Autor Tema: Otro descenso UTF4

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26 Noviembre, 2018, 09:52 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo que  \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos;  \( x\,\vee\,y \) ,  par.

Por tanto:  \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \)  y sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán:

\( z^2=p^2+q^2 \)  ;  \( x^2=2pq \)  ;  \( y^2=p^2-q^2 \) ;  para  \( p,q \)  coprimos, uno de ellos par.

Es conocido que todo impar al cuadrado es congruente con 1 módulo 8. Como:  \( z^2=p^2+q^2 \)   \( \Rightarrow \)   \( 1=1+0 \) .  Y por lo tanto:  \( 8\mid q^2 \)  ;  \( 4\mid q \)  ;  \( 8\mid x^2 \)  \( \wedge \)  \( 4\mid x \) .

Como:  \( z^4=x^4+y^4 \) ,  sabemos que:  \( z=x+y-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  \( x,y \) .  Como  “ \( x \) “  es par como mínimo de 4,  “ \( d \) “ será también par como mínimo de 4.   De esta manera siempre podré decir que para:  \( z=y+e \) ,  ( \( e=x-d \) ) ; entonces:  \( z=s+t \)  ;  \( y=s-t \)  \( \wedge \)  \( e=2t \) ;  para  \( s,t \)  coprimos, uno de ellos par. Puesto que:  \( s+t=s-t+2t \) .

Sustituyendo en  “ \( z^4=x^4+y^4 \) “   \( \color{red}\Rightarrow{} \)   \( (s+t)^4=(s-t)^4+x^4 \) .    Y :

\( s^4+4s^3t+6s^2t^2+4st^3+t^4=s^4-4s^3t+6s^2t^2-4st^3+t^4+x^4 \)   \( \Rightarrow \)   \( x^4=8s^3t+8st^3 \)   \( \wedge \)   \( x^4=8st(s^2+t^2) \)

Como  “ \( 8st \) “  \( \wedge \)  “ \( s^2+t^2 \) “  son coprimos, serán cuartas potencias -y-:  \( s=s_1^4 \)  ,  \( t=2t_1^4 \)  \( \wedge \)  \( s^2+t^2=A^4 \) .  De esta forma:  \( A^4=s_1^8+4t_1^8 \) .  Y sus ternas pitagórias solución serán:  \( A^2=u^2+v^2 \)  ,  \( s_1^4=u^2-v^2 \)  \( \wedge \)  \( 2t_1^4=2uv \) ;  para  \( u,v \)  enteros, coprimos y uno de ellos par.  Como:  \( t_1^4=uv \) ;  entonces:  \( u=u_1^4 \)  \( \wedge \)  \( v=v_1^4 \) .  Luego:  \( s_1^4=u_1^8-v_1^8 \)   \( \wedge \)   \( \pmb{(u_1^2)^4=s_1^4+(v_1^2)^4} \) .  Pudiendo repetir este razonamiento una y otra vez.


Un saludo,


Editado. (Ver siguientes respuestas)
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27 Noviembre, 2018, 10:52 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Como:  \( z^4=x^4+y^4 \) ,  sabemos que:  \( z=x+y-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  \( x,y \) .  Como  “ \( x \) “  es par como mínimo de 4,  “ \( d \) “ será también par como mínimo de 4. De esta manera siempre podré decir que para:  \( z=y+e \) ,  ( \( e=x-d \) ) :  \( z=s+t \)  ;  \( y=s-t \)  \( \wedge \)  \( e=2t \) ;  para  \( s,t \)  coprimos y  “ \( t \) “  par. Puesto que:  \( s+t=s-t+2t \) .

Esto es confuso y de hecho no creo que puedas asegurar en general que \( t \) sea par, podría ser \( s \).

Tu tomas:

\( s=\dfrac{z+y}{2},\qquad t=\dfrac{z-y}{2} \)

De \( z^4=x^4+y^4 \) trabajando módulo \( 4 \) lo que sabemos es que \( z=y=1 \) ó \( 3 \) mod 4 en cuyo caso \( z-y \) es múltiplo de \( 4 \) y por tanto \( t \) es par o bien \( z=1 \) e \( y=3 \) mod \( 4 \) (o al revés) y así \( z+y \) es múltipo de \( 4 \) y por tanto \( s \) es par.

Sea como sea para terminar tu razonamiento basta que alguno de los dos sea par y la demostración propuesta sigue funcionando.

Saludos.

27 Noviembre, 2018, 03:11 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola Luis,

Es:  \( z=y=1 \)  mod 4 .  Pues:  \( z-y=x-d \) . Y  " \( x \) "  -y-  " \( d \) "  son múltiplos de 4. Otra cosa es que me haya expresado de manera confusa. Seguro que sí, claro; es muy difícil redactar bien a la primera y sobre todo lo difícil es lo que tú haces, ponerse en la mente de cada uno de los que escribimos aquí. Algo increíble

Existen muchas maneras de probar que por lo menos 4 divide á  " \( z-y \) " .  De hecho se pueden probar estas 2 cosas -por si a alguien le apetece entretenerse-: 1) Por lo menos:  \( 64\mid (z-y) \)  -y-  2)  \( z-y=A^2 \) ,  para un " A " entero par. Otra cosa es que estas cuestiones sirvan para encontrar una contradicción en la ecuación de marras (me refiero al margen del descenso infinito). Esta es mi opinión: para-na-da. Pero bueno, sí entretiene

Un saludo,
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27 Noviembre, 2018, 03:28 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Es:  \( z=y=1 \)  mod 4 .  Pues:  \( z-y=x-d \) . Y  " \( x \) "  -y-  " \( d \) "  son múltiplos de 4.

¿Y por qué?. Cuando dices como justificación que \( d \) es múltiplo de \( 4 \). ¿Por qué? ¿De dónde lo sacas?.

Lo que llamas \( d \) no es otra cosa que \( d=x+(y-z) \). De acuerdo con que \( x \) es múltiplo de \( 4 \). ¿Pero sobre \( d \) qué sabemos? Que \( d \) sea múltiplo de \( 4 \) equivale a que \( (y-z) \) lo sea, bien.  Pero en principio no sabemos si lo son ni un término, \( d \), ni el otro, \( (y-z) \).

Entonces no se si llevas razón; pero desde luego en lo que has escrito no lo has argumentado.

Saludos.

27 Noviembre, 2018, 07:49 pm
Respuesta #4

Fernando Moreno

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Hola. Llevas razón. No sé porqué, desde que era un "Proyecto", se me grabó a fuego que en el caso:  \( z-y=x-d \) ,  " \( d \) "  tenía que tener siempre la misma paridad que  " \( x \) " .  No es la primera vez que me equivoco en esto. Lo tengo pintado así en alguna neurona.

Lo he intentado por otras vías, pero nada. Lo cambio en la demostración.

O sea, además es:  64 divide á  " \( z-y \) "  \( \pmb{\vee} \)  " \( z+y \) "  -y-  " \( z-y \) "  \( \pmb{\vee} \)  " \( z+y \) "  =  \( A^2 \)

Un saludo,
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