Autor Tema: Demostracion Relacion de orden

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11 Noviembre, 2018, 05:47 am
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janumet

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hola,

tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con \( b\in{}Z+ \), mostrar que \( a-b<a+b \) para todo \( a\in{}Z \)

Z representa el conjunto de los números enteros.

gracias

11 Noviembre, 2018, 07:38 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

No sé si hay algo mal en el enunciado o no podés aplicar todavía esto, pero claramente las \( a \) se pueden (y deben) cancelar, quedando

\( -b<b\implies0<2b\implies b>0; \)

algo trivialmente cierto por la condición de \( b\in\Bbb Z^+ \).

Por favor revisá el enunciado y comentanos.

Saludos

P.D. Los títulos van con acentos.

11 Noviembre, 2018, 11:04 am
Respuesta #2

robinlambada

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Hola:
hola,

tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con \( b\in{}Z+ \), mostrar que \( a-b<a+b \) para todo \( a\in{}Z \)

Z representa el conjunto de los números enteros.

gracias

Depende de que puedas utilizar y como te hayan definido la relación menor que:

Si partimos de que:

\( a<b\Leftrightarrow{}b-a\in{}\mathbb{Z}^+ \)

Entonces es evidente que:

1.- \( a-b<a \), pues: \( a-(a-b)=b\in{}\mathbb{Z}^+ \)

2.- \( a<a+b \) pues: \( a+b -a=b\in{}\mathbb{Z}^+ \)

Por la propiedad transitiva \( a-b<a+b \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

11 Noviembre, 2018, 12:03 pm
Respuesta #3

feriva

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tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con \( b\in{}Z+ \), mostrar que \( a-b<a+b \) para todo \( a\in{}Z \)

Hola.

Como dicen manooooh y Robin, no hay problema en restar “a” a ambos lados, tenga el signo que tenga. Pero si no ves claro el porqué, puedes hacer comprobaciones tú mismo y razonarlo (razonar es algo que esta libre de cualquier temario, siempre se puede utilizar, no es como un teorema aún no estudiado).

Empieza considerando la condición \(  a<b
  \); implica (para números reales en general también) que \(  a-b<0
  \). Para ver esto puedes analizar fácilmente los casos posibles: con los dos positivos, con los dos negativos y con “a” negativo y “b” positivo; lo que no puede ser nunca es que “a” sea positivo y “b” negativo, viola la condición considerada inmediatamente.

Spoiler
Por otro lado, cualesquiera que sean los ejemplos particulares que tomes (en cuanto a signos y tal) en esto de las desigualdades no se pierde generalidad, si es verdad para unos números que respetan las condiciones iniciales, es verdad para todos; quiero decir esto:

\(  a<b
  \) con los dos negativos, vamos a poner por caso. Pues sabemos que ha de ser \(  |a|>|b|
  \). Luego puedo empezar tomando cualquier natural al azar, sea cual sea, y uno más pequeño; por ejemplo, 6 y 5. Entonces poniendo los signos tengo \(  -6<-5
  \).

El caso es que 6 es mayor que 5, pero da igual cuáles sean los que se tomen, pueden ser 183 y 180, no depende de la particularidad de los numeritos en ese sentido.
[cerrar]

Si suponemos \(  a-b<0
  \), sin más condición, esto que sigue es en general falso

\(  a-b<a+b
  \),

lo cual puedes comprobar tomando los dos negativos.

Sin embargo, sí es cierto siempre si ambos son positivos o si “b” positivo y “a” negativo; lo cual se verifica trivialmente con cualquier ejemplo.

...

En segundo lugar, considera la posibilidad, \(  a>b
  \).

Entonces, si son positivos, es claro que \(  a-b<a+b
  \); y si “b” es positivo y “a” negativo, también es claro.

...

En un tercer caso, si a=b, ninguno será negativo (pues “b” es positivo) y es trivialmente cierto que sólo sería falso si b=0; pero “b” pertenece a los enteros positivos; y cero, aunque pertenece a los enteros, no pertenece a los positivos ni a los negativos en particular, no es un número signado. Por tanto, no hay problema, no puede ser cero y entonces se cumple lo que te dicen.

Saludos.

11 Noviembre, 2018, 01:47 pm
