Autor Tema: Un sistema de ecuaciones diferenciales que parece fácil... pero no lo es

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18 Noviembre, 2018, 09:32 am
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manooooh

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Hola!

La cuestión es esta.

Estaba realizando ejercicios de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (¡un tipo de ecuaciones extremadamente reducido!) cuando topé con este. Observemos el ejercicio:

Hallar la familia de líneas de campo de \[\vec f(x,y,z)=(y,z,x).\] El enunciado es relativamente claro: se pide resolver el siguiente sistema: \[\begin{cases}x'=y\\y'=z\\z'=x.\end{cases}\]
La verdad es que uno piensa que la solución de este sistema se puede expresar como funciones elementales; y esto es cierto. Lo que no es cierto es que este sistema tenga una solución sencilla y corta de términos; tiene tantos que uno podría perderse entre las variables y funciones.

A mi me resulta asombroso. La dificultad no sobrepasa las cuentas que hay que hacer, pero me parece algo tan impresionante que de tres ecuaciones tenga una solución rara. ¿A ustedes también?

¿Existen otros casos parecidos, como por ejemplo la integral "inocente" \( \int{\sqrt{\tan x}\,\mathrm dx} \) o el UTF pero menos conocidos, como este sistema?



Tengo entendido que esto sucede porque las componentes no están "alineadas"; si el campo hubiese sido \( \vec f(x,y,z)=(x,y,z) \) el problema hubiese sido mucho más fácil (¡mucho!). ¿Tiene alguna otra explicación? ¿Siempre lo que está "entrelazado" es lo que cuesta más "desenredar"?



Moraleja. No confíes en las primeras impresiones...

:laugh:

Saludos

18 Noviembre, 2018, 05:41 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Si llamas \( v:=(x,y,z) \) entonces el sistema se puede escribir como \( v'=Av \) donde

\( \displaystyle A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} \)

Entonces las soluciones vienen dadas por \( u=e^{tA}v(0) \). Como \( A^3=I \) entonces se puede saber la forma de los coeficientes de la matriz \( e^{tA} \): \( [e^{tA}]_{i,j}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k+c}}{(3k+c)!} \) para algún \( c\in\{0,1,2\} \), que depende de \( (i,j) \), es decir, de la posición del coeficiente en la matriz.

18 Noviembre, 2018, 06:10 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola Masacroso

Interesante forma de verlo.

¿Por qué las soluciones tienen un \( v(0) \)?

Si uno escribe \( e^{tA}v(0) \) a mi parecer no hay una sumatoria que de lugar al resto de términos de la solución. ¿Esa expresión tiene incorporada la idea de sumar varios términos?

Saludos y gracias

18 Noviembre, 2018, 06:52 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Hola Masacroso

Interesante forma de verlo.

¿Por qué las soluciones tienen un \( v(0) \)?

Si uno escribe \( e^{tA}v(0) \) a mi parecer no hay una sumatoria que de lugar al resto de términos de la solución. ¿Esa expresión tiene incorporada la idea de sumar varios términos?

Saludos y gracias

Bueno, olvida el \( v(0) \), representa en verdad el vector \( (x(0),y(0),z(0)) \), que es el valor que se suele dar para resolver problemas de valor inicial. La solución general es de la forma \( u(t)=e^{tA}w \) para algún vector \( w\in\Bbb R^3 \).

La forma de \( e^{tA} \) (cortesía de Wolfram Mathematica) es

\(  e^{t A}=\left(
\begin{array}{ccc}
 \frac{1}{3} \left(2 e^{-t/2}
   \cos \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^t\right) &
   \frac{1}{3} e^{-t/2}
   \left(-\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^{3
   t/2}+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{e^t}{3}-\frac{1}{3}
   e^{-t/2} \left(\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) \\
 \frac{e^t}{3}-\frac{1}{3}
   e^{-t/2} \left(\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{1}{3} \left(2
   e^{-t/2} \cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^t\right) &
   \frac{1}{3} e^{-t/2}
   \left(-\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^{3
   t/2}+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) \\
 \frac{1}{3} e^{-t/2}
   \left(-\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^{3
   t/2}+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{e^t}{3}-\frac{1}{3}
   e^{-t/2} \left(\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{1}{3} \left(2
   e^{-t/2} \cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^t\right) \\
\end{array}
\right) \)

Los coeficientes matriciales también pueden expresarse con las series que he dejado antes. Es decir

