Autor Tema: UTF (n=4): Otro intento de prueba (descenso rápido)

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22 Septiembre, 2018, 05:57 pm
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Fernando Moreno

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Separado de aquí.


Hola, 2 demostraciones más. Las he adjetivado como de "descenso rápido" (*) :


[ 11va. ]  -No es correcta-


Supongo que  \( \pmb{z^4=x^2+y^4} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos;  " \( y \) " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  \( \mathbb{Z}[ i ] \)  " \( 2 \) "  es el asociado de un cuadrado:  " \( i^3(1+i)^2 \) " .

De esta manera: \(  z^4=(x+y^{2}i)(x-y^{2}i) \) .  Como ambos factores son coprimos entonces serán cuartas potencias y existirán unos:

\( (u+vi)^4=(x+y^{2}i) \)   \( \wedge \)   \( (u-vi)^4=(x-y^{2}i) \) ,  para  \( u,v \)  enteros, coprimos, uno de ellos par.

Si desarrollamos:  \( (u+vi)^4\,=\,u^4+4u^3vi+6u^uv^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4\,=\,(x+y^{2}i) \) ;  entonces:

\( x=u^4+v^4-6u^2v^2 \)   \( \wedge \)   \( y^2i\,=\,4u^3vi+4uv^3i^3\,=\,4uv(u^2-v^2)i \)

Por lo que:

\( (u+vi)^4-(u-vi)^4\,=\,8uv(u^2-v^2)i\,=\,2y^2i\,=\,i^3(1+i)^2y^2i\,=\,i^4(1+i)^2y^2\,=\,(1+i)^2y^2 \)

Si llamo ahora:  \( a=u+vi \)   ,   \( b=(1+i)y \)    \( \wedge \)    \( c=u-vi \)

Entonces:  \( a^4-c^4=b^2 \)   \( \wedge \)   \( \pmb{a^4=b^2+c^4} \) .  Y puedo repetir este procedimiento sin fin. Pudiendo afirmar además que a partir de un momento dado las  \( u',v' \)  correspondientes no serán enteras.


[ 12va. ]  -No es correcta-


Supongo que  \( \pmb{z^{4}=x^{4}+y^{2}} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos;  “ \( x \) “ ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  \( \mathbb{Z}[ i ] \)  " \( 2 \) "  es el asociado de un cuadrado:  " \( i^3(1+i)^2 \) " .

De esta manera:  \( (z^2)^{2}=(x^2)^{2}+(y)^{2} \)  y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

\( z^{2}=p^{2}+q^{2} \)   ;   \( x^{2}=2pq \)   ;   \( y=p^{2}-q^{2} \) ;  para  \( p,q \)  enteros, coprimos y uno de ellos par.

Como:  \( x=\sqrt{2pq} \) ;  entonces:  \( p=p_1^2 \)   \( \wedge \)   \( q=2q_1^2 \) . 

Luego:

\( z^{2}+y=2p^{2} \)   \( \wedge \)   \( z^{2}-y=2q^{2} \)

Si multiplico ambas expresiones por el factor  " \( 2i^2 \) " ,  tendré:

\( 2i^2(z^{2}+y)=4p^{2}i^2 \)   \( \wedge \)   \( 2i^2(z^{2}-y)=4q^{2}i^2 \)

Nos fijamos en que  " \( 4p^{2}i^2 \) "  \( \wedge \)  " \( 4q^{2}i^2 \) "  son cuartas potencias: 

\( 4p^{2}i^2=i^6(1+i)^4\cdot p_1^4\cdot i^2 \)   \( \wedge \)   \( 4p^{2}i^2=i^8(1+i)^4\cdot p_1^4 \)   

\( 4q^{2}i^2=4\cdot 4q_1^4\cdot i^2 \)   \( \wedge \)   \( 4q^{2}i^2=-\,2^4\cdot q_1^4 \)   \( \wedge \)   \( -\,4q^{2}i^2=2^4\cdot q_1^4 \)   
   
Por lo que:  \( (2z^{2}i^2+2yi^2)\,+\,(2z^{2}i^2-2yi^2)\,=\,4z^2i^2\,=\,i^6(1+i)^4\cdot z^2\cdot i^2\,=\,i^8(1+i)^4\cdot z^2 \)

Y si llamo:  \( a=i^2(1+i)\cdot p_1 \)   ,   \( b=2\cdot q_1 \)   \( \wedge \)   \( c=i^4(1+i)^2\cdot z \)           

Entonces:  \( a^4-b^4=c^2 \)   \( \wedge \)   \( \pmb{a^4=b^4+c^2} \) .  Y puedo repetir el mismo procedimiento sin fin.


