No existe el caso n=2 en el Último Teorema de Fermat (UTF) pero sí existe, o se puede considerar, para la desigualdad usada en el teorema; y en este caso se demostraría falso la no existencia generalizada de igualdades. Basta cualquier ejemplo para demostrar lo dicho.
Pero recuerdo una demostración que vi un día por ahí y que podría servir (creo) para demostrarlo sin usar un contraejemplo concreto.
Se trata de la prueba que llega a que, dada una terna pitagórica \( a^{2}+b^{2}=c^{2}
\), entonces existen “n,m” tales que \( 2mn \)... etc.
Pero, claro, en caso de que esto se pueda considerar una demostración del hecho, no sería una demostración por reducción al abusrdo, por ejemplo, ya que, en ella se supone que sí existen enteros, no que no existen.
Por qué digo entonces que entiendo que se puede considerar una demostración, pues voy a ello exponiendo el mencionado desarrollo:
Asumo que existen enteros “a,b,c” coprimos y siendo “b,c” impares.
Despejando:
\( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c+b)(c-b)
\)
Dado que “b” y “c” son impares, tenemos que \( (c+b)
\) y \( (c-b)
\) son pares; al igual que lo es “a”.
Hagamos unos cambios de variable a tenor de eso:
\( a=2r,\,\,\, c-b=2s,\,\,\, c+b=2t
\)
Sustituyendo en \( a^{2}=(c+b)(c-b)
\), tenemos:
\( (2r)^{2}=(2s)(2s)
\) o sea \( r^{2}=st
\)
Por otra parte, como \( c-b=2s,\,\,\, c+b=2t
\), sumando las dos igualdades se cancela “b” y tenemos
\( 2c=2s+2t
\) es decir \( c=s+t
\).
Sustituyendo esa expresión de “c” en esta igualdad anterior, \( c+b=2t
\), obtenemos
\( b=t-s
\).
O sea, hasta aquí tenemos: \( r^{2}=st
\) \( c=s+t
\) \( b=t-s
\).
Como “b” y “c” son coprimos, también tienen que serlo “s” y “t”, dado que de lo contrario existiría un número que dividiría a \( s+t
\) y a \( t-s
\); es decir, a “c” y a “b”.
Además \( st
\) es un cuadrado, y, entonces, como \( s
\) y \( t
\) son coprimos, también tienen que ser cuadrados.
Hagamos pues \( s=m^{2}
\) y \( t=n^{2}
\)
Seguidamente, sustituyendo en estas ecuaciones, \( c=s+t
\), \( b=t-s
\), queda
*\( b=n^{2}-m^{2}
\) y *\( c=m^{2}+n^{2}
\)
Ahora, para terminar, operando ponemos “a” en función de “n” y m”:
\( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}-(n^{2}-m^{2})^{2}
\)
y llegamos a
*\( a=2nm
\)
Por tanto, sustituyendo
\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\Rightarrow
\)
\( (2nm)^{2}+(n^{2}-m^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}
\)
Y la igualdad es cierta para los reales en general (desarrollando lo ve cualquiera).
Al ser así, como los naturales son números reales también, se pueden elegir “n” y “m” naturales cualesquiera y obtendremos una terna (primitiva o no primitiva, según cuáles elijamos) para la cual se cumplirá la igualdad necesariamente.
Obviamente, al hacer eso, como la suma de un entero da otro entero, el producto de un entero da un entero, la potencia de un entero da otro entero... etc, entonces, cuando “n” y “m” se eligen enteros, ocurre que \( a=2nm
\), \( b=n^{2}-m^{2}
\) y \( c=m^{2}+n^{2}
\) sólo pueden ser enteros (por definición, por la cerradura algebraica).
En el desarrollo se ha supuesto que son enteros. Y al menos dos ellos existen seguro, no hace falta suponerlos. El otro podría ser no entero pese a las condiciones que se han ido poniendo (quién sabe a priori, podría no existir) pero al admitir la igualdad la elección de “n,m” reales cualesquiera y, por ende, enteros, entonces existen a,b,c enteros.
No hay reducción al absurdo ni inducción... pero para mí esto supone una prueba rigurosa. ¿Estáis de acuerdo?
Si fuera así, ¿qué nombre se le da a este tipo de demostración?
(Cuando estudiaba en la UNED, en un libro ponía que existían tres tipos principales de demostración: reducción al absurdo, inducción... y otra de la que no recuerdo el nombre).
Saludos.
