Hola
Para la función \( g:\left[{\displaystyle\frac{1}{2}}, 3\right]\rightarrow{\mathbb{R}} \) definida por:
\( g(x)=\begin{cases} -30Log_{10} x+7 & \text{si}& x\in{[\displaystyle\frac{1}{2}, 2]}\\x^3 - k & \text{si}& x\in{[2,3]}\end{cases} \) (...)
Antes que nada ojo con los corchetes en \( x=2 \), alguna rama debe contenerlo y otro no, ya que al repetirse un mismo valor en dos ramas distintas, no habría función.
Aclarado esto;
Al realizar la operación para la continuidad
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-}{-30log_{10}2+7}=\displaystyle\lim_{x \to 2^+}{2^3 -k} \)
En realidad no te están pidiendo hallar \( k \) para que \( g \) sea continua, sino que los límites laterales coincidan, que es algo muy distinto. Aunque la cuenta esté bien.
La notación no es la más apropiada, porque cuando asignás \( x=2 \) los límites deben desaparecer, así que en todo caso se puede decir: \[\lim_{x\to2^-}g(x)=\lim_{x\to2^+}g(x)\implies\lim_{x\to2^-}(-30\log x+7)=\lim_{x\to2^+}(x^3-k)\implies-30\log2+7=2^3-k.\]
Me da como resultado que
\( k\approx{10,03089} \)
Creo que no es la respuesta correcta así que me gustaría saber si esta es la operación que debo realizar muchísimas gracias por su ayuda
Está bien, pero ¿te piden que trabajes con aproximaciones? ¿Por qué no simplemente dejarlo expresado sin decimales? De \( -30\log2+7=2^3-k \) tenemos \( k=8-7+30\log2\implies k=1+30\log2\approx10.03089 \).
Para comprobar reemplazá \( k \) en \( g \) y tomá límites a izquierda y derecha cuando \( x\to2 \); estos deberían coincidir.
Saludos
