Autor Tema: Distancia media entre 2 puntos cualesquiera de un segmento unidad

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22 Noviembre, 2018, 12:48 pm
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sedeort

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Después de resolver la distancia media entre dos puntos cualesquiera de una circunferencia, ahora estoy enfrascado con este reto.
El problema parece más complejo porque en el caso de la circunferencia todos los puntos son equivalentes pero en el segmento no.

Tengo una primera solución, de 1/3, pero no estoy seguro y me gustaría que hubiese aportaciones por aquí.
Un saludo.

22 Noviembre, 2018, 12:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Después de resolver la distancia media entre dos puntos cualesquiera de una circunferencia, ahora estoy enfrascado con este reto.
El problema parece más complejo porque en el caso de la circunferencia todos los puntos son equivalentes pero en el segmento no.

Tengo una primera solución, de 1/3, pero no estoy seguro y me gustaría que hubiese aportaciones por aquí.
Un saludo

Pues si llamas \( X,Y \) a las variables posición del punto, ambas son uniformes en \( [0,1] \) e independientes entres si y su función de densidad conjunta es por tanto constante igual a \( 1 \) en el cuadrado \( [0,1]\times [0,1]. \)

La distancia entres ambas es \( |X-Y| \), así que:

\( E\left[|X-Y|\right]=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1}|x-y|dxdy \)

Se tiene que:

\( |x-y|=x-y \) si \( x\geq y \)
\( |x-y|=y-x \) si \( x\leq y \)

Por simetría podemos integrar bajo la condición \( x\geq y \) y multiplicar por dos:

\( E[|X-Y|]=2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{x}(x-y)dydx=2\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^2}{2}=2\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3} \)

Saludos.

22 Noviembre, 2018, 01:13 pm
Respuesta #2

sedeort

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Joer, qué nivelazo!
 :aplauso:
Sólo 10 min ha durado este reto.

Yo soy  matemático aficionado y lo hice al estilo "compae". Pero parece que también es válido mi método porque la solución es la misma. Cuando lo ordene un poco lo pongo por aquí.
 ;)


22 Noviembre, 2018, 02:04 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Yo soy  matemático aficionado y lo hice al estilo "compae". Pero parece que también es válido mi método porque la solución es la misma.

Bueno, aunque seguro que está bien, no necesariamente. Un procedimiento incorrecto podría llevar de casualidad a una solución correcta. Pero insisto, seguro que no es el caso.  ;)

Saludos.

22 Noviembre, 2018, 09:58 pm
Respuesta #4

sedeort

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Mi procedimiento, explicado cualitativamente, para llegar a la solución final de 1/3 se divide en tres pasos.

A. Cálculo de la distancia media entre un extremo y cualquier punto de una varilla. Es muy sencillo determinar que el resultado es la mitad de la longitud total de la varilla, o sea 1/2 L.

B. Dado un punto interior fijo en la varilla unidad, a una distancia Y de un extremo, cuál es la distancia media de cualquier punto a ese punto Y? Pues será la media ponderada en longitudes de las soluciones del paso A en las dos varillas que resultan de romper la inicial por ese punto fijo Y. Me sale \( Y^2 - Y + 1/2 \)

C. Ahora damos libertad para que ese punto Y pueda estar en cualquier posición genérica. Por lo que hay que hacer la media de todas las soluciones B, mediante una integral.  Me sale la solución final apuntada antes, 1/3.

23 Noviembre, 2018, 09:00 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Mi procedimiento, explicado cualitativamente, para llegar a la solución final de 1/3 se divide en tres pasos.

A. Cálculo de la distancia media entre un extremo y cualquier punto de una varilla. Es muy sencillo determinar que el resultado es la mitad de la longitud total de la varilla, o sea 1/2 L.

B. Dado un punto interior fijo en la varilla unidad, a una distancia Y de un extremo, cuál es la distancia media de cualquier punto a ese punto Y? Pues será la media ponderada en longitudes de las soluciones del paso A en las dos varillas que resultan de romper la inicial por ese punto fijo Y. Me sale \( Y^2 - Y + 1/2 \)

C. Ahora damos libertad para que ese punto Y pueda estar en cualquier posición genérica. Por lo que hay que hacer la media de todas las soluciones B, mediante una integral.  Me sale la solución final apuntada antes, 1/3.

Técnicamente si llamas \( X,Y \) a la posición del los dos puntos estás haciendo lo siguiente.

En el paso (C) expresas la esperanza a partir de esperanza condicionada al valor de \( Y \):

\( E[d(X,Y)]=E[E[d(X,Y)|Y] \)

En el paso (B) para calcular E[d(X,Y)|Y] a su vez utilizas:

\( E[d(X,Y)|Y]=E[(d(X,Y)|Y)|X\leq Y]P(X\leq Y)+E[(d(X,Y)|Y)|X\geq Y]P(X\geq Y) \)

Utilizas que las variable \( X|X\leq Y \) es uniforme en \( [0,Y] \) y la variable \( X|X\geq Y \) es uniforme en \( [Y,1] \). Y finalmente aplicas (A) donde se prueba que en general si \( X \) es uniforme en \( [a,b] \) la distancia promedio a un extremo es \( (b-a)/2 \).

Saludos.

23 Noviembre, 2018, 09:35 am
Respuesta #6

sedeort

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Entiendo poco de lo que has puesto, pero le has dado un aspecto muy formal a mis planteamientos.   :D
Bravo!!

23 Noviembre, 2018, 10:22 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Entiendo poco de lo que has puesto, pero le has dado un aspecto muy formal a mis planteamientos.   :D
Bravo!!

Si, ¡bah!... maquillaje. Lo importante es la idea que hay detrás que es la que has expuesto; luego conociendo la teoría se formaliza mecánicamente. Lo único interesante de la formalización es en realidad garantizar que la idea no deja algún cabo suelto.

Saludos.