Un saludo,


PD. De todas las demostraciones, ésta (12va.) es mi preferida y a la que tengo más cariño; incluso de la que le sigue.


Añadido (7 octubre):  Como me indica Luis Fuentes en otro post más adelante, me he dado cuenta que parto de  \( \mathbb{Z} \)  y acabo en  \( \mathbb{Z}[ i ] \) . Mezclo ambas cosas. Además tampoco me cuadran del todo las deducciones que llevo a cabo en la 12va. Debería salirme ó  \( a,b,c \)  todas en  \( \mathbb{Z} \)  ó todas en  \( \mathbb{Z}[ i ] \) . Saludos. Disculpas.
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22 Septiembre, 2018, 07:38 pm
Respuesta #1

Fernando Moreno

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Hola.

Supongo que  \( z^4=x^4+y^4 \)  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos 2 a 2;  \( x\,\vee\,y \)  par.


Estrategia: Demostrar con carácter general que no es posible que se dé a la vez:

\( \pmb{a\cdot b=c\cdot d} \)   \( \wedge \)   \( \pmb{a^2=b^2+c^2+d^2} \)

Para:  \( \pmb{a,b} \)  coprimos -y-  \( \pmb{c,d} \)  coprimos; uno de cada pareja par.

Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  \( ab=cd \) ,  deben estar a la derecha; solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  \( c=c_1c_2 \)  \( \wedge \)  \( d=d_1d_2 \) ,  para  \( c_1\,\wedge\,c_2 \)  coprimos y  \( d_1\,\wedge\,d_2 \)  coprimos y  " \( b,d \) " ,  por ejemplo, pares; podré establecer también sin perder generalidad que:  \( a=c_1d_2 \)  \( \wedge \)  \( b=c_2d_1 \)  - ( \( d_1 \)  par) -.  Veámoslo:






Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  \( a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d \)  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  \( d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1 \) .

Como:  \( a^2=b^2+c^2+d^2 \) ;  entonces:  \( c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2 \) .  Luego:

(1)  \( c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2 \) .  Como  \( d_2^2 \)  es coprimo con \( c_2^2 \) ,  entonces debe dividir á  " \( d_1^2+c_1^2 \) " .  Así:  \( c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2 \) ,  para un  “ \( k_1 \) “  entero.

(2)  \( d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2 \) .  Como  \( c_1^2 \)  es coprimo con \( d_1^2 \) ,  entonces debe dividir á  " \( c_2^2+d_2^2 \) " .  Así:  \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) ,  para un  “ \( k_2 \) “  entero.
 
Y observamos lo siguiente:

(1)  \( \dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) .  Si llamamos ahora:  \( r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2} \)   \( \wedge \)   \( s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) .  Como:  \( d_1\,<\,d_2 \) ,  entonces:  \( r^2\,<\,1 \) .  Y como:  \( c_1\,>\,d_2 \) ,  entonces:  \( s^2\,>\,1 \)   \( \wedge \)   \( r^2+s^2=k_1 \) .

(2)  \( \dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) .  Si llamamos ahora:  \( t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2} \)   \( \wedge \)   \( \dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) .  Como:  \( c_2\,<\,c_1 \) ,  entonces:  \( t^2\,<\,1 \) .  Y como dijimos antes que:  \( s_2\,>\,1 \) ,  entonces:  \( \dfrac{1}{s^2}\,<\,1 \)   \( \wedge \)   \( t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2 \) .

Y  " \( k_1 \) " ,  por lo menos, no es entero

Analicemos esto último:

Como  \( t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2} \)  son menores que  \( 1 \) ,  por fuerza  \( k_2\,<\,2 \) .  Por otra parte como si  \( k_2 \)  fuera entero sería "par":  \( \left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right) \)  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " \( \dfrac{A}{B} \) " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ \( d_1^2 \) “  de:   \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) .

Por otra parte, como:  \( a^2-c^2=b^2+d^2 \) ;  entonces:

\( c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2 \)   \( \wedge \)   \( c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2) \) .  De donde:  \( \dfrac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,k_2 \)   \( \wedge \)   \( k_2\,d_1^2=d_2^2-c_2^2 \)   (que ya conocíamos (2))   \( \wedge \)   (ahora:)   \( k_2\,c_1^2=c_2^2+d_2^2 \) .  Pero esto no puede ser, porque si el denominador de  " \( k_2 \) "  ( B )  divide á  \( d_1^2 \) ,  no puede dividir a su coprimo:  “ \( c_1^2 \) “ .  Por lo tanto uno de los dos:  “ \( k_2\,d_1^2 \) “   \( \vee \)   “ \( k_2\,c_1^2 \) “  no es entero.


