Autor Tema: Ecuación cúbica

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30 Noviembre, 2018, 06:50 pm
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thadeu

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Hola amigos del rincón matemático , necesito de su ayuda en este ejercicio.
Siendo \( x \) un número real.
 Resolver la ecuación  \( 2x^3+4x^2+3x-2=0 \) en el intervalo \( [0,\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}] \)
he intentado factorizar dicha ecuación  para encontrar las raíces pero no  fue posible.
 es posible encontrar manualmente la raíz de esta ecuación ? ( digo raíz  por que usando un calculador  se vé que solo tiene una raíz real)

30 Noviembre, 2018, 07:08 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

La ecuación de tercer grado tiene solución general. Mirar: https://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm.

Una vez hallada la única solución real yo verificaría si pertenece o no al intervalo de solución.

Saludos

30 Noviembre, 2018, 08:52 pm
Respuesta #2

thadeu

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Hola

La ecuación de tercer grado tiene solución general. Mirar: https://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm.

Desconocía la existencia de esa formula.
Gracias por tu respuesta

01 Diciembre, 2018, 10:42 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Resolver la ecuación  \( 2x^3+4x^2+3x-2=0 \) en el intervalo \( [0,\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}] \)

    Llamemos \( f(x)=2x^3+4x^2+3x-2 \). Veamos, si el problema pidiera demostrar que la ecuación \( f(x)=0 \) tiene una única solución real, derivando obtenemos \( f^\prime (x)=6x^2+8x+3 \). Éste polinomio de segundo grado no tiene raíces reales luego \( f^\prime (x) \) toma siempre valores positivos o siempre valores negativos. Dado que \( f^\prime (0)=3 >0 \), siempre toma valores positivos, es decir \( f(x) \) es estrictamente creciente en \( \mathbb{R} \) y por tanto si tiene un raíz real, es única.
    Por otra parte, \( f(0)=-2<0 \) y \( f(1/\sqrt{2})=\ldots >0 \) luego \( f(x) \) tiene una única raíz real que además pertenece al intervalo \( (0,1/\sqrt{2}) \).

    Puedes resolver la ecuación de tercer grado directamente sin usar las consideraciones anteriores usando los dos teoremas del apartado 1 de Ecuación de tercer grado.

P.D. Usar las fórmulas del enlace que te proporcionó manooooh es una acto matemático excesivamente autista :). Con buen criterio tal enlace, ya lo dice de forma soterrada.

01 Diciembre, 2018, 04:41 pm
Respuesta #4

thadeu

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Hola Fernando
Garcias por tu aporte, es justo lo que esperaba.
Saludos.