y \) “  entre  \( 9 \)  es:  \( y=9q_2+r_2 \) .  Sustituyendo en:  " \( z-y\,=\,x-d \) " ;  tendremos:  \( 9q_1+r_1-9q_2-r_2\,=\,x-d \) .  Si dividimos esta ecuación entre 9 ;  entonces:  \( q_1-q_2+\dfrac{r_1}{9}-\dfrac{r_2}{9}\,=\,\dfrac{x’-d’}{3} \) ;  para:  \( x’=\dfrac{x}{3} \)   ,   \( d’=\dfrac{d}{3} \)   ,   “ \( \dfrac{r_1-r_2}{9} \) “  entero   \( \wedge \)   “ \( \dfrac{x’-d’}{3} \) “  entero.  Si yo dividiera ahora la ecuación resultante entre 3, me quedaría (Módulo 3) :  \( a-b+c-e\,=\,1\,\vee\,2 \) ;  para unos  \( a,b,c,e \)  de valor:  \( 0\,\vee\,1\,\vee\,2 \) .  El resultado es  “ \( 1\,\vee\,2 \) “ ,  puesto que  “ \( x-d \) “  no es divisible entre 27. Éste es el punto de partida que suponemos como verdadero.

En base a las divisiones euclídeas entre 9 referidas antes de  “ \( z \) “  -y-  de  “ \( y \) “ ,  yo puedo reescribir  “ \( z^3-y^3=x^3 \) “  así:  \( z^2(9q_1+r_1)-y^2(9q_2+r_2)=x^3 \) .  Esto es:  \( 9z^2q_1-9y^2q_2+z^2r_1-y^2r_2=x^3 \) .  Si divido esta ecuación entre 9:  \( z^2q_1-y^2q_2+\dfrac{z^2r_1}{9}-\dfrac{y^2r_2}{9}=3x’^3 \) ;  para:  \( x’^3=\dfrac{x^3}{27} \)   \( \wedge \)   “ \( \dfrac{z^2r_1-y^2r_2}{9} \) “  entero. Veamos ahora qué ocurre si divido la ecuación resultante entre 3. Módulo 3 será:  \( f-g+h-i=0 \) ;  para unos  \( f,g,h,i \)  de valor:  \( 0\,\vee\,1\,\vee\,2 \) .  El resultado será  “ \( 0 \) “ ,  puesto que obviamente  “ \( 3x’^3 \) “  es divisible entre 3.

Pero esto no ocurre de esta manera. Analicemos por qué. Lo que yo tengo realmente al hacer esta última división Módulo 3 es esto:  \( z^2a-y^2b+z^2c-y^2e=0 \) .  Como Módulo 3 :  “ \( z^2 \) “  es igual á  1 , pues es el único resto cuadrático de 3.  Y lo mismo pasa con  “ \( y^2 \) “.  En realidad:  \( z^2a-y^2b+z^2c-y^2e=\,\,"a-b+c-e" \) .  Pero esto es ya una contradicción. Pues si hemos establecido que:  \( a-b+c-e\,=\,1\,\vee\,2 \) ;  ¿cómo es posible ahora que:  \( a-b+c-e\,=\,0 \) ?


Un saludo,                     
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04 Diciembre, 2018, 11:05 pm
Respuesta #1

mente oscura

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...
 ,  puesto que  “ \( x-d \) “  no es divisible entre 27. Éste es el punto de partida que suponemos como verdadero.

                    

Buenas noches.

Estimado Fernando, esa afirmación no es correcta.

Según mi estudio general, en el hilo "reflexiones sobre UTF": \( 3^{3k-1}|(x-d)/ k>1 \). Considerando que \( 3^k|x \rightarrow{ }3^k|d \), con \( k>1 \). Demostré que \( k \cancel{=}1 \).

Un cordial saludo

05 Diciembre, 2018, 08:49 am
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola mente oscura.

¿Entonces  \( 9 \)  ó  \( 3^k \)  para un  \( k \)  mayor todavía divide á  \( x \) ?

Yo entiendo que en ese caso la contradicción continua, sólo que ahora haciendo las divisiones euclídeas entre 27 y para un  \( x'^3=\dfrac{x^3}{729} \)  en su caso. Ahora mismo no puedo ser más concreto, no tengo tiempo hasta más tarde. Yo no afirmo que 3 y sólo 3 tenga que dividir á  \( x \) .  Parto de ese mínimo. Y lo que hago ver es que si ese mínimo se incumple entonces caeríamos en un bucle hacia el infinito: siempre habría que suponer un  " \( k \) "  mayor, sin límite.

