Hola
Alguien puede ayudarme a resolver esto: sea \( f \) una función medible, tal que \( |f| \) es finita c.s. entonces para todo \( \epsilon \) existen \( M \) tal que \( \left\{{x:f(x)\geq{M}}\right\} \) tiene medida menor que \( \epsilon \)
Me parece que es cierto pero no sé cómo empezar...
Por reducción al absurdo. Supón que existe \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( M \) se cumple \( \mu\{x|f(x)\geq M\}\geq \epsilon \). En particular para \( n\in \mathbb{N} \):
\( A_n=\{x|f(x)\geq n\} \) cumple \( \mu(A_n)\geq \epsilon \)
Pero \( \{A_n\} \) es una sucesión decreciente de conjuntos medibles.
\( A=\displaystyle\bigcap A_n=\{x|f(x)=\infty\} \)
y \( mu(A)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\mu(A_n)\geq \epsilon \) lo cual contradice que \( |f| \) sea finita c.s.
Saludos.