\( \displaystyle {\frac{1}{3} \left(e^t+2 e^{-t/2}\cos\left(\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k}}{(3k)!}\\
\frac{1}{3} e^{-t/2} \left(e^{3 t/2}+\sqrt{3} \sin\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)-\cos\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k+1}}{(3k+1)!}\\
\frac{e^t}{3}-\frac{1}{3} e^{-t/2} \left(\sqrt{3} \sin\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+\cos\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k+2}}{(3k+2)!}
} \)

quedando

\( \displaystyle e^{tA}=\left(
\begin{array}{ccc}
 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k}}{(3 k)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+1}}{(3 k+1)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+2}}{(3 k+2)!} \\
 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+2}}{(3 k+2)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k}}{(3 k)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+1}}{(3 k+1)!} \\
 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+1}}{(3 k+1)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+2}}{(3 k+2)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k}}{(3 k)!} \\
\end{array}
\right) \)

18 Noviembre, 2018, 07:29 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Bueno, olvida el \( v(0) \), representa en verdad el vector \( (x(0),y(0),z(0)) \), que es el valor que se suele dar para resolver problemas de valor inicial. La solución general es de la forma \( u(t)=e^{tA}w \) para algún vector \( w\in\Bbb R^3 \).

La forma de \( e^{tA} \) (cortesía de Wolfram Mathematica) es

\( \displaystyle e^{t A}=\left(
\begin{array}{ccc}
 \frac{1}{3} \left(2 e^{-t/2}
   \cos \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^t\right) &
   \frac{1}{3} e^{-t/2}
   \left(-\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^{3
   t/2}+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{e^t}{3}-\frac{1}{3}
   e^{-t/2} \left(\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) \\
 \frac{e^t}{3}-\frac{1}{3}
   e^{-t/2} \left(\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{1}{3} \left(2
   e^{-t/2} \cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^t\right) &
   \frac{1}{3} e^{-t/2}
   \left(-\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^{3
   t/2}+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) \\
 \frac{1}{3} e^{-t/2}
   \left(-\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^{3
   t/2}+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{e^t}{3}-\frac{1}{3}
   e^{-t/2} \left(\cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+\sqrt{3} \sin
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)\right) &
   \frac{1}{3} \left(2
   e^{-t/2} \cos
   \left(\frac{\sqrt{3}
   t}{2}\right)+e^t\right) \\
\end{array}
\right) \)

Los coeficientes matriciales también pueden expresarse con las series que he dejado antes. Es decir

\( \displaystyle {\frac{1}{3} \left(e^t+2 e^{-t/2}\cos\left(\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k}}{(3k)!}\\
\frac{1}{3} e^{-t/2} \left(e^{3 t/2}+\sqrt{3} \sin\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)-\cos\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k+1}}{(3k+1)!}\\
\frac{e^t}{3}-\frac{1}{3} e^{-t/2} \left(\sqrt{3} \sin\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+\cos\left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k+2}}{(3k+2)!}
} \)

Vale, creo que voy entendiendo.

¿Cómo se dedujo que, por ejemplo, \( \frac{1}{3} \left(e^t+2 e^{-t/2}\cos\left(\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k}}{(3k)!} \)?

Saludos

18 Noviembre, 2018, 07:43 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Vale, creo que voy entendiendo.

¿Cómo se dedujo que, por ejemplo, \( \frac{1}{3} \left(e^t+2 e^{-t/2}\cos\left(\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^{3k}}{(3k)!} \)?

Saludos

Lo dedujo Wolfram Mathematica. Sabía que esa expresión era equivalente a una de las series antes descrita pero no sabía cual así que usé el programa para hacer una serie de Maclaurin truncada para saber cuál de las tres era.

18 Noviembre, 2018, 08:39 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola

Lo dedujo Wolfram Mathematica. Sabía que esa expresión era equivalente a una de las series antes descrita pero no sabía cual así que usé el programa para hacer una serie de Maclaurin truncada para saber cuál de las tres era.

\( \displaystyle e^{tA}=\left(
\begin{array}{ccc}
 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k}}{(3 k)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+1}}{(3 k+1)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+2}}{(3 k+2)!} \\
 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+2}}{(3 k+2)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k}}{(3 k)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+1}}{(3 k+1)!} \\
 \sum _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+1}}{(3 k+1)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k+2}}{(3 k+2)!} & \sum
   _{k=0}^{\infty } \frac{t^{3 k}}{(3 k)!} \\
\end{array}
\right) \)

Ahh, a esto me refería. ¡Gracias!



¿Conocen otros ejemplos que a primera vista parezcan simples de resolver pero luego no?

