[hupavi]

buen día,

desconozco la definición del la expresión \( \mathbb{R}^\mathbb{R} ó \mathbb{R}^\mathbb{Q} \), agradezco me puedan ayudar con dicha definición,

muchas gracias

[geómetracat]

Si \( A,B \) son dos conjuntos, \( B^A \) es el conjunto de todas las aplicaciones \( f:A \rightarrow B \).
Por tanto, \( \mathbb{R}^\mathbb{R} \) es el conjunto de todas las aplicaciones \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \), y de manera similar, \( \mathbb{R}^\mathbb{Q} \) es el conjunto de todas las aplicaciones \( f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \).

[hupavi]

muchas gracias

[manooooh]

Hola

Si \( A,B \) son dos conjuntos, \( B^A \) es el conjunto de todas las aplicaciones \( f:A \rightarrow B \).
Por tanto, \( \mathbb{R}^\mathbb{R} \) es el conjunto de todas las aplicaciones \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \), y de manera similar, \( \mathbb{R}^\mathbb{Q} \) es el conjunto de todas las aplicaciones \( f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \).

¡Gracias por la explicación! .

¿Si \( A=B=\emptyset \) entonces no existe función, correcto?

¿O sea que cosas como \( \forall A,\emptyset^A \) NO son posibles?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Si \( A=B=\emptyset \) entonces no existe función, correcto?

¿O sea que cosas como \( \forall A,\emptyset^A \) NO son posibles?

Si \( \emptyset^A \) no es posible (es decir es un conjunto vacío) si \( A\neq \emptyset \), es decir, no existen funciones \( A\to \emptyset \) si \( A\neq \emptyset. \)

Sin embargo \( B^\emptyset \) siempre tiene una única función para cualquier conjunto \( B \), es decir, hay una única función \( \color{red}\emptyset\to B\color{black} \).

Spoiler

Una función \( A\to B \) es un subconjunto \( F \) del producto cartesiano \( A\times B \) tal que para todo \( a\in A  \) existe un único \( b\in B \) con \( (a,b)\in F \).

Si \( A=\emptyset \) la única posibilidad para \( F \) es \( F=\emptyset \) y cumple las condiciones exigidas para representar una función.

[cerrar]

Saludos.

CORREGIDO (gracias martiniano y geómetracat)

[martiniano]

Hola.

¿Soy yo el que anda despistado, o las definiciones que usáis geómetracat y Luis Fuentes del conjunto \( A^B \) tienen los conjuntos \( A \) y \( B \) intercambiados?

Saludos.

[martiniano]

Perdón, me he dedpistado y me he expresado mal.

Spoiler

Una función \( B\to A \) es un subconjunto \( F \) del producto cartesiano \( B\times A \) tal que para todo \( b\in B  \)existe un único \( a\in A \) con \( (b,a)\in F \).

Si    \( A=\emptyset \) la única posibilidad para \( F \) es \( F=\emptyset \) y cumple las condiciones exigidas para representar una función.

[cerrar]

Es aquí, en lo rojo, donde debería haber un \( B=\emptyset \) ¿no?

Saludos.

[geómetracat]

Sin embargo \( B^\emptyset \) siempre tiene una única función para cualquier conjunto \( B \), es decir, hay una única función \( B\to \emptyset \).

Una pequeña errata, debería ser: hay una única función \( \emptyset \rightarrow B \).

Hola.

¿Soy yo el que anda despistado, o las definiciones que usáis geómetracat y Luis Fuentes del conjunto \( A^B \) tienen los conjuntos \( A \) y \( B \) intercambiados?

Saludos.

No hay errata: \( B^A \) es el conjunto de funciones \( A \rightarrow B \), en ese orden. El motivo de la notación es que en el caso \( A,B \) finitos, se tiene \( |B^A| = |B|^{|A|} \), es decir, si \( A \) tiene \( n \) elementos y \( B \) tiene \( m \) elementos, hay exactamente \( m^n \) funciones \( A \rightarrow B \) (en efecto, para cada uno de los \( n \) elementos de A tienes \( m \) posibilidades para su imagen).

[geómetracat]

Perdón, me he dedpistado y me he expresado mal.

Spoiler

Una función \( B\to A \) es un subconjunto \( F \) del producto cartesiano \( B\times A \) tal que para todo \( b\in B  \)existe un único \( a\in A \) con \( (b,a)\in F \).

Si    \( A=\emptyset \) la única posibilidad para \( F \) es \( F=\emptyset \) y cumple las condiciones exigidas para representar una función.

[cerrar]

Es aquí, en lo rojo, donde debería haber un \( B=\emptyset \) ¿no?

Saludos.

Sí, tienes razón, es otra pequeña errata.

[martiniano]

Perfecto, todo aclarado.

Saludos.