Autor Tema: Funciones

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22 Noviembre, 2018, 11:55 am
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Julio_fmat

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Explicar porque \( \pi(h)\pi(\rho(g)^{-1})\pi(g)=\pi(g) \)?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

22 Noviembre, 2018, 12:06 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Explicar porque \( \pi(h)\pi(\rho(g)^{-1})\pi(g)=\pi(g) \)?

La pregunta está totalmente fuera de contexto; falta información para poder responder algo coherente.

¿Quien es \( \pi \)?¿Quien es \( h \)?¿Quien es \( \rho \)?¿Quién es \( g \)?. ¿En que contexto estás trabajando para que tenga alguna interpretación la concatenación de las imágenes de esos elementos? Uno sospecha quizá que estás en un grupo o en general en algún conjunto con alguna operación.

Saludos.

23 Noviembre, 2018, 06:42 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

Explicar porque \( \pi(h)\pi(\rho(g)^{-1})\pi(g)=\pi(g) \)?

La pregunta está totalmente fuera de contexto; falta información para poder responder algo coherente.

¿Quien es \( \pi \)?¿Quien es \( h \)?¿Quien es \( \rho \)?¿Quién es \( g \)?. ¿En que contexto estás trabajando para que tenga alguna interpretación la concatenación de las imágenes de esos elementos? Uno sospecha quizá que estás en un grupo o en general en algún conjunto con alguna operación.

Saludos.

Hola, si me falto mas precisión. Se tiene. Sea \( G \) un grupo y sea \( H \) un subgrupo normal de \( G \) se define el homomorfismo cociente \( \pi: G\mapsto G/H \). Ademas, suponemos que existe un homomorfismo \( \rho: G\mapsto H \) tal que \( \rho(h)=h \) para cada \( h\in H. \) Mi duda es porqué se tiene esa relación entre los grupos? Muchas Gracias.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

23 Noviembre, 2018, 06:57 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Usando que estamos en grupos (luego \( \pi(g) \) tiene inverso), tu igualdad es equivalente a ver:
\( \pi(h)\pi(\rho(g)^{-1})=e \) (donde \( e \) es el elemento neutro en \( G/H \)).
Como \( \pi,\rho \) son morfismos de grupos, se tiene:
\( \pi(h)\pi(\rho(g)^{-1})= \pi(h\rho(g^{-1})) = \pi(\rho(hg^{-1})) \)
donde en la segunda igualdad se usa \( \rho(h)=h \) para todo \( h \in H \).
Pero como \( \rho:G \rightarrow H \), tenemos que \( \rho(hg^{-1}) \in H \), y como \( \pi:G \rightarrow G/H \) es la aplicación cociente, \( \pi \) envía cualquier elemento de \( H \) a \( e \).
Luego \( \pi(\rho(hg^{-1})) = e \), como queríamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)