Ahora veamos que ocurriría si el UTF 4 fuera falso y se cumpliera la igualdad de la suma de sus dos cuartas potencias:

Como:  \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \) ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

\( x^2=2pq \)  ,  \( y^2=p^2-q^2 \)  ,  \( z^2=p^2+q^2 \) ;  para  \( p,q \)  coprimos, uno de ellos par.

Por lo que así mismo, serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

\( z=a'^2+b'^2 \)  ,  \( p=a'^2-b'^2 \)  ,  \( q=2a'b' \)    \( \wedge \)    \( p=c'^2+d'^2 \)  ,  \( y=c'^2-d'^2 \)  ,  \( q=2c'd' \) ;  para  \( a',b' \)  coprimos  \( \wedge \)  \( c',d' \)  coprimos, uno de cada pareja par.         

Y :  \( \pmb{a'b'=c'd'} \)  \( \wedge \)  \( \pmb{a'^2-b'^2=c'^2+d'^2} \) .  Ahí lo tenemos.



Y a partir de aquí una Generalización:


Dados 4 enteros positivos:  \( \pmb{A,B,C,D} \) ;  coprimos 2 a 2. No es posible que se dé al mismo tiempo:

\( \pmb{C\,k_1=A+B} \)

\( \pmb{D\,k_2=A-B} \)

\( \pmb{A\,k_3=C+D} \)

\( \pmb{B\,k_4=C-D} \) 

Para:  \( \pmb{k_1,k_2,k_3,k_4} \)  enteros.


A este tipo de situaciones aritméticas -por razones obvias- las llamo "supersimétricas". Y por lo menos ésta, no puede darse. Veámoslo a partir del desarrollo de la demostración anterior (que pasaría a ser un caso particular de esto último):


- A parir de  \( a^2=b^2+c^2+d^2 \) ,  teníamos:  \( \color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \)   \( \wedge \)   \( \color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2} \) .

- A partir de:  \( a^2-d^2=b^2+c^2 \) .  Si desarrollamos:  \( c_1^2d_2^2-d_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2 \)   \( \wedge \)   \( d_2^2(c_1^2-d_1^2)=c_2^2(d_1^2+c_1^2) \) .  Tendremos:  \( \color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2} \) .

- Y a partir de:  \( a^2-c^2=b^2+d^2 \) .  Si desarrollamos:  \( c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2 \)   \( \wedge \)   \( c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2) \) .  Tendremos:  \( \color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2} \) .

Ahora hago los siguientes nombramientos sin tener en cuenta la condición de "cuadrados" de las variables:

\( c_1^2=\pmb{a} \)  ,  \( d_1^2=\pmb{b} \)  (par)  ,  \( c_2^2=\pmb{c} \)  ,  \( d_2^2=\pmb{d} \)

Tendremos que:

Dados  \( a,b,c,d \)  enteros distintos, coprimos 2 á 2, uno de ellos par y  \( k_1,k_2,k_3,k_4 \)  enteros; entonces:

\( a+b=k_1d \)

\( a-b=k_3c \)

\( c+d=k_2a \)

\( c-d=k_4b \)

Y esta situación "supersimétrica" no puede darse con carácter general.

Como son enteros distintos tendrán un orden. Al ser 4, sus permutaciones entre sí darán lugar a 24 combinaciones diferentes:

(1)  \( a\,>\,b\,>\,c\,>\,d \)

(2)  \( b\,>\,a\,>\,c\,>\,d \)

(3)  \( c\,>\,b\,>\,a\,>\,d \)

(4)  \( d\,>\,c\,>\,b\,>\,a \)

. . . . . . . Etc.

Y si no me he equivocado en todos los casos hay un  " \( k_i \) "  que resulta ser un racional no entero. Los casos más características son éstos:

Tipo (1):  Como  " \( a \) "  es mayor que  \( c\,\wedge\,d \)    \( \wedge \)    \( c+d=k_2a \) ;  entonces:  \( k_2=\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{a} \) .  Y  " \( k_2 \) "  debe ser en consecuencia menor que 2. Pero como si fuera entero debería ser "par" por ser  " \( c+d \) " par. Entonces no queda otra que no sea entero.

Tipo (2):  Como  " \( b \) "  es mayor que  \( c\,\wedge\,d \)    \( \wedge \)    \( c-d=k_4b \) ;  entonces:  \( k_4=\dfrac{c}{b}-\dfrac{d}{b} \) .  Y  " \( k_4 \) "  debe ser en consecuencia menor que 1. 

