Autor Tema: Encontrar una serie de Fourier

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17 Noviembre, 2018, 04:48 pm
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joaquinalzamora

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Hola quería consultarles como encuentro esta serie de Fourier.

          \( f(t)=\begin{cases} -1 & \text{si}& -2<t<0\\1& \text{si}& 0<t<2\end{cases} \)

Muchas gracias.

17 Noviembre, 2018, 07:27 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
hola. quería consultarles como encuentro esta serie de Fourier
f(t)={ -1 ; si -2<t<0  y   1; si 0<t<2
muchas gracias

El problema es rutinario conociendo la teoría previa ¿qué dificultades has encontrado?

P.D. Por favor, cuida la ortografía y dedica unos minutos al tutorial de LaTeX del foro.

17 Noviembre, 2018, 09:06 pm
Respuesta #2

Matiasexe

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Hola  Joaquín, antes  que  nada  deberás  recordar  la  forma  que  tiene  la  serie  de  Fourier:
\( f(t)= \displaystyle\frac{a_0}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left [ a_n cos(\displaystyle\frac{nπt}{L}) + b_n sen(\displaystyle\frac{nπt}{L}) \right ]       
 [quote]Donde [tex]L \) es el extremo del intervalo, \( a_o , a_n , b_n \)  son los coeficientes de Fourier que toman los valores:[/quote]

\( a_0=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\, dt   ,   a_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)cos(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt 
 , b_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)sen(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt \)
Ahora tenemos que comenzar a calcular estos coeficientes.
Como tenemos una función por dos partes, debemos calcular dos integrales en cada formula y unirlas mediante una suma:

\( a_0=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\, dt \) = \( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-2}^{0} -1\, dt \) + \( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1\, dt \) = \( \displaystyle\frac{-1}{2} t  |_{-2}^0 \) + \( \displaystyle\frac{1}{2} t  |_0^2 \) =\(  -1+1 \)=\(  0 \)
Citar
Luego \( a_0 = 0 \)

\( a_n=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)cos(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt = \displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-2}^{0} {-1}cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt= \)
Citar
Utilizamos lo siguiente: \( \displaystyle\int cos(at)dt= \displaystyle\frac{1}{a}sen (at) \)

\( =\displaystyle\frac{-1}{2}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}}sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{-2}^0 + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}}sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{0}^{-2} = \displaystyle\frac{-1}{nπ}[sen(0) - sen({-nπ})] + \displaystyle\frac{1}{nπ}[sen(nπ) - sen({0})] \)
Como resulta que por trigonometría sen(nπ)=0 y sen(0)=0
Citar
Se concluye que \(  a_n =0 \)

\( b_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)sen(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt= \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-2}^{0} -1sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt= \)
Citar
Utilizamos lo siguiente: \( \displaystyle\int sen(at)dt= \displaystyle\frac{-1}{a}cos (at) \)
\( = \displaystyle\frac{-1}{2}(\displaystyle\frac{-1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}})cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{-2}^0 + \displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{-1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}})cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{0}^2= \displaystyle\frac{1}{nπ}[cos(0)-cos(-π)]-\displaystyle\frac{-1}{nπ}[cos(nπ)-cos(0)] \)
Citar
Por identidades trigonométricas \( cos(nπ)=cos(-nπ)=-1^n  ;  {cos(0)=1}, reemplazamos y aplicamos distributividad \)
\( =\displaystyle\frac{1}{nπ} - \displaystyle\frac{1}{nπ}(-1)^n - \displaystyle\frac{1}{nπ}(-1)^n + \displaystyle\frac{1}{nπ}= \displaystyle\frac{2}{nπ}[1-(-1)^n] \)
Citar
Hemos encontrado los valores de los coeficientes, ahora solo resta reemplazar para tener nuestra serie de Fourier

17 Noviembre, 2018, 09:08 pm
Respuesta #3

Matiasexe

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No se si está bien, pero en esto trabajé leyendo un poco de teoría. Espero te sirva de algo, al menos para saber si está bien o no. ;D


20 Noviembre, 2018, 01:51 pm
Respuesta #4

joaquinalzamora

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Muchas gracias me sirvió mucho