Autor Tema: Trigonometría y complejos

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21 Noviembre, 2018, 12:39 am
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Buenas, he leido por internet que existen formas de encontrar expresiones trigonométricas a partir de propiedades de números complejos. Me parece un tema muy interesante, ya que nadie se sabe los valores del \( cos\displaystyle(\frac{π}{8})=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}} \), y me parece que queda realmente "bonito" darlo en una expresión sin decimales, y se que se puede desarrollar con polares para acabar encontrando la expresión, tanto de este ángulo como de cualquier otro. Y, también se pueden encontrar expresiones con los números complejos tales como: \( cos 2x = -sin^2 x+cos^2 x \)     o      \(  cos(3x)=-3cosx sin^2 x+cos^3 x \)

Si alguien tiene idea de cual es el proceso a seguir más o menos y lo pudiese explicar por encima, lo agradecería bastante

Gracias!

21 Noviembre, 2018, 08:09 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas, he leido por internet que existen formas de encontrar expresiones trigonométricas a partir de propiedades de números complejos. Me parece un tema muy interesante, ya que nadie se sabe los valores del \( cos\displaystyle(\frac{π}{8})=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}} \), y me parece que queda realmente "bonito" darlo en una expresión sin decimales, y se que se puede desarrollar con polares para acabar encontrando la expresión, tanto de este ángulo como de cualquier otro. Y, también se pueden encontrar expresiones con los números complejos tales como: \( cos 2x = -sin^2 x+cos^2 x \)     o      \(  cos(3x)=-3cosx sin^2 x+cos^3 x \)

Si alguien tiene idea de cual es el proceso a seguir más o menos y lo pudiese explicar por encima, lo agradecería bastante

Se trata de aprovechar la representación de un complejo en forma polar y sus propiedades. Se tiene que dado \( z\in \mathbb{C} \):

\( z=|z|(cos(\alpha)+i\sin(\alpha))=e^{a+\alpha i} \) con \( a=ln|z| \).

También se escribe a veces \( z=|z|_\alpha. \)

Teniendo en cuenta las propiedades de la exponencial compleja se cumple que:

\( e^{a+\alpha i}e^{b+\beta i}=e^{(a+b)+(\beta+\alpha i)} \)

Entonces imagina que quieres calcular \( cos(3\alpha) \). Se tiene que:

\( (e^{\alpha i})^3=e^{3\alpha i} \)

Por una parte:

\( (e^{\alpha i})^3=(cos(\alpha)^3+i sin(\alpha)^3)=cos^3(\alpha)+3icos^2(\alpha)sin(\alpha)+3i^2cos(\alpha)sin^2(\alpha)+i^3sin^3(\alpha)=
cos^3(\alpha)-3cos(\alpha)sin^2(\alpha)+i(3cos^2(\alpha)sin(\alpha)-sin^3(\alpha)) \)

Por otra:

\( e^{3\alpha i}=cos(3\alpha)+isin(3\alpha) \)

Igualando parte real e imaginaria:

\( cos(3\alpha)=cos^3(\alpha)-3cos(\alpha)sin^2(\alpha) \)
\( sin(3\alpha)=3cos^2(\alpha)sin(\alpha)-sin^3(\alpha) \)

En cuanto a la otro... parecido. De manera análoga se prueba que:

\( cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2cos^2(\alpha)-1 \)

de donde haciendo \( \alpha=A/2 \),

\( cos(A/2)=\sqrt{\dfrac{1+cos(A)}{2}} \)

y

\( cos(\pi/8)=cos((\pi/4)/2)=\sqrt{\dfrac{1+cos(\pi/4)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}/2}{2}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} \)

Saludos.

21 Noviembre, 2018, 08:20 am
Respuesta #2

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Muy interesante! Muchas gracias