Autor Tema: Velocidades y tiempos de llegada a destino

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11 Noviembre, 2018, 01:47 pm
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Jonan

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Buenas,

Me plantean el siguiente problema:

***

Un vehículo recorre un trayecto de 10 Km para desplazarse entre dos puntos, de
manera que la distancia en kilómetros s(t) que ha recorrido a los t segundos está dada
por:

\( s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14 \)

***

Y me preguntan sobre la velocidad del vehículo al salir del origen, su velocidad a los 15 segundos, la de llegada al destino y cuanto tarda en llegar.

Para afrontar el pregunta relativa a la velocidad en el origen, osea en t=0 me había planteado calcular:

\( \lim_{t\rightarrow 0} \frac{s(t)-s(0)}{t-0}
 \)

Osea:

\( \lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14) - 0}{t-0}=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14)}{t}
 \)

Ahora bien, si sustituto t=0 me da 14/0, lo cual no me vale como resultado. Por otra parte, si divido el numerador entre el denominador me da \( 6t^{2}+\frac{2}{5}t+8 \)
 y de resto 14. Sustituyendo en "\( 6t^{2}+\frac{2}{5}t+8+14 \)" t=0 obtengo 22 metros/segundo. Ahora bien,no se si esta solución de 22 metros/segundo es la correcta, porque me suelo hacer bastante lio con estos desarrollos.

Calcular la distancia a los 15 segundos entiendo que sería tan solo sustituir t=15 en la formula (\( s(t)=6*15^{3}+\frac{2}{5}*15^{2}+8*15+14 \)) y para sacar cuando tarda en recorrer 10 kilómetros(10000 metros):

\( s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14\Longleftrightarrow{10000=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14} \)

Así que mas que nada, mi pregunta es si mi desarrollo tiene algún fallo que no este viendo.

Un saludo y gracias por adelantado



11 Noviembre, 2018, 02:20 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola Jonan:
Buenas,

Me plantean el siguiente problema:

***

Un vehículo recorre un trayecto de 10 Km para desplazarse entre dos puntos, de
manera que la distancia en kilómetros s(t) que ha recorrido a los t segundos está dada
por:

\( s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14 \)

***

Y me preguntan sobre la velocidad del vehículo al salir del origen, su velocidad a los 15 segundos, la de llegada al destino y cuanto tarda en llegar.

Para afrontar el pregunta relativa a la velocidad en el origen, osea en t=0 me había planteado calcular:

\( \lim_{t\rightarrow 0} \frac{s(t)-s(0)}{t-0}
 \)

Osea:

\( \lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14) \color{red}- 0\color{black}}{t-0}=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14)}{t}
 \)

Ahora bien, si sustituto t=0 me da 14/0, lo cual no me vale como resultado. Por otra parte, si divido el numerador entre el denominador me da \( 6t^{2}+\frac{2}{5}t+8 \)
 y de resto 14. Sustituyendo en "\( 6t^{2}+\frac{2}{5}t+8+14 \)" t=0 obtengo 22 metros/segundo. Ahora bien,no se si esta solución de 22 metros/segundo es la correcta, porque me suelo hacer bastante lio con estos desarrollos.

Calcular la distancia a los 15 segundos entiendo que sería tan solo sustituir t=15 en la formula (\( s(t)=6*15^{3}+\frac{2}{5}*15^{2}+8*15+14 \)) y para sacar cuando tarda en recorrer 10 kilómetros(10000 metros):

\( s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14\Longleftrightarrow{10000=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14} \)

Así que mas que nada, mi pregunta es si mi desarrollo tiene algún fallo que no este viendo.

Un saludo y gracias por adelantado




Posiblemente hayas dado ya derivadas (lo digo porque has puesto la definición de derivada en cero). ¿Es así?

¿Por que no derivas por las reglas de derivación \( s(t) \)?, es decir \( v(t)=s'(t)=\frac{ds(t)}{dt} \)



Por otro lado lo que te puse en rojo esta mal.

1º.- \( s(0)=14 \) y no cero.

2º.- La expresión de la división no es correcta , sería \( \dfrac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14)}{t} =6t^{2}+\dfrac{2}{5}t+8+\dfrac{14}{t} \)

3º.- Realmente el limite que tienes que hallar es otro, sería:


\( \lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{s(t)-s(0)}{t-0}=\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{(6t^3+\frac{2}{5}t^2+8t+14)-14}{t}=\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{6t^3+\frac{2}{5}t^2+8t}{t}=\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{\cancel{t}(6t^2+\frac{2}{5}t+8)}{\cancel{t}}
=8 \)

4.- Realmente no te piden la distancia a los 15 segundos, sino la velocidad. (si te pidieran la distancia estarias en lo cierto)

Lo mejor es que utilices las reglas de derivación si puedes:

y calcules  \( s'(t) \) y sustituyas \( s'(0) , s'(15) \) y \(  s(t_f) \)


con \( t_f \) tal que \( s(t_f)=10 \)

Saludos.

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.