Hola
Lo de los lápices sin punta era fácil.
Si; aunque ojo porque probar rigurosamente que el empaquetamiento de círculos óptimo es el hexagonal es más delicado de lo que parece. Fácil es intuir que funciona y calcular la proporción; pero la justificación de que es óptima es sutil.
Para los lápices con punta pensad primero cómo hay que disponerlos para su óptimo empaquetamiento.
Si, una vez más aquí voy trabajar sobre lo que intuitivamente parece más óptimo; probar que rigurosamente es así es una empresa mayor.
(Todo tipo de lápices, con o sin punta, más o menos afilados, más o menos largos, se pueden apilar con la misma densidad
.
Cuando dijiste eso te había entendido mal; pensé que te referías a meter en un mismo sitio lápices diferentes. Pero quisiste decir que usas lápices todos iguales pero que el resultado final no depende de sus dimensiones.
Mi solución final:
La densidad del apilamiento de lápices con punta es (pi/sqr12)·(1+2r/3)/(1+r)
Mis cálculos, llamando \( x \) la proporción entre la altura de la punta y la longitud de la parte cilíndrica del lápiz me dan:
\( \dfrac{\pi\left(1+\dfrac{x}{3}\right)}{\sqrt{3}\left(2+x\left(2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right)} \)
Intento esbozar la idea. En primer lugar no se si has tenido en cuenta que los cilindros del los lápices dejan un huequito en medio donde meter un poco la punta del lápiz que encaja entres ellos "cabeza" abajo.
Es fácil ver que si \( R \) es el radio de los círculos grandes, el radio del pequeñito es:
\( r=\dfrac{2}{3}R\sqrt{3}-R=R\left(\dfrac{2}{3}\sqrt{3}-1\right) \)
Ahora para calcular la proporción entre el volumen total y el ocupado por los lápices, consideramos verticalmente dos filas de lápices con las minas encontradas y metidas las de uno sobre el huequito que dejan los otros. Luego eso se repitiría indefinidamente verticalmente.
Observemos el dibujo (lo he colocado en horizontal para ocupar menos a lo largo).
Suponemos que la parte cilíndrica del lápiz tiene longitud \( L \) y radio \( R \). La altura del cono que completa el lápiz es \( H \).
Entonces por semejanza de triángulos podemos calcular la altura \( h \) que queda metida en el huequito que dejan los tres círculos:
\( \dfrac{h}{H}=\dfrac{r}{R}\quad \Rightarrow{}\quad h=\dfrac{Hr}{R}=H\left(\dfrac{2}{3}\sqrt{3}-1\right) \)
Por tanto al altura total que ocuparán las dos filas de lápices será: \( 2L+H-h \).
Ahora cada lápiz necesita en la base de nuestro recipiente un espacio total correspondiente al área de un tercio del hexágono de lados \( 2r \). Tal área es: \( 2R^2\sqrt{3} \). Nuestro recipiente tendrá una altura de \( 2L-h \). Por tanto el volumen total es (por cada par de lápices apilados en altura):
\( V_t=2R^2\sqrt{3}(2L+H-h)=2R^2\sqrt{3}\left(2L+H\left(2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right) \)
Ahora en ese espacio el volumen que ocupan dos lápices sumando el volumen cilíndrico y el cónico es:
\( V_o=2\left(\pi R^2L+\dfrac{\pi R^2H}{3}\right) \)
El cociente queda:
\( \dfrac{V_o}{V_t}=\dfrac{\pi\left(L+\dfrac{H}{3}\right)}{\sqrt{3}\left(2L+H\left(2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right)} \)
Si llamamos \( x \) a la razón \( x=H/L \) dividiendo numerador y denominador por \( L \) queda:
\( \dfrac{V_o}{V_t}=\dfrac{\pi\left(1+\dfrac{x}{3}\right)}{\sqrt{3}\left(2+x\left(2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right)} \)
Hay un detalle que conviene tener en cuenta; esta disposición es posible si \( h<L \). En otro caso ese trocito de mina metido entre los lápices chocaría bien con el fondo del recipiente o bien con la siguiente capa de lápices. Si \( h\leq L \) no se pueden incrustar más los lápices. En ese caso el cociente quedaría:
\( \dfrac{V_o}{V_t}=\dfrac{\pi\left(1+\dfrac{x}{3}\right)}{\sqrt{3}\left(1+x\right)} \)
Es decir la función volumen ocupado sería:
\( f(x)=\begin{cases}{ \dfrac{\pi\left(1+\dfrac{x}{3}\right)}{\sqrt{3}\left(2+x\left(2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)\right)}}&\text{si}& 0\leq x\leq \dfrac{1}{2\sqrt{3}/3-1}\\\dfrac{\pi\left(1+\dfrac{x}{3}\right)}{\sqrt{3}\left(1+x\right)} & \text{si}& x> \dfrac{1}{2\sqrt{3}/3-1}\end{cases} \)
En el límite (lápices "muy puntiagudos"):
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}=0.6046 \)
Esta es la gráfica:
Saludos.