Tipo (3):  Como  " \( c \) "  es mayor que  \( a\,\wedge\,b \)    \( \wedge \)    \( a-b=k_3c \) ;  entonces:  \( k_3=\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c} \) .  Y  " \( k_3 \) "  debe ser en consecuencia menor que 1 (negativo).

Tipo (4):  Como  " \( d \) "  es mayor que  \( a\,\wedge\,b \)    \( \wedge \)    \( a+b=k_1d \)   ;  entonces:  \( k_1=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d} \) .  Y  " \( k_1 \) "  debe ser igual á 1 si es entero porque debe ser menor que 2 y puede serlo. Pero entonces, como también:  \( c-d=k_4b \)   \( \Rightarrow{} \)   \( d=c-k_4b \)  -y-  " \( k_4 \) "  es negativo porque  \( c\,<\,d \) ;  entonces si  \( k_4 \)  es mayor que 1, tendríamos que  \( d=a+b=c+k_4'b \) .  Lo que no puede ocurrir por ser  \( c \)  mayor que  " \( a \) " .  Luego por fuerza  " \( k_4 \) "  debe ser menor que 1.

El caso más complejo que me he encontrado (a mi entender) es éste:  " \( \pmb{d\,>\,a\,>\,c\,>\,b} \) "   ó   " \( \pmb{d\,>\,a\,>\,b\,>\,c} \) "

Al ser del tipo (4) siempre tendremos que:  \( d=a+b \) .  Por otra parte tenemos que:  \( a-b=k_3c \) .  Luego:  \( (a+b)+(a-b)=d+k_3c \)   \( \wedge \)   \( 2a=d+k_3c \)   \( \wedge \)   \( k_3=\dfrac{2a-d}{c} \) .  Pero si  “ \( k_3 \) “  fuera entero sería ahora impar  \( \left({\dfrac{impar}{impar}}\right) \) ,  cuando antes era “par”:  \( k_3=\dfrac{a-b}{c} \) .  Luego debe ser también un racional no entero.



Un saludo.

Editado (7 octubre) En base a las indicaciones de Luis Fuentes en post posterior.

Añadido: Esta demostración no es correcta. Ver respuestas que siguen.
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03 Octubre, 2018, 12:32 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Fernando... contigo no se puede ir uno de vacaciones tranquilo, eh.

[ 11va. ]


Supongo que  \( \pmb{z^4=x^2+y^4} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos;  " \( y \) " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  \( \mathbb{Z}[ i ] \)  " \( 2 \) "  es el asociado de un cuadrado:  " \( i^3(1+i)^2 \) " .

De esta manera: \(  z^4=(x+y^{2}i)(x-y^{2}i) \) .  Como ambos factores son coprimos entonces serán cuartas potencias y existirán unos:

\( (u+vi)^4=(x+y^{2}i) \)   \( \wedge \)   \( (u-vi)^4=(x-y^{2}i) \) ,  para  \( u,v \)  enteros, coprimos, uno de ellos par.

Si desarrollamos:  \( (u+vi)^4\,=\,u^4+4u^3vi+6u^uv^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4\,=\,(x+y^{2}i) \) ;  entonces:

\( x=u^4+v^4-6u^2v^2 \)   \( \wedge \)   \( y^2i\,=\,4u^3vi+4uv^3i^3\,=\,4uv(u^2-v^2)i \)

Por lo que:

\( (u+vi)^4-(u-vi)^4\,=\,8uv(u^2-v^2)i\,=\,2y^2i\,=\,i^3(1+i)^2y^2i\,=\,i^4(1+i)^2y^2\,=\,(1+i)^2y^2 \)

Si llamo ahora:  \( a=u+vi \)   ,   \( b=(1+i)y \)    \( \wedge \)    \( c=u-vi \)

Entonces:  \( a^4-c^4=b^2 \)   \( \wedge \)   \( \pmb{a^4=b^2+c^4} \) .  Y puedo repetir este procedimiento sin fin. Pudiendo afirmar además que a partir de un momento dado las  \( u',v' \)  correspondientes no serán enteras.

A vuelapluma: no me convence. Comienzas con \( x,y,z \) enteros puros y usas ese hecho de manera decisiva porque en un momento separas parte real e imaginaria. Sin embargo la nueva terna que obtienes, a priori, es de enteros de Gauss, posiblemente con parte compleja.

Saludos.

03 Octubre, 2018, 01:49 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola.

Por fin logro esta ansiada demostración (eso creo) sin tener que recurrir al argumento del descenso infinito. Existe. Y una manera puede ser ésta :

Tampoco me convence.  ;)

La crítica a vuelapluma es que que tienes que ser más cuidadoso con los "sin pérdida de generalidad".

Concreto un poco más.

Citar
Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  \( ab=cd \) ,  deben estar a la derecha, solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  \( c=c_1c_2 \)  \( \wedge \)  \( d=d_1d_2 \) ,  para  \( c_1\,\wedge\,c_2 \)  coprimos y  \( d_1\,\wedge\,d_2 \)  coprimos (uno de ellos par: por ejemplo:  \( d_1 \) ) ;  puedo establecer también sin perder generalidad que:  \( a=c_1d_2 \)  \( \wedge \)  \( b=c_2d_1 \) .  Veámoslo:

Aquí escoges al gusto quien va a ser el par.


Citar
Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  \( a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d \)  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  \( d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1 \) .

Aquí supones que el mayor es \( c_1 \), que antes has supuesto que es impar. ¿Por qué no podría ser par el mayor?.

Esto es importante más adelante.

Citar
Como:  \( a^2=b^2+c^2+d^2 \) ;  entonces:  \( c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2 \) .  Luego:

(1)  \( c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2 \) .  Como  \( d_2^2 \)  es coprimo con \( c_2^2 \) ,  entonces debe dividir á  " \( d_1^2+c_1^2 \) " .  Así:  \( c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2 \) ,  para un  “ \( k_1 \) “  entero ó racional.

(2)  \( d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2 \) .  Como  \( c_1^2 \)  es coprimo con \( d_1^2 \) ,  entonces debe dividir á  " \( c_2^2+d_2^2 \) " .  Así:  \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) ,  para un  “ \( k_2 \) “  entero ó racional.

No entiendo porque dejas abierta la posibilidad de que \( k_1 \) o \( k_2 \) sea racional. Precisamente por el argumetno de coprimalidad que exhibes, ese cociente debe de ser entero.
 
Citar
Y observamos lo siguiente:

(1)  \( \dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) .  Si llamamos ahora:  \( r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2} \)   \( \wedge \)   \( s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) .  Como:  \( d_1\,<\,d_2 \) ,  entonces:  \( r^2\,<\,0 \) .  Y como:  \( c_1\,>\,d_2 \) ,  entonces:  \( s^2\,>\,0 \)   \( \wedge \)   \( r^2+s^2=k_1 \) .

(2)  \( \dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) .  Si llamamos ahora:  \( t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2} \)   \( \wedge \)   \( \dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) .  Como:  \( c_2\,<\,c_1 \) ,  entonces:  \( t^2\,<\,0 \) .  Y como dijimos antes que:  \( s_2\,>\,0 \) ,  entonces:  \( \dfrac{1}{s^2}\,<\,0 \)   \( \wedge \)   \( t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2 \) .

Ahí tienes varias erratas; donde quieres decir mayor y menor que uno pones mayor y menor que cero.

Citar
Analicemos esto último:

Como  \( t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2} \)  son menores que  \( 0 \) ,  por fuerza  \( k_2\,<\,2 \) .  Por otra parte como si  \( k_2 \)  fuera entero sería "par":  \( \left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right) \)  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " \( \dfrac{A}{B} \) " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ \( d_1^2 \) “  de:   \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) .

Si estuviese bien ya tenias la contradicción porque como te digo \( k_2 \) tiene que ser entero. Pero el problema es que ahí usas de forma decisiva la elección de paridad que has hecho que no tiene porque ser compatible con la elección de orden que has hecho.

Saludos.

03 Octubre, 2018, 06:53 pm
Respuesta #4

Fernando Moreno

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Hola,

Fernando... contigo no se puede ir uno de vacaciones tranquilo, eh.


No


A vuelapluma: no me convence. Comienzas con \( x,y,z \) enteros puros y usas ese hecho de manera decisiva porque en un momento separas parte real e imaginaria. Sin embargo la nueva terna que obtienes, a priori, es de enteros de Gauss, posiblemente con parte compleja.

La idea es: Efectivamente, termino con ternas de enteros de Gauss pero que tienen una parte entera pura también:  \( u,v \) .  Puesto que puedo repetir el procedimiento sin fin, como he demostrado, las próximas  \( u',v' \)  serán más pequeñas y así sucesivamente hasta que por fuerza sean menores que 1 y dejen de ser enteras.

