Autor Tema: UTF (n=4): Intento de prueba sin descenso infinito

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20 Noviembre, 2018, 05:46 pm
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Fernando Moreno

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Separado de aquí.


Hola,

Supongo que  \( z^4=x^4+y^4 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos;  \( x\,\vee\,y \) ,  par.

Por tanto:  \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \)  y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

\( z^2=p^2+q^2 \)  ;  \( x^2=2pq \)  ;  \( y^2=p^2-q^2 \) ;  para  \( p,q \)  coprimos, uno de ellos par.

Como:  \( p^2=y^2+q^2 \)   \( \wedge \)   \( z^2=p^2+q^2 \) .  Serán asimismo soluciones en forma de ternas pitagóricas:

\( p=a^2+b^2 \)  ;  \( y=a^2-b^2 \)  ;  \( q=2ab \)     \( \wedge \)     \( z= c^2+d^2 \)  ;  \( p=c^2-d^2 \)  ;  \( q=2cd \)

, para  \( a,b \)  coprimos   \( \wedge \)   \( c,d \)  coprimos; uno de cada pareja par.

Luego:  \( a^2+b^2=c^2-d^2 \)   \( \wedge \)   \( ab=cd \) .

Estrategia: Me doy cuenta que en el anillo de los enteros cuadráticos  " \( \mathbb{Z[\sqrt{-2}]} \) "  operar es muy amigable. Pues al igual que  " \( \mathbb{Z} \) " ,  es un dominio euclídeo de factorización única y sus unidades son  \( \pm 1 \) .  Me aprovecharé de ello para tratar de desbordar el único planteamiento que me puede dar una demostración del UTF 4 sin la necesidad de utilizar el absurdo por descenso infinito (y que tenía atascado).

Si sustituyo  “ \( p^2 \) “  en  “ \( z^2 \) “ ,  tendré que:  \( z^2=y^2+2q^2 \) .  Luego:  \( z^2=(y+\sqrt{-2}q)\,(y-\sqrt{-2}q) \) .  Como ambos factores son coprimos, tendré que:  \( (u+\sqrt{-2}v)^2\,=\,\pm\,(y+\sqrt{-2}q) \) ;  para unos  \( u,v \)  enteros, coprimos y uno de ellos par ( \( v \) ) . Como parto de una suma y llego a otra suma, tomaré consecuentemente la unidad:  \( +1 \)  .  Entonces:  \( u^2-2v^2+2uv\sqrt{-2}\,=\,y+\sqrt{-2}q \)   \( \wedge \)   \( y=u^2-2v^2 \)   \( \wedge \)   \( q=2uv \) .

De esta manera:  \( y=a^2-b^2\,=\,u^2-2v^2 \)   \( \wedge \)   \( q=2ab=2uv \) .  Está claro que  \( u,v \)  son diferentes de  \( a,b \) ,  aún teniendo los mismos factores. Pero ocurre también que  \( ab=cd \)  y que también estos últimos son diferentes de  \( u,v \) ,  así como de  \( a,b \) ;  teniendo asimismo iguales factores.  No pierdo generalidad por lo tanto si establezco que:  \( c=c_1\cdot c_2 \)   \( \wedge \)   \( d=d_1\cdot d_2 \) ;  para  \( c_1\,\wedge\,c_2 \)  coprimos -y-   \( d_1\,\wedge\,d_2 \)  coprimos, uno de los cuatro factores “ par ”.  De esta forma, por ejemplo:  \( a=c_1\cdot d_2 \)  \( \wedge \)  \( b=c_2\cdot d_1 \) .  Y por último, la combinación que nos queda:  \( u=c_1\cdot d_1 \)  \( \wedge \)  \( v=c_2\cdot d_2 \) .  (Ver la imagen)



 



Tenemos pues que:  \( a^2-b^2\,=\,u^2-2v^2 \)   \( \wedge \)   \( ab=uv \) ,  uno de cada pareja par.

Respecto del factor par, consideramos ahora todas las combinaciones posibles:

1)  " \( c_1 \) "  par   \( \Rightarrow{} \)   \( a,u \)  pares.

No puede darse porque nos encontraríamos ante una situación de “ impar = par “ .

2)  " \( c_2 \) "  par   \( \Rightarrow{} \)   \( b,v \)  pares.

Como:  \( 2v^2-b^2=u^2-a^2 \) .  Entonces:  \( 2c_2^2d_2^2-c_2^2d_1^2=c_1^2d_1^2-c_1^2d_2^2 \)   \( \Rightarrow{} \)   \( c_2^2(2d_2^2-d_1^2)=c_1^2(d_1^2-d_2^2) \) .

Puesto que  “ \( c_2^2 \) “  es coprimo con  “ \( c_1^2 \) “ ,  entonces dividirá á  “ \( d_1^2-d_2^2 \) “ ,  una diferencia de impares al cuadrado. Lo que podría ser.

Ahora bien, yo sé que también:  \( p\,=\, a^2+b^2=c^2-d^2 \) .

Luego:  \( a^2+d^2=c^2-b^2 \) .  Y :  \( c_1^2d_2^2+d_1^2d_2^2=c_1^2c_2^2-c_2^2d_1^2 \)   \( \Rightarrow{} \)   \( d_2^2(c_1^2+d_1^2)=c_2^2(c_1^2-d_1^2) \) .

Como  “ \( c_2^2 \) “  es coprimo con  “ \( d_2^2 \) “ ,  entonces dividirá á  “ \( c_1^2+d_1^2 \) “ .  Pero esto no puede ser, porque es una suma de impares al cuadrado y su paridad es como máximo de magnitud “ \( 2 \) “, mientras que la paridad de  “ \( c_2^2 \) “  es como mínimo de “ \( 4 \) “.