Un saludo,
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05 Diciembre, 2018, 11:09 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Además de lo apuntado por mente oscura, que es correcto, no acabo de entender lo que haces.

Puesto que:  \( z^3=x^3+y^3 \) ,  sabemos que:  \( z=x+y-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  \( x,y \) .  De esta manera:  \( z-y\,=\,x-d \) .  Y :  “ \( 9 \) “  divide á  " \( z-y \) "  -y-  \( 3 \)  (y sólo \( 3 \))  divide á  " \( x \) "  -y- por tanto á  " \( d \) " .

Cuando dices que \( 3 \) y sólo \( 3 \) divide a \( x \), pareces asegurar que \( 3 \) divide a \( x \) pero no \( 9 \) y como te ha dicho mente oscura no es así.

No distingo muy bien en general como justificas las afirmaciones que haces; recuerda que esa \( d \) que introduces no es otra cosa que \( d=x+y-z \). A donde voy con eso, es que es variable auxiliar te puede ayudar a escribir alguna fórmula más cómodamente pero no te va a permitir deducir nada nuevo que no  puedas deducir usando sólo \( x,y,z. \) Lo digo porque a veces me parece que escribiendo \( z=x+y-d \) pretendieses deducir alguna propiedad de divisibilidad sobre \( x \).

Citar
La división euclídea de  “ \( z \) “  entre  \( 9 \)  es:  \( z=9q_1+r_1 \)  ( \( q_1,r_1 \)  enteros;  \( r_1\,<\,9 \) ) .  Y la de  “ \( y \) “  entre  \( 9 \)  es:  \( y=9q_2+r_2 \) .  Sustituyendo en:  " \( z-y\,=\,x-d \) " ;  tendremos:  \( 9q_1+r_1-9q_2-r_2\,=\,x-d \) .  Si dividimos esta ecuación entre 9 ;  entonces:  \( q_1-q_2+\dfrac{r_1}{9}-\dfrac{r_2}{9}\,=\,\dfrac{x’-d’}{3} \) ;  para:  \( x’=\dfrac{x}{3} \)   ,   \( d’=\dfrac{d}{3} \)   ,   “ \( \dfrac{r_1-r_2}{9} \) “  entero   \( \wedge \)   “ \( \dfrac{x’-d’}{3} \) “  entero.  Si yo dividiera ahora la ecuación resultante entre 3, me quedaría (Módulo 3) :  \( a-b+c-e\,=\,1\,\vee\,2 \) ;  para unos  \( a,b,c,e \)  de valor:  \( 0\,\vee\,1\,\vee\,2 \) .  El resultado es  “ \( 1\,\vee\,2 \) “ ,  puesto que  “ \( x-d \) “  no es divisible entre 27. Éste es el punto de partida que suponemos como verdadero.

Ahí me pierdo. ¿Cuál se supone que es la ecuación resultante? Si todo nace de ir dividiendo la identidad  \( z-y=x+d \), es decir, \( z-y-x+d=0 \) al final eso será cero módulo "cualquier cosa". Pero supongo que te refieres a otra cosa. Intenta explicarlo mejor.

Saludos.

05 Diciembre, 2018, 03:17 pm
Respuesta #4

Fernando Moreno

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Hola,

Además de lo apuntado por mente oscura, que es correcto, no acabo de entender lo que haces.

Puesto que:  \( z^3=x^3+y^3 \) ,  sabemos que:  \( z=x+y-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  \( x,y \) .  De esta manera:  \( z-y\,=\,x-d \) .  Y :  “ \( 9 \) “  divide á  " \( z-y \) "  -y-  \( 3 \)  (y sólo \( 3 \))  divide á  " \( x \) "  -y- por tanto á  " \( d \) " .

Cuando dices que \( 3 \) y sólo \( 3 \) divide a \( x \), pareces asegurar que \( 3 \) divide a \( x \) pero no \( 9 \) y como te ha dicho mente oscura no es así.

Es cierto, no me acordaba que dije: " y sólo 3 ". Es en otro contexto, pero en todo caso no está bien particularizado.


No distingo muy bien en general como justificas las afirmaciones que haces; recuerda que esa \( d \) que introduces no es otra cosa que \( d=x+y-z \). A donde voy con eso, es que es variable auxiliar te puede ayudar a escribir alguna fórmula más cómodamente pero no te va a permitir deducir nada nuevo que no  puedas deducir usando sólo \( x,y,z. \) Lo digo porque a veces me parece que escribiendo \( z=x+y-d \) pretendieses deducir alguna propiedad de divisibilidad sobre \( x \).

