Autor Tema: Caso n=2 para la desigualdad del UTF

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27 Noviembre, 2018, 11:05 am
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feriva

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No existe el caso n=2 en el Último Teorema de Fermat (UTF) pero sí existe, o se puede considerar, para la desigualdad usada en el teorema; y en este caso se demostraría falso la no existencia generalizada de igualdades. Basta cualquier ejemplo para demostrar lo dicho.

Pero recuerdo una demostración que vi un día por ahí y que podría servir (creo) para demostrarlo sin usar un contraejemplo concreto.

Se trata de la prueba que llega a que, dada una terna pitagórica \( a^{2}+b^{2}=c^{2}
  \), entonces existen “n,m” tales que \( 2mn \)... etc.

Pero, claro, en caso de que esto se pueda considerar una demostración del hecho, no sería una demostración por reducción al abusrdo, por ejemplo, ya que, en ella se supone que sí existen enteros, no que no existen.

Por qué digo entonces que entiendo que se puede considerar una demostración, pues voy a ello exponiendo el mencionado desarrollo:

Asumo que existen enteros “a,b,c” coprimos y siendo “b,c” impares.

Despejando:

\( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c+b)(c-b)
  \)

Dado que “b” y “c” son impares, tenemos que \( (c+b)
  \) y \( (c-b)
  \) son pares; al igual que lo es “a”.

Hagamos unos cambios de variable a tenor de eso:

\( a=2r,\,\,\, c-b=2s,\,\,\, c+b=2t
  \)

Sustituyendo en \( a^{2}=(c+b)(c-b)
  \), tenemos:

\( (2r)^{2}=(2s)(2s)
  \) o sea \( r^{2}=st
  \)

Por otra parte, como \( c-b=2s,\,\,\, c+b=2t
  \), sumando las dos igualdades se cancela “b” y tenemos

\( 2c=2s+2t
  \) es decir \( c=s+t
  \).

Sustituyendo esa expresión de “c” en esta igualdad anterior, \( c+b=2t
  \), obtenemos

\( b=t-s
  \).

O sea, hasta aquí tenemos: \( r^{2}=st
  \) \( c=s+t
  \) \( b=t-s
  \).

Como “b” y “c” son coprimos, también tienen que serlo “s” y “t”, dado que de lo contrario existiría un número que dividiría a \( s+t
  \) y a \( t-s
  \); es decir, a “c” y a “b”.

Además \( st
  \) es un cuadrado, y, entonces, como \( s
  \) y \( t
  \) son coprimos, también tienen que ser cuadrados.

Hagamos pues \( s=m^{2}
  \) y \( t=n^{2}
  \)

Seguidamente, sustituyendo en estas ecuaciones, \( c=s+t
  \), \( b=t-s
  \), queda

*\( b=n^{2}-m^{2}
  \) y *\( c=m^{2}+n^{2}
  \)

Ahora, para terminar, operando ponemos “a” en función de “n” y m”:

\( a^{2}=c^{2}-b^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}-(n^{2}-m^{2})^{2}
  \)

y llegamos a

*\( a=2nm
  \)

Por tanto, sustituyendo

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\Rightarrow
  \)

\( (2nm)^{2}+(n^{2}-m^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}
  \)

Y la igualdad es cierta para los reales en general (desarrollando lo ve cualquiera).

Al ser así, como los naturales son números reales también, se pueden elegir “n” y “m” naturales cualesquiera y obtendremos una terna (primitiva o no primitiva, según cuáles elijamos) para la cual se cumplirá la igualdad necesariamente.

Obviamente, al hacer eso, como la suma de un entero da otro entero, el producto de un entero da un entero, la potencia de un entero da otro entero... etc, entonces, cuando “n” y “m” se eligen enteros, ocurre que \( a=2nm
  \), \( b=n^{2}-m^{2}
  \) y \( c=m^{2}+n^{2}
  \) sólo pueden ser enteros (por definición, por la cerradura algebraica).

En el desarrollo se ha supuesto que son enteros. Y al menos dos ellos existen seguro, no hace falta suponerlos. El otro podría ser no entero pese a las condiciones que se han ido poniendo (quién sabe a priori, podría no existir) pero al admitir la igualdad la elección de “n,m” reales cualesquiera y, por ende, enteros, entonces existen a,b,c enteros.

No hay reducción al absurdo ni inducción... pero para mí esto supone una prueba rigurosa. ¿Estáis de acuerdo?

Si fuera así, ¿qué nombre se le da a este tipo de demostración?

(Cuando estudiaba en la UNED, en un libro ponía que existían tres tipos principales de demostración: reducción al absurdo, inducción... y otra de la que no recuerdo el nombre).

Saludos.

27 Noviembre, 2018, 11:54 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Para ser sincero no acabo de entender a que viene este hilo o que dudas subyacen tras él.