3)  " \( d_1 \) "  par   \( \Rightarrow{} \)   \( b,u \)  pares.
     
No puede ser, pues al igual que en el caso 1), esto daría lugar a una situación de “ impar = par “ .

4)  " \( d_2 \) "  par   \( \Rightarrow{} \)   \( a,v \)  pares.

Como:  \( a^2+2v^2=u^2+b^2 \) .  Entonces:  \( c_1^2d_2^2+2c_2^2d_2^2=c_1^2d_1^2+c_2^2d_1^2 \)   \( \Rightarrow{} \)   \( d_2^2(c_1^2+2c_2^2)=d_1^2(c_1^2+c_2^2) \) .

Puesto que  “ \( d_2^2 \) “  es coprimo con  “ \( d_1^2 \) “ ,  entonces dividirá á  “ \( c_1^2+c_2^2 \) “ .  Pero esto último representa una suma de impares al cuadrado cuya paridad máxima es de  “ \( 2 \) “, mientras que la paridad de  “ \( d_2^2 \) “  es como mínimo de “ \( 4 \) “. No puede ser tampoco. Y ya son todos los casos posibles.


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

21 Noviembre, 2018, 11:08 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

De esta manera:  \( y=a^2-b^2\,=\,u^2-2v^2 \)   \( \wedge \)   \( q=2ab=2uv \) .  Está claro que  \( u,v \)  son diferentes de  \( a,b \) ,  aún teniendo los mismos factores. Pero ocurre también que  \( ab=cd \)  y que también estos últimos son diferentes de  \( u,v \) ,  así como de  \( a,b \) ;  teniendo asimismo iguales factores.  No pierdo generalidad por lo tanto si establezco que:  \( c=c_1\cdot c_2 \)   \( \wedge \)   \( d=d_1\cdot d_2 \) ;  para  \( c_1\,\wedge\,c_2 \)  coprimos -y-   \( d_1\,\wedge\,d_2 \)  coprimos, uno de los cuatro factores “ par ”.  De esta forma, por ejemplo:  \( a=c_1\cdot d_2 \)  \( \wedge \)  \( b=c_2\cdot d_1 \) .  Y por último, la combinación que nos queda:  \( u=c_1\cdot d_1 \)  \( \wedge \)  \( v=c_2\cdot d_2 \) .  (Ver la imagen)

No se si te he entendido bien pero creo que eso está mal. Pareces afirmar que si \( ab=cd=uv \), con cada pareja \( (a,b),(c,d),(u,v) \) coprimas, de los valores de \( a,b,c,d \) necesariamente se deducen los valores de \( u,v \). Eso querría decir que a lo sumo hay tres formas distintas de descomponer un número como producto de dos factores coprimos, lo cual es obviamente falso.

Ten en cuenta que \( c_1=mcd(a,c),\quad c_2=mcd(b,c),\quad d_1=mcd(b,d),\quad d_2=mcd(a,d) \). Si tu afirmas que necesariamente:

\( u=c_1d_1=mcd(a,c)mcd(b,d),\qquad v=c_2d_2=mcd(b,c)mcd(a,d) \)

quiere decir que \( u,v \) estarían inequívocamente determinados por \( a,b,c,d \). Pero eso no puede ser.

Por ejemplo:

\( c_1=2\cdot 3\cdot 5,\qquad c_2=7,\qquad d_1=11,\qquad d_2=13 \)

Entonces:

\( a=c_1d_2=2\cdot 3\cdot 5\cdot 13 \)
\( b=c_2d_1=7\cdot 11 \)

\( c=c_1c_2=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \)
\( d=d_1d_2=11\cdot 13 \)

Y por ejemplo si tomamos:

\( u=2\cdot 7\cdot 11,\qquad v=3\cdot 5\cdot 13 \)

se cumple \( ab=cd=uv \), pero  no es cierto que ni \( u \) ni \( v \) sean \( c_1\cdot d_1=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11 \)

Saludos.

P.D. Aunque ya es algo que debí de decirte antes, quizá sería bueno que estos intentos no los pusieses a continuación del hilo inicial de la revista, sino en otros hilos separados; al final si están bien, puedes copiarlos a la revista. Más allá de otras razones, al tener muchas fórmulas y dibujos el hilo me tarda en cargar y se hace pesado de manipular.

Si te parece bien los separaré.

21 Noviembre, 2018, 12:54 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola,

Ten en cuenta que \( c_1=mcd(a,c),\quad c_2=mcd(b,c),\quad d_1=mcd(b,d),\quad d_2=mcd(a,d) \). Si tu afirmas que necesariamente:

\( u=c_1d_1=mcd(a,c)mcd(b,d),\qquad v=c_2d_2=mcd(b,c)mcd(a,d) \)

quiere decir que \( u,v \) estarían inequívocamente determinados por \( a,b,c,d \). Pero eso no puede ser.

Por ejemplo:

\( c_1=2\cdot 3\cdot 5,\qquad c_2=7,\qquad d_1=11,\qquad d_2=13 \)

Pues sí, he actuado con miopía. Gracias por la mejora en la graduación de la vista


P.D. Aunque ya es algo que debí de decirte antes, quizá sería bueno que estos intentos no los pusieses a continuación del hilo inicial de la revista, sino en otros hilos separados; al final si están bien, puedes copiarlos a la revista. Más allá de otras razones, al tener muchas fórmulas y dibujos el hilo me tarda en cargar y se hace pesado de manipular.

Si te parece bien los separaré.


Claro, me parece muy bien.


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr