Autor Tema: Menor constante

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16 Noviembre, 2018, 12:06 am
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thadeu

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Sean \( a,b,c \) los lados de una triángulo
 Encuentre la menor constante \( k>0 \) tal que se cumpla
\( \displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}<k \)

16 Noviembre, 2018, 08:27 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sean \( a,b,c \) los lados de una triángulo
 Encuentre la menor constante \( k>0 \) tal que se cumpla
\( \displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}<k \)


Recuerda que en un triángulo la suma de dos lados siempre es mayor que el tercero. Si supones \( a\geq b\geq c \) tienes:

\( \displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}< 1+\displaystyle\frac{b}{c+b}+\displaystyle\frac{c}{c+b}=1+\dfrac{b+c}{b+c}=2 \)

Y por otro lado puedes tomar un triángulo en el que \( a \) sea tan próximo a \( b \) como quieras y \( c \) a cero. Por ejemplo el rectángulo de catetos \( b=1 \) y \( c=x \).

Por tanto \( k=2 \).

Saludos.

16 Noviembre, 2018, 09:30 pm
Respuesta #2

thadeu

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Hola luis.

después de hacer la acotación, como garantizo de que  \( 2 \) es la menor cota?
Para este problema en particular  he visto en un libro que para garantizar de que \(  2 \) es la menor cota superior
toma \( a=1 \) y \(  b=n=c \)
luego \( \displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}=\displaystyle\frac{1}{2n}+\displaystyle\frac{2n}{n+1} \)
luego \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\frac{1}{2n}+\frac{2n}{n+1}}=2 \)
por lo tanto el menor valor de k es  \( 2 \)
las dudas que me surgen son:
Por que tomo \( a=1 \) y \( b=n=c \) ?
Pudieron a ver sido otro valores?
El hecho de que \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\frac{1}{2n}+\frac{2n}{n+1}}=2 \) por que me garantiza de que es el menor valor que puede tomar k?

16 Noviembre, 2018, 09:38 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola luis.

después de hacer la acotación, como garantizo de que  \( 2 \) es la menor cota?

Pues o bien con esta familia de triángulos:

Citar
Para este problema en particular  he visto en un libro que para garantizar de que \(  2 \) es la menor cota superior
toma \( a=1 \) y \(  b=n=c \)
luego \( \displaystyle\frac{a}{b+c}+\displaystyle\frac{b}{c+a}+\displaystyle\frac{c}{a+b}=\displaystyle\frac{1}{2n}+\displaystyle\frac{2n}{n+1} \)
luego \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\frac{1}{2n}+\frac{2n}{n+1}}=2 \)
por lo tanto el menor valor de k es  \( 2 \)

o bien con la que yo te propuse:


Y por otro lado puedes tomar un triángulo en el que \( a \) sea tan próximo a \( b \) como quieras y \( c \) a cero. Por ejemplo el rectángulo de catetos \( b=1 \) y \( c=x \).

En ambos casos tenemos una forma de construir triángulos donde la suma de las tres fracciones se acerca a \( 2 \) tanto queramos; dicho de otra forma si la cota \( k \) fuese \( k<2 \) probamos que existe un triángulo donde las tres fracciones suman \( S \), con \( k<S<2 \); luego la cota no puede ser menor que \( 2 \).

Saludos.