Citar
La división euclídea de  “ \( z \) “  entre  \( 9 \)  es:  \( z=9q_1+r_1 \)  ( \( q_1,r_1 \)  enteros;  \( r_1\,<\,9 \) ) .  Y la de  “ \( y \) “  entre  \( 9 \)  es:  \( y=9q_2+r_2 \) .  Sustituyendo en:  " \( z-y\,=\,x-d \) " ;  tendremos:  \( 9q_1+r_1-9q_2-r_2\,=\,x-d \) .  Si dividimos esta ecuación entre 9 ;  entonces:  \( q_1-q_2+\dfrac{r_1}{9}-\dfrac{r_2}{9}\,=\,\dfrac{x’-d’}{3} \) ;  para:  \( x’=\dfrac{x}{3} \)   ,   \( d’=\dfrac{d}{3} \)   ,   “ \( \dfrac{r_1-r_2}{9} \) “  entero   \( \wedge \)   “ \( \dfrac{x’-d’}{3} \) “  entero.  Si yo dividiera ahora la ecuación resultante entre 3, me quedaría (Módulo 3) :  \( a-b+c-e\,=\,1\,\vee\,2 \) ;  para unos  \( a,b,c,e \)  de valor:  \( 0\,\vee\,1\,\vee\,2 \) .  El resultado es  “ \( 1\,\vee\,2 \) “ ,  puesto que  “ \( x-d \) “  no es divisible entre 27. Éste es el punto de partida que suponemos como verdadero.

Ahí me pierdo. ¿Cuál se supone que es la ecuación resultante? Si todo nace de ir dividiendo la identidad  \( z-y=x+d \), es decir, \( z-y-x+d=0 \) al final eso será cero módulo "cualquier cosa". Pero supongo que te refieres a otra cosa. Intenta explicarlo mejor.

Entreveo lo que dices pero sin llegar al fondo. Pongo un ejemplo de lo que he querido decir respecto de lo que me has señalado en rojo:

\( 9\cdot{8}-9\cdot{3}+24-6=63 \)

Primero divido entre 9:  \( 8-3+2=7 \)  -y-  \( 7 \)  es naturalmente entero.

Si ahora divido entre 3, tengo:  \( 2,\overline{3}=2,\overline{3} \) . Que Módulo 3 es:  \( 2-0+2=1 \) .  Este último " \( 1 \) " es al que me refería que me tenía que dar:  " \( 1\,\vee\,2 \) " .

Un saludo, 
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05 Diciembre, 2018, 04:07 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Entreveo lo que dices pero sin llegar al fondo. Pongo un ejemplo de lo que he querido decir respecto de lo que me has señalado en rojo:

\( 9\cdot{8}-9\cdot{3}+24-6=63 \)

Primero divido entre 9:  \( 8-3+2=7 \)  -y-  \( 7 \)  es naturalmente entero.

Si ahora divido entre 3, tengo:  \( 2,\overline{3}=2,\overline{3} \) . Que Módulo 3 es:  \( 2-0+2=1 \) .  Este último " \( 1 \) " es al que me refería que me tenía que dar:  " \( 1\,\vee\,2 \) " .
mmmm... el ejemplo bien. Pero tienes que concretar las cosas. No puede ser que el lector tenga que adivinar quien es \( a,b,c,e \) en tu desarrollo. De hecho todavía no me queda 100% claro porque en tu ejemplo solo tienes tres términos \( 2-0+2 \).

Al final lo que pareces estar diciendo es que \( \dfrac{x-d}{9} \) como no es divisible por \( 3 \), pues da de resto módulo tres \( 1 \) o \( 2 \). Lo cual es cierto bajo la suposición de que \( 3^2 \) es la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( z-y. \) Si es eso no hace falta tanto lío para decirlo.

Más adelanta vuelves a hablar de "la ecuación resultante" y sigue sin ser claro para mi a que te refieres.

Entonces intenta reescribir todo de manera que pueda entenderse; sin dejar cabos sueltos, ni afirmaciones difusas.

Como punto de partida y con la corrección de mente oscura tienes que suponer que \( 3^k \) con \( k>1 \) es la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( x \) y por tanto que \( 3^{3k-1} \) es la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( z-y. \)

Saludos.