Añadido: Ahora con más calma: Es cierto lo que dices. Tengo que revisarlo también. Todo esto me ha cogido por sorpresa

Añadido (4 octubre):

AQUÍ PROPONGO UNA ALTERNATIVA PARA FINALIZAR LA DEMOSTRACIÓN:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105944.msg419026#msg419026

Y por analogía, cambio también el final de esta demostración relacionada pero del caso n = 3 Aquí:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105947.msg419041#msg419041



Por fin logro esta ansiada demostración (eso creo) sin tener que recurrir al argumento del descenso infinito. Existe. Y una manera puede ser ésta :

Tampoco me convence.  ;)

Me has cogido con el paso cambiado. Había dado por terminado estos temas y pasado de la aritmética al álgebra (estaba estudiando sobre cuestiones de álgebra abstracta). Me tomo un breve respiro, cambio el chip y veo si puedo subsanar los puntos débiles a los que haces referencia en esta demostración. ¡Qué lastima volver para atrás!, lo había dado como cerrado.


Un saludo,
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07 Octubre, 2018, 06:32 pm
Respuesta #5

Fernando Moreno

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Hola,


Citar
Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  \( ab=cd \) ,  deben estar a la derecha, solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  \( c=c_1c_2 \)  \( \wedge \)  \( d=d_1d_2 \) ,  para  \( c_1\,\wedge\,c_2 \)  coprimos y  \( d_1\,\wedge\,d_2 \)  coprimos (uno de ellos par: por ejemplo:  \( d_1 \) ) ;  puedo establecer también sin perder generalidad que:  \( a=c_1d_2 \)  \( \wedge \)  \( b=c_2d_1 \) .  Veámoslo:

Aquí escoges al gusto quien va a ser el par

Está incorrectamente expresado por mi parte.  " \( d_1 \) "  debe ser el término par sí ó sí porque es el único factor común entre  \( b \)  y  \( d \) ;  los 2 únicos elementos pares de la terna  \( a,b,c,d \) .  Si te refieres a porqué escojo pares á  " \( b\,\wedge\,d \) "  de esa terna, es porque da igual que hubiera escogido á  " \( a\,\wedge\,c \) "  pares. La relación:  \( a\cdot b=c\cdot d \)  de la que estoy partiendo es completamente simétrica respecto de quienes son pares; salvo que lo sea uno de cada pareja.

Aquí supones que el mayor es \( c_1 \), que antes has supuesto que es impar. ¿Por qué no podría ser par el mayor?.

Escojo  \( c_1 \)  el factor más grande porque pertenece a  " \( c \) "  el término mayor. Igual podría haber escogido á  " \( c_2 \) " y sería todo igual. Pero es "menos lógico" puesto que el factor  \( c_2 \)  es compartido con  " \( b \) " ,  que es el elemento más pequeño de la terna  \( a,b,c,d \) .

Citar
Como:  \( a^2=b^2+c^2+d^2 \) ;  entonces:  \( c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2 \) .  Luego:

(1)  \( c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2 \) .  Como  \( d_2^2 \)  es coprimo con \( c_2^2 \) ,  entonces debe dividir á  " \( d_1^2+c_1^2 \) " .  Así:  \( c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2 \) ,  para un  “ \( k_1 \) “  entero ó racional.

(2)  \( d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2 \) .  Como  \( c_1^2 \)  es coprimo con \( d_1^2 \) ,  entonces debe dividir á  " \( c_2^2+d_2^2 \) " .  Así:  \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) ,  para un  “ \( k_2 \) “  entero ó racional.

No entiendo porque dejas abierta la posibilidad de que \( k_1 \) o \( k_2 \) sea racional. Precisamente por el argumetno de coprimalidad que exhibes, ese cociente debe de ser entero.

Ok.


Citar
Y observamos lo siguiente:

(1)  \( \dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) .  Si llamamos ahora:  \( r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2} \)   \( \wedge \)   \( s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2} \) .  Como:  \( d_1\,<\,d_2 \) ,  entonces:  \( r^2\,<\,0 \) .  Y como:  \( c_1\,>\,d_2 \) ,  entonces:  \( s^2\,>\,0 \)   \( \wedge \)   \( r^2+s^2=k_1 \) .

(2)  \( \dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) .  Si llamamos ahora:  \( t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2} \)   \( \wedge \)   \( \dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2} \) .  Como:  \( c_2\,<\,c_1 \) ,  entonces:  \( t^2\,<\,0 \) .  Y como dijimos antes que:  \( s_2\,>\,0 \) ,  entonces:  \( \dfrac{1}{s^2}\,<\,0 \)   \( \wedge \)   \( t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2 \) .

Ahí tienes varias erratas; donde quieres decir mayor y menor que uno pones mayor y menor que cero.

Ok, lo corrijo.


Un saludo,
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07 Octubre, 2018, 09:03 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Está incorrectamente expresado por mi parte.  " \( d_1 \) "  debe ser el término par sí ó sí porque es el único factor común entre  \( b \)  y  \( d \) ;  los 2 únicos elementos pares de la terna  \( a,b,c,d \) .  Si te refieres a porqué escojo pares á  " \( b\,\wedge\,d \) "  de esa terna, es porque da igual que hubiera escogido á  " \( a\,\wedge\,c \) "  pares. La relación:  \( a\cdot b=c\cdot d \)  de la que estoy partiendo es completamente simétrica respecto de quienes son pares; salvo que lo sea uno de cada pareja.

Pero estamos en las mismas y, ¿por qué han de ser \( b \) y \( d \) los pares y no \( a \) y \( c. \)?

Por resumir si decides que el orden es:

\( d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1 \)

La clave es que justifiques porque necesariamente:

\( k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2} \)

es par. Eso supone que el numerador sea par y el denominador impar. Eso supone que el par necesariamente sea \( d_1 \). ¿Por qué no puede ser \( c_1 \)?.

Saludos.

11 Octubre, 2018, 10:57 pm
Respuesta #7

Fernando Moreno

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Hola, esta es una posible solución:


Parto de  \( ab=cd \) ,  uno de cada pareja par. Luego las posibilidades son:

1)  \( a,c \)  pares   \( \Rightarrow{} \)   factor  " \( c_1 \) "  par.

2)  \( a,d \)  pares   \( \Rightarrow{} \)   factor  " \( d_2 \) "  par.

3)  \( b,c \)  pares   \( \Rightarrow{} \)   factor  " \( c_2 \) "  par.

4)  \( b,d \)  pares   \( \Rightarrow{} \)   factor  " \( d_1 \) "  par.

En el cuadro que pongo abajo, en cada caso me encuentro con 4 ecuaciones del tipo:  \( k_n=\dfrac{A^2\pm{}B^2}{C^2} \)  y se pueden dar estas 3 situaciones:

a)  Cuando  \( C \)  es par y  " \( A^2\pmb{+}B^2 \) " : Entonces  \( C \)  es par de magnitud 4; pero como entonces a su vez  \( A\,\wedge\,B \)  son impares cuadrados que se suman (\( 2p-1,2q-1\,\Rightarrow\,{4p^2-4p+4q^2-4q+2} \)); su paridad será de magnitud 2. Esto hace que la razón sea del tipo  \( \dfrac{impar}{par} \)  y por tanto  \( k_n \)  racional. Esto soluciona los casos 1) y 2) y responde a lo que me planteaba Luis Fuentes en el post anterior.

b)  El caso 4) :  Es el que está resuelto en la demostración primera. Como  " \( d_1 \) "  es el factor par, esto hace que  " \( k_2 \) "  sea par y como mínimo  " \( 2 \) " ;  cuando debe ser menor que 2.

c)  El caso 3) :  Este ha sido el más complicado y una posible solución es como sigue:

    c.1)  Tenemos ahora que:  \( k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,impar)}{(=\,impar)} \) .  Como:  \( k_2=t^2+\dfrac{1}{s^2} \)   -y-   " \( t^2 \) "  \( \wedge \)  " \( \dfrac{1}{s^2} \) "  dijimos que eran menores que 1. Para que  " \( k_2 \) "  sea entero debe ser 1.

    c.2)  Conocemos también por la primera demostración que:  \( d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2 \) .  Luego ahora:  \( d_2^2=d_1^2+c_2^2 \) .  Como por c.1) :  \( c_1^2=c_2^2+d_2^2 \) .  Si despejo  \( d_2^2 \)  y lo sustituyo en la primera ecuación tendré que:  \( c_1^2=d_1^2+2c_2^2 \) .  Pero como también tenía que:  \( c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2 \) .  Significa entonces que:  \( k_1=2 \) .

    c.3)  Por c.2) sabemos que  \( c_1^2=d_1^2+2c_2^2 \) .  Como conocemos que  \( k_2=1 \)   \( \wedge \)   \( c_1^2=c_2^2+d_2^2 \) .  Si sustituimos este  " \( c_1 \) " en la primera fórmula, tendremos que:  \( c_2^2+d_1^2=d_2^2 \) .  Luego:  \( d_1^2=d_2^2-c_2^2 \) .  Por lo que:  \( k_4=1 \) .