No hay reducción al absurdo ni inducción... pero para mí esto supone una prueba rigurosa. ¿Estáis de acuerdo?

Pareces considerar que lo habitual es que una demostración sea por reducción al absurdo o por inducción. ¡En absoluto!. La mayoría de las pruebas son "directas", es decir, se encadenan una serie de proposiciones conocidas que permiten deducir de las hipótesis la tesis.

No se si te ha confundido estar tanto tiempo mirando al Teorema de Fermat. Allí se trata de probar la imposibildiad de que existan números en ciertas condiciones; eso esos casos si que es bastante natural intentar pruebas por reducción al absurdo, suponiendo que existe aquello cuya imposibilidad afirmamos y viendo que su existencia lleva a contradicción.

El caso \( n=2 \) no encaja ahí; no queremos probar la inexistencia de nada, sino caracterizar las tripletas que cumplen \( a^2+b^2=c^2 \). No he comprobado con lupa tu demostración pero se parece a la habitual (que no usa para nada ni reducción al absurdo ni inducción) así que asumo que estará bien.

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Si fuera así, ¿qué nombre se le da a este tipo de demostración?

Directa. Aunque me parece poco interesante ponerle nombre.

Saludos.

27 Noviembre, 2018, 12:17 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola

 Para ser sincero no acabo de entender a que viene este hilo o que dudas subyacen tras él.

No hay reducción al absurdo ni inducción... pero para mí esto supone una prueba rigurosa. ¿Estáis de acuerdo?

Pareces considerar que lo habitual es que una demostración sea por reducción al absurdo o por inducción. ¡En absoluto!. La mayoría de las pruebas son "directas", es decir, se encadenan una serie de proposiciones conocidas que permiten deducir de las hipótesis la tesis.

No se si te ha confundido estar tanto tiempo mirando al Teorema de Fermat. Allí se trata de probar la imposibildiad de que existan números en ciertas condiciones; eso esos casos si que es bastante natural intentar pruebas por reducción al absurdo, suponiendo que existe aquello cuya imposibilidad afirmamos y viendo que su existencia lleva a contradicción.

El caso \( n=2 \) no encaja ahí; no queremos probar la inexistencia de nada, sino caracterizar las tripletas que cumplen \( a^2+b^2=c^2 \). No he comprobado con lupa tu demostración pero se parece a la habitual (que no usa para nada ni reducción al absurdo ni inducción) así que asumo que estará bien.

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Si fuera así, ¿qué nombre se le da a este tipo de demostración?

Directa. Aunque me parece poco interesante ponerle nombre.

Saludos.

Muchas gracias, Luis.

Sí, después de preguntar se me ha ocurrido mirar por internet y a se ajusta a la prueba directa.

Ya, te entiendo, en este caso se puede considerar simplemente como una caraterización a partir de que se conocen de antemano unos ejemplos; pero se me ha ocurrido pensar: "supongamos que no encontráramos ejemplos para n=2...". Si hubiera sido así, Fermat hubiese dicho para n>1 en vez de para n>2.
Ahora sigamos suponiendo que los ejemplos fueran muy inaccesibles y a estas alturas no se hubiera encontrado ninguno; este desarrollo (que efectivamente no es mío, es uno que vi por ahí, creo que atribuido a Diofanto) demostraría que la conjetura es falsa (a la par que serviría para encontrar los ejemplos no encontrados; algo muy surrealista, pero es un suponer).
 
Supuesto eso, a partir de ahí se reformularía para n>2 y quedaría a la espera de más investigación.

Ésta era la cuestión que me planteaba.

Por iniciativa propia no pienso demasiado en este teorema (o nada) lo que ocurre es que como es tan popular en el foro... pues al final me engancho también.

Saludos.

 

27 Noviembre, 2018, 12:23 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Ahora sigamos suponiendo que los ejemplos fueran muy inaccesibles y a estas alturas no se hubiera encontrado ninguno; este desarrollo (que efectivamente no es mío, es uno que vi por ahí, creo que atribuido a Diofanto) demostraría que la conjetura es falsa (a la par que serviría para encontrar los ejemplos no encontrados; algo muy surrealista, pero es un suponer).

Si, evidentemente una consecuencia inmediata de la caracterización es que nos permite construir tripletas concretas que cumplen la ecuación de Fermat para \( n=2 \) y por tanto automáticamente tirar abajo la supuesta conjetura de que no existiesen tales tripletas.

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Supuesto eso, a partir de ahí se reformularía para m>2 y quedaría a la espera de más investigación.

No entiendo que quieres decir con eso.

Saludos.

27 Noviembre, 2018, 12:26 pm
Respuesta #4

feriva

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Supuesto eso, a partir de ahí se reformularía para m>2 y quedaría a la espera de más investigación.

No entiendo que quieres decir con eso.

Saludos.

Era una errata, quería decir "n"; ya he editado, gracias.

Saludos.