05 Diciembre, 2018, 08:24 pm
Respuesta #6

Fernando Moreno

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Hola Luis. Gracias y ok, a ver si lo he pillado:

Basándome en el trabajo de mente oscura, se tiene que: 1) :  \( 3^k \)  es la mayor potencia de 3 que divide á  " \( x \) " .  Y  2) :  \( 3^{3k-1} \)  es la mayor potencia de 3 que divide á  " \( z-y \) " .

Como:  \( z^3=x^3+y^3 \) ,  sabemos que:  \( z=x+y-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  \( x,y \) .  De esta manera:  \( z-y\,=\,x-d \) .  Y ,  como hemos quedado:  “ \( 3^{3k-1} \) “  divide como máxima potencia de 3 á  " \( x-d \) " .

Tenemos también que:  \( x^3=z^3-y^3 \) .  Que puedo reescribir como:  \( x^3=z^2(z)-y^2(y) \) .  También puedo reescribir en forma de división euclídea:  \( z=3^{3k-1}q_1+r_1 \)   \( \wedge \)   \( y=3^{3k-1}q_2+r_2 \) .  Luego:  \( x^3=z^2(3^{3k-1}q_1+r_1)-y^2(3^{3k-1}q_2+r_2) \) .  Si divido entre  " \( 3^{3k-1} \) " ;  entonces:  \( 3x'^3=z^2\left({q_1+\dfrac{r_1}{3^{3k-1}}}\right)-y^2\left({q_2+\dfrac{r_2}{3^{3k-1}}}\right) \) ;  para:  \( x'^3=\dfrac{x^3}{3^k} \) .  Si divido ahora entre  \( \pmb{3} \) ,  tendré:  \( x'^3=z^2\left({\dfrac{q_1}{3}+\dfrac{r_1}{3^{3k}}}\right)-y^2\left({\dfrac{q_2}{3}+\dfrac{r_2}{3^{3k}}}\right) \) .  Que expresado (la anterior división) Módulo 3 sería:  \( 0=(1)a-(1)b \) ;  para:  \( a=b \) .

Pero estos restos  \( (a,b) \)  (Módulo 3), serán los mismos que si a la parte izquierda de la ecuación  " \( z-y\,=\,x-d \) " ,  después de haberla dividido entre  \( 3^{3k-1} \) ,  el resultado lo divido entre  " \( \pmb{3} \) " .  Pero,  ¿Qué ocurre en su parte derecha? :  Pues que ahora No es  " \( 0 \) ".  Ya que  " \( 3^{3k} \) "  No divide á  " \( x-d \) " .


Esto es lo que yo he querido decir desde el principio. Ahora si es correcto ó no, pues si me preguntaran ahora mismo diría que no lo sé.

Un saludo,
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05 Diciembre, 2018, 08:42 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis. Gracias y ok, a ver si lo he pillado:

Basándome en el trabajo de mente oscura, se tiene que: 1) :  \( 3^k \)  es la mayor potencia de 3 que divide á  " \( x \) " .  Y  2) :  \( 3^{3k-1} \)  es la mayor potencia de 3 que divide á  " \( z-y \) " .

Como:  \( z^3=x^3+y^3 \) ,  sabemos que:  \( z=x+y-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  \( x,y \) .  De esta manera:  \( z-y\,=\,x-d \) .  Y ,  como hemos quedado:  “ \( 3^{3k-1} \) “  divide como máxima potencia de 3 á  " \( x-d \) " .

Tenemos también que:  \( x^3=z^3-y^3 \) .  Que puedo reescribir como:  \( x^3=z^2(z)-y^2(y) \) .  También puedo reescribir en forma de división euclídea:  \( z=3^{3k-1}q_1+r_1 \)   \( \wedge \)   \( y=3^{3k-1}q_2+r_2 \) .  Luego:  \( x^3=z^2(3^{3k-1}q_1+r_1)-y^2(3^{3k-1}q_2+r_2) \) .  Si divido entre  " \( 3^{3k-1} \) " ;  entonces:  \( 3x'^3=z^2\left({q_1+\dfrac{r_1}{3^{3k-1}}}\right)-y^2\left({q_2+\dfrac{r_2}{3^{3k-1}}}\right) \) ;  para:  \( x'^3=\dfrac{x^3}{3^k} \) .  Si divido ahora entre  \( \pmb{3} \) ,  tendré:  \( x'^3=z^2\left({\dfrac{q_1}{3}+\dfrac{r_1}{3^{3k}}}\right)-y^2\left({\dfrac{q_2}{3}+\dfrac{r_2}{3^{3k}}}\right) \) .  Que expresado (la anterior división) Módulo 3 sería:  \( 0=(1)a-(1)b \) ;  para:  \( a=b \)

¿Entiendo que \( a \) y \( b \) son los restos módulo tres de \( \left({\dfrac{q_1}{3}+\dfrac{r_1}{3^{3k}}}\right) \) y \( \left({\dfrac{q_2}{3}+\dfrac{r_2}{3^{3k}}}\right) \)?. ¡Pero no son enteros! Pueden tomarse pero hay que ser prudente porque las propiedades no son las mismas que con residuos enteros.