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  \( k_2+k_4=k_1 \) .  Hagámoslo:  \( \dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \)    \( \Rightarrow{} \)    \( \dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \)    \( \Rightarrow{} \)    \( d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2) \) .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  \( d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2) \) .  Analicemos esto último; el factor:  " \( d_1^2+c_1^2 \) "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " \( d_2^2 \) "  \( \wedge \)  " \( c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2) \) " .  " \( d_1^2+c_1^2 \) "  no divide á  " \( d_2^2 \) " ,  pues da exactamente:  \( \dfrac{1}{2} \) .  Y no divide tampoco á  " \( c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2) \) " ,  pues divide á  \( d_2^2(d_1^2+c_1^2) \)  y no divide ni á  \( d_1^2-c_1^2 \)  (con el que es coprimo), ni á  \( c_2^2 \) ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " \( k_2+k_4=k_1 \) "  para  \( k_1,k_2,k_4 \)  enteros.         



\( \begin{matrix}
\color{brown}\pmb{(\,k_n\,)}  & &  \color{blue}1)  &  &  \color{blue}2)  &  &  &  \color{blue}3)  &  \color{blue}4)\\
 &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
\hline
\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}  & &  &  &  \color{red}\dfrac{impar}{par}  &  &  &  \color{red}c.4) \\
\hline
  \color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}  & &  \color{red}\dfrac{impar}{par}  &  &  &  &  &  \color{red}c.4)  &  \color{red}Menor\,que\,2 \\
\hline
\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}  & &  &  &  &  &  &  &\\
\hline
 \color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2} & &  &  &  &  &  &  \color{red}c.4)  & \\
\hline
\end{matrix} \)




Un saludo,


PD. No sé cómo se hacen las líneas verticales. ¿Alguien sabe?
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16 Octubre, 2018, 07:49 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

 Este razonamiento está mal.

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  \( k_2+k_4=k_1 \) .  Hagámoslo:  \( \dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \)    \( \Rightarrow{} \)    \( \dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \)    \( \Rightarrow{} \)    \( d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2) \) .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  \( d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2) \) .  Analicemos esto último; el factor:  " \( d_1^2+c_1^2 \) "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " \( d_2^2 \) "  \( \wedge \)  " \( c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2) \) " .  " \( d_1^2+c_1^2 \) "  no divide á  " \( d_2^2 \) " ,  pues da exactamente:  \( \dfrac{1}{2} \) .  Y no divide tampoco á  " \( c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2) \) " ,  pues divide á  \( d_2^2(d_1^2+c_1^2) \)  y no divide ni á  \( d_1^2-c_1^2 \)  (con el que es coprimo), ni á  \( c_2^2 \) ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " \( k_2+k_4=k_1 \) "  para  \( k_1,k_2,k_4 \)  enteros.         

La frase en rojo indica que si bien \( d_1^2+c_1^2 \) no divide a \( d_2^2 \) , precisamente por ser el cociente \( 1/2 \) tienen muchos factores comunes. De manera que puedes simplificar la ecuación eliminado \( d_2^2 \) a la izquierda y sustituyendo  \( d_1^2+c_1^2 \) por \( 2 \) a la derecha:

\( (c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=2\,c_1^2d_1^2 \)

y ... adiós al resto del argumento.

Saludos.

16 Octubre, 2018, 08:32 pm
Respuesta #9

Fernando Moreno

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Hola, gracias por contestar.


Este razonamiento está mal.

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  \( k_2+k_4=k_1 \) .  Hagámoslo:  \( \dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \)    \( \Rightarrow{} \)    \( \dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2} \)    \( \Rightarrow{} \)    \( d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2) \) .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  \( d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2) \) .  Analicemos esto último; el factor:  " \( d_1^2+c_1^2 \) "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " \( d_2^2 \) "  \( \wedge \)  " \( c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2) \) " .  " \( d_1^2+c_1^2 \) "  no divide á  " \( d_2^2 \) " ,  pues da exactamente:  \( \dfrac{1}{2} \) .  Y no divide tampoco á  " \( c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2) \) " ,  pues divide á  \( d_2^2(d_1^2+c_1^2) \)  y no divide ni á  \( d_1^2-c_1^2 \)  (con el que es coprimo), ni á  \( c_2^2 \) ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " \( k_2+k_4=k_1 \) "  para  \( k_1,k_2,k_4 \)  enteros.         

La frase en rojo indica que si bien \( d_1^2+c_1^2 \) no divide a \( d_2^2 \) , precisamente por ser el cociente \( 1/2 \) tienen muchos factores comunes. De manera que puedes simplificar la ecuación eliminado \( d_2^2 \) a la izquierda y sustituyendo  \( d_1^2+c_1^2 \) por \( 2 \) a la derecha:

\( (c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=2\,c_1^2d_1^2 \)


Cierto.


y ... adiós al resto del argumento.

¡Por Dios, qué descortesía!  :(   Bueno ya buscaré darle otra "entrada" de nuevo
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