Autor Tema: Ecuación Irracional

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14 Noviembre, 2018, 07:10 pm
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0_kool

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Resolver la ecuación irracional en R
\( \displaystyle\frac{1}{2x}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \)
¿Llego a una cúbica,  ven algún atajo?

Edit :Error de tipeo
La ecuación es
 Resolver la ecuación irracional en R
\( 2x=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \)

CORREGIDO


14 Noviembre, 2018, 07:36 pm
Respuesta #1

hméndez

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Resolver la ecuación irracional en R
\( \displaystyle\frac{1}{2x}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \)
¿Llego a una cúbica,  ven algún atajo?

\( \displaystyle\frac{1}{2x}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \)

Si exíste solución en \( \mathbb{R} \), salta a la vista que debe ser mayor que 0.

Haciendo \( y=\displaystyle\frac{1}{2x} \)

\( y=\sqrt[ ]{y+3} \)

\( y^2=y+3 \)

\( y^2-y+1/4-3-1/4=0 \)

\( (y-1/2)^2-13/4=0 \)

\( y=\pm{\sqrt[ ]{13}}/2+1/2 \)

\( y=(\sqrt[ ]{13}+1)/2 \)    (nos quedamos sólo con la positiva)

Deshaciendo y

\( \displaystyle\frac{1}{2x}=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{13}}{2} \)

\( x=\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt[ ]{13}} \)

Las expresiones son "reversibles" para el valor encontrado, así que esta es y es la única raiz.

Saludos

14 Noviembre, 2018, 07:40 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola hméndez, como siempre excelente aporte

¿Decís que el cambio es "reversible" porque hiciste un cambio de variables que es inyectivo?

Saludos y gracias

15 Noviembre, 2018, 04:04 am
Respuesta #3

hméndez

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Hola hméndez, como siempre excelente aporte

¿Decís que el cambio es "reversible" porque hiciste un cambio de variables que es inyectivo?

Saludos y gracias

Hola manooooh, bueno cuando escribí la solución tenia prisa, y con lo de  "reversible" quería dar a entender
que cada paso (linea) de la deducción es una implicación de la anterior, vaya uno de arriba hacia abajo como de abajo
hacia arriba. Siendo más preciso, no es cierto que los pasos que escribí sean "reversibles", pues por ejemplo la
condición \( y>0 \) no aparece en ninguna de ellos, aunque la tube presente en cada momento; pero como decía un viejo profesor,
"no es suficiente con pensarlo, hay que escribirlo;D.

Saludos

15 Noviembre, 2018, 04:57 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Hola manooooh, bueno cuando escribí la solución tenia prisa, y con lo de  "reversible" quería dar a entender
que cada paso (linea) de la deducción es una implicación de la anterior, vaya uno de arriba hacia abajo como de abajo
hacia arriba. Siendo más preciso, no es cierto que los pasos que escribí sean "reversibles", pues por ejemplo la
condición \( y>0 \) no aparece en ninguna de ellos, aunque la tube presente en cada momento; pero como decía un viejo profesor,
"no es suficiente con pensarlo, hay que escribirlo;D.

Jajaja, me parece aun más inteligente darse cuenta y mencionar un error que alguien tuvo al escribir algo.

Entiendo lo que decís, no así la frase citada ni por qué "salta a la vista que la solución, de existir, debe ser \( >0 \)".

Para esto último, cuando estaba pensando el problema sin publicar una respuesta (hasta que apareció la tuya) yo traté de deducir el dominio de la función \[f:D\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=\frac1{2x}-\sqrt{\frac1{2x}+3}.\] Para mi mala suerte, \[D=\left\lbrace x\in\Bbb R\mid 2x\neq0\;\wedge\;\frac1{2x}+3\geq0\right\rbrace=\left\lbrace x\in\Bbb R\mid x\neq0\;\wedge\;x\geq-\frac16\right\rbrace=\left[-\frac16,0\right)\cup(0,\infty)\] me encuentro con que por ejemplo, si supuestamente \( x=-1/10\in D \) entonces \( x\neq0 \) (claramente) pero \( \frac1{2(-1/10)}=-5<-3 \), en contraposición de que debería ser \( \geq-3 \).

Así que por eso no entiendo cómo te das cuenta de que "debe ser \( >0 \)".

Gracias,
Saludos

15 Noviembre, 2018, 05:45 am
Respuesta #5

delmar

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Hola manooooh

Cuando \( x<0\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{2x}<0} \) en consecuencia esta expresión, no es igual a \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \), por que esta segunda expresión es  raíz positiva. Un número negativo es diferente a un número positivo.

Saludos

15 Noviembre, 2018, 06:10 am
Respuesta #6

manooooh

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Hola delmar

Cuando \( x<0\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{2x}<0} \) (...)

Entiendo.

(...) no es igual a \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \), por que esta segunda expresión es  raíz positiva. (...)

No entiendo.

(...) Un número negativo es diferente a un número positivo.

Entiendo.

No entiendo por qué hemos de suponer \( x<0 \); ¿por qué no dejar \( x\neq0 \)?

Y aunque sea verdad que necesariamente \( 1/2x<0 \), ¿qué tiene que ver que \( 1/2x+3 \) sea negativo si para algunos valores positivos de \( x \) (e incluso negativos) la raíz sigue siendo positiva? ???.

Saludos

15 Noviembre, 2018, 08:30 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Hola delmar

Cuando \( x<0\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{2x}<0} \) (...)

Entiendo.

(...) no es igual a \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \), por que esta segunda expresión es  raíz positiva. (...)

No entiendo.

(...) Un número negativo es diferente a un número positivo.

Entiendo.

No entiendo por qué hemos de suponer \( x<0 \); ¿por qué no dejar \( x\neq0 \)?

Y aunque sea verdad que necesariamente \( 1/2x<0 \), ¿qué tiene que ver que \( 1/2x+3 \) sea negativo si para algunos valores positivos de \( x \) (e incluso negativos) la raíz sigue siendo positiva? ???.

Saludos

Lo que dice delmar es que si queremos resolver la ecuación:

\( \dfrac{1}{2x}=\sqrt{\dfrac{1}{2x}+3} \)

El término \( \sqrt{\dfrac{1}{2x}+3}  \) siempre es positivo, por lo que es imposible que se de la igualdad si \( \dfrac{1}{2x} \) (el término de la izquierda) no es positivo.

Entonces para resolver la ecuación podemos ceñirnos al caso \( \dfrac{1}{2x}>0 \).

saludos.

15 Noviembre, 2018, 10:38 am
Respuesta #8

0_kool

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Hola, estaba siguiendo el análisis de uds. Compañeros,  muy interesante, pero me di cuenta de un error de tipeo, esta corregido arriba

15 Noviembre, 2018, 10:53 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Edit :Error de tipeo
La ecuación es
 Resolver la ecuación irracional en R
\( 2x=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2x}+3} \)

CORREGIDO


Si, en ese caso se llega a una cúbica y veo que haya atajo alguno.

Como sabes hay fórmulas explícitas para resolver una ecuación polinómica de tercer grado, aunque son prolijas.

Saludos.