Citar
Pero estos restos  \( (a,b) \)  (Módulo 3), serán los mismos que si a la parte izquierda de la ecuación  " \( z-y\,=\,x-d \) " ,  después de haberla dividido entre  \( 3^{3k-1} \) ,  el resultado lo divido entre  " \( \pmb{3} \) " .  Pero,  ¿Qué ocurre en su parte derecha? :  Pues que ahora No es  " \( 0 \) ".  Ya que  " \( 3^{3k} \) "  No divide á  " \( x-d \) " .

Aquí me pierdo de nuevo. ¿Exactamente cómo relacionas esos restos \( a,b \) con los que ahora citas?.

Sea como sea, esto no me tiene pinta de llegar a ningún lado; es decir mi intuición dice que o bien esas dos formas en que tomas módulos no tienen nada que ver o bien son la misma y seguro que te llevan a lo mismo y cometes algún errro.

Saludos.

05 Diciembre, 2018, 08:59 pm
Respuesta #8

Fernando Moreno

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Hola,

¿Entiendo que \( a \) y \( b \) son los restos módulo tres de \( \left({\dfrac{q_1}{3}+\dfrac{r_1}{3^{3k}}}\right) \) y \( \left({\dfrac{q_2}{3}+\dfrac{r_2}{3^{3k}}}\right) \)?. ¡Pero no son enteros! Pueden tomarse pero hay que ser prudente porque las propiedades no son las mismas que con residuos enteros.

Yo he querido decir que eran los restos módulo tres de  \( \left({q_1+\dfrac{r_1}{3^{3k-1}}}\right) \) y \( \left({q_2+\dfrac{r_2}{3^{3k-1}}}\right) \) .  No sé si me he expresado mal.


Citar
Pero estos restos  \( (a,b) \)  (Módulo 3), serán los mismos que si a la parte izquierda de la ecuación  " \( z-y\,=\,x-d \) " ,  después de haberla dividido entre  \( 3^{3k-1} \) ,  el resultado lo divido entre  " \( \pmb{3} \) " .  Pero,  ¿Qué ocurre en su parte derecha? :  Pues que ahora No es  " \( 0 \) ".  Ya que  " \( 3^{3k} \) "  No divide á  " \( x-d \) " .

Aquí me pierdo de nuevo. ¿Exactamente cómo relacionas esos restos \( a,b \) con los que ahora citas?.

Sea como sea, esto no me tiene pinta de llegar a ningún lado; es decir mi intuición dice que o bien esas dos formas en que tomas módulos no tienen nada que ver o bien son la misma y seguro que te llevan a lo mismo y cometes algún errro.

He querido decir que:  \( z-y=(3^{3k-1}q_1+r_1)-(3^{3k-1}q_2+r_2) \)

La verdad es que yo también lo veo cada vez peor. Debo tener algún error de concepto gordo por ahí que por ahora no acabo de ver.

Saludos,
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05 Diciembre, 2018, 10:04 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

¿Entiendo que \( a \) y \( b \) son los restos módulo tres de \( \left({\dfrac{q_1}{3}+\dfrac{r_1}{3^{3k}}}\right) \) y \( \left({\dfrac{q_2}{3}+\dfrac{r_2}{3^{3k}}}\right) \)?. ¡Pero no son enteros! Pueden tomarse pero hay que ser prudente porque las propiedades no son las mismas que con residuos enteros.

Yo he querido decir que eran los restos módulo tres de  \( \left({q_1+\dfrac{r_1}{3^{3k-1}}}\right) \) y \( \left({q_2+\dfrac{r_2}{3^{3k-1}}}\right) \) .  No sé si me he expresado mal.

Pero estamos en las mismas esos dos números no son enteros; entonces hay que tener cuidado si trabajas módulo 3. Los restos módulo 3 con no enteros se comportan bien con la suma, pero no con el producto.

Por ejemplo:

\( 3\cdot \dfrac{1}{3}=1 \)

Pero al aplicar restos módulo \( 3 \):

\( 0\cdot \dfrac{1}{3}=0 \)

Saludos.