Autor Tema: Cálculo de raíces de una expresión

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19 Noviembre, 2018, 11:20 pm
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pgs

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Buenas me ha surgido esta duda, es muy simple, pero he buscado por internet y no he visto que nadie lo aclare explícitamente:

¿Es lo mismo calcular las raíces de una expresión que calcular las raíces cuadradas de la expresión?

Calcular las raices, se que es igualar a 0 y calcular los valores que verifican la expresión, esque me ha dejado un poco descolocado que me pidieran las raices de \( i \) o de \( -π \), entiendo que tal vez sean meros ejemplos triviales, pero me ha hecho plantearme si existe alguna diferencia entre estas expresiones, aunque todo apunta a que sean iguales

Muchas gracias!


19 Noviembre, 2018, 11:36 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Mi idea (puede que esté mal y necesite revisión).

¿Es lo mismo calcular las raíces de una expresión que calcular las raíces cuadradas de la expresión?

Depende en qué conjunto trabajes (real o complejo).

Imaginemos que tenemos una función real \[f:D\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n),\] es decir podemos escribir la función como producto de sus raíces con coeficiente principal \( 1 \). ¿Será equivalente a \( \bigl((x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\bigr)^2 \)?

Pues sí. Por ejemplo, tomemos \( f(x)=(x-1)(x-2) \). Las raíces (o ceros) de ella ocurrirán cuando \[f(x)=0\iff(x-1)(x-2)=0\iff x=1\vee x=2.\] Si elevamos al cuadrado las raíces obtenemos \[(x-1)^2=0^2\vee(x-2)^2=0^2\iff x-1=0\vee x-2=0,\] por tanto las raíces cuadradas son las mismas que las raíces de grado \( 1 \).



Ahora bien, la cosa cambia cuando decimos que \( f \) parte de complejos y genera otro complejo.

Volvamos a \( f(x)=(x-1)(x-2) \). Esta función es de grado \( 2 \), por lo que la cantidad total de raíces es \( 2 \). Si la elevamos al cuadrado, o sea \( g(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2=\bigl((x-1)(x-2)\bigr)^2 \) ahora la función pasará a ser de grado \( 4 \), por lo que tendrá \( 4 \) raíces, de las cuales \( 2 \) son las reales de toda la vida, y otras \( 2 \) complejas.

Esto se puede generalizar a potencias de cualquier orden.

Espero que haya respondido (correctamente) a tu consulta.

Saludos

Mods: acento agregado al título.

20 Noviembre, 2018, 12:14 am
Respuesta #2

pgs

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Si, creo que lo he entendido, es decir, ¿hay que encontrar las soluciones de la expresión y luego, elevar cada solución al cuadrado, tanto en los reales como en los complejos no? Dependiendo del exponente tendremos más o menos soluciones

20 Noviembre, 2018, 12:22 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Si, creo que lo he entendido, es decir, ¿hay que encontrar las soluciones de la expresión y luego, elevar cada solución al cuadrado, tanto en los reales como en los complejos no? Dependiendo del exponente tendremos más o menos soluciones

No entiendo a qué apunta el ejercicio que te proponen.

¿Te piden verificar que las raíces son las mismas que si las elevás al cuadrado (si son funciones de variable real) o qué cosa?

Saludos

20 Noviembre, 2018, 01:00 am
Respuesta #4

pgs

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Me piden encontrar las raíces cuadradas de ciertas expresiones, en este caso de números complejos, y lo que yo no se, es si encontrar las raíces cuadradas de una expresión es lo mismo que "factorizar", es decir encontrar las soluciones, es solo una duda de terminología, ya que no he encontrado esta informacion en internet.

Gracias!

20 Noviembre, 2018, 07:40 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Vaya por delante que no he entendido la respuesta de manooooh.  ???

Me piden encontrar las raíces cuadradas de ciertas expresiones, en este caso de números complejos, y lo que yo no se, es si encontrar las raíces cuadradas de una expresión es lo mismo que "factorizar", es decir encontrar las soluciones, es solo una duda de terminología, ya que no he encontrado esta informacion en internet.

Hallar las raíces cuadradas de una expresión, es calcular \( \pm \sqrt{expresion}. \) No hay duda. O equivalentemente resolver \( x^2=expresion \).

Hallar laa raíces cuadradas del complejo \( 1+i \) es hallar \( \pm \sqrt{1+i} \) o equivalentemente resolver \( z^2=1+i \).

La forma típica de hacerlo pasando a polares esta explicada aquí:

https://www.vitutor.com/di/c/a_10.html

Por otra parte hallar las raíces de una expresión, así sin más contexto, puede tener un significado más abierto. Si la expresión es una ecuación, entonces claramente se refiere a resolver la ecuación; si es una función con alguna variable igualmente se puede suponer que se refiere a igualar a cero y a resolver, es decir, a las raíces de la función; si la expresión es un número, podría referirse a la raíz enésima \( \sqrt[n]{a} \), pero habría que especificar que \( n \) se toma.

Saludos.

20 Noviembre, 2018, 08:34 am
Respuesta #6

pgs

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21 Noviembre, 2018, 12:50 am
Respuesta #7

manooooh

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Hola

Vaya por delante que no he entendido la respuesta de manooooh.  ???

Me piden encontrar las raíces cuadradas de ciertas expresiones, en este caso de números complejos, y lo que yo no se, es si encontrar las raíces cuadradas de una expresión es lo mismo que "factorizar", es decir encontrar las soluciones, es solo una duda de terminología, ya que no he encontrado esta informacion en internet.

Hallar las raíces cuadradas de una expresión, es calcular \( \pm \sqrt{expresion}. \) No hay duda. O equivalentemente resolver \( x^2=expresion \).

Hallar laa raíces cuadradas del complejo \( 1+i \) es hallar \( \pm \sqrt{1+i} \) o equivalentemente resolver \( z^2=1+i \).

La forma típica de hacerlo pasando a polares esta explicada aquí:

https://www.vitutor.com/di/c/a_10.html

Por otra parte hallar las raíces de una expresión, así sin más contexto, puede tener un significado más abierto. Si la expresión es una ecuación, entonces claramente se refiere a resolver la ecuación; si es una función con alguna variable igualmente se puede suponer que se refiere a igualar a cero y a resolver, es decir, a las raíces de la función; si la expresión es un número, podría referirse a la raíz enésima \( \sqrt[n]{a} \), pero habría que especificar que \( n \) se toma.

Gracias por la explicación. Sí, me parece que se me ha ido la olla.

Quería referirme a que pgs, al decir

¿Es lo mismo calcular las raíces de una expresión que calcular las raíces cuadradas de la expresión?

debía probar que si \( r_1,r_2,\ldots,r_n \) son raíces de un polinomio* luego \( r_1^2,r_2^2,\ldots,r_n^2 \) también lo son. En símbolos, se debería probar que

\( (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0\implies(x-r_1)^2(x-r_2)^2\cdots(x-r_n)^2=0, \)

pero no tiene nada que ver.

* Claro, ahora me doy cuenta que mi razonamiento NO es general porque sólo hablo de los polinomios y no de "expresiones" como pgs dice. Mi argumento falla al querer hallar de algún modo las raíces de por ejemplo \( \ln x \); no es equivalente a \( (x-1)=0 \) porque \( \ln x\neq(x-1) \).

Saludos