Saludos

19 Noviembre, 2018, 11:05 am
Respuesta #7

geómetracat

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Me parece que os estáis complicando la vida.
La observación clave es que ese sistema es equivalente a la ecuación diferencial homogénea \( x'''=x \). Una vez uno se da cuenta de ésto el problema se vuelve muy fácil, pues la ecuación tiene polinomio característico \( \lambda^3 - 1 =0 \), por tanto sus raíces son las raíces cúbicas de la unidad y ya puedes escribir la solución para \( x \) como combinación lineal de exponenciales. Para sacar \( y \) y \( z \) derivas y listo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Noviembre, 2018, 03:55 pm
Respuesta #8

Masacroso

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Me parece que os estáis complicando la vida.
La observación clave es que ese sistema es equivalente a la ecuación diferencial homogénea \( x'''=x \). Una vez uno se da cuenta de ésto el problema se vuelve muy fácil, pues la ecuación tiene polinomio característico \( \lambda^3 - 1 =0 \), por tanto sus raíces son las raíces cúbicas de la unidad y ya puedes escribir la solución para \( x \) como combinación lineal de exponenciales. Para sacar \( y \) y \( z \) derivas y listo.

Ajá... Lo cierto es que tengo un conocimiento muy limitado de ecuaciones diferenciales, fundamentalmente teórico además, así que tiendo a escribir esas cosas que son al final poco prácticas y bastante aparatosas.

En algún momento dedicaré mi tiempo a ampliar mi conocimiento en esa área... aunque realmente las ecuaciones diferenciales me parecen bastante aburridas y tediosas pero lo cierto es que aparecen en todas partes así que hay que conocer mejor el tema.

19 Noviembre, 2018, 06:43 pm
Respuesta #9

geómetracat

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Ajá... Lo cierto es que tengo un conocimiento muy limitado de ecuaciones diferenciales, fundamentalmente teórico además, así que tiendo a escribir esas cosas que son al final poco prácticas y bastante aparatosas.

En algún momento dedicaré mi tiempo a ampliar mi conocimiento en esa área... aunque realmente las ecuaciones diferenciales me parecen bastante aburridas y tediosas pero lo cierto es que aparecen en todas partes así que hay que conocer mejor el tema.

Te entiendo, a mí resolver ecuaciones diferenciales siempre me pareció aburridote. Pasa como con las integrales: solamente hay métodos generales de resolución para unos tipos muy concretos de EDOs, y si la que tienes no se ajusta a esos tipos tienes que buscarte la vida como sea (lo más probable es que ni siquera tengan solución expresable en términos de funciones elementales).
De todas formas, lo que es la teoría que hay detrás es muy bonita, y vale la pena estudiarla (problemas de existencia y unicidad, teoría cualitativa, sistemas dinámicos, etc).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Noviembre, 2018, 11:23 pm
Respuesta #10

manooooh

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Hola

Me gustó el enfoque de Masacroso por la novedad que para mí representa(ba) ;).

geómetracat, es claro que todo se reduce a resolver \( x'''-x'=0 \) e ir "subiendo" en cada ecuación inconclusa que dejemos, pero lo sorprendente (al menos para mí) es la complejidad de las cuentas; del resto no tengamos ninguna duda de que es mecánico.

Te entiendo, a mí resolver ecuaciones diferenciales siempre me pareció aburridote. Pasa como con las integrales: solamente hay métodos generales de resolución para unos tipos muy concretos de EDOs, y si la que tienes no se ajusta a esos tipos tienes que buscarte la vida como sea (lo más probable es que ni siquera tengan solución expresable en términos de funciones elementales).

Yo considero que resolver tan pocas EDOs o integrales no es aburrido sino frustrante, por la baja calidad de conocimientos que los estudiantes de grado aprendemos. Me encantaría tomar un curso dedicado a EDOs o integrales, pero lamentablemente aquí en Argentina o no hay, o dejaron de existir hace años (tampoco ir a competir internacionalmente, porque allí se valora la rapidez y no la capacidad de la persona en resolver un problema).

Gracias por sus aportes y opiniones :).

Saludos

20 Noviembre, 2018, 01:07 pm
Respuesta #11

Abdulai

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....
¿Existen otros casos parecidos, como por ejemplo la integral "inocente" \( \int{\sqrt{\tan x}\,\mathrm dx} \) o el UTF pero menos conocidos, como este sistema?
...

Algo que en su momento me dejó ojiplático fue la región de convergencia de la sucesión  \( z_{n+1}=z_n^2+c \)  en el plano complejo.

Lo que menos imaginaba es que algo tan sencillo pudiera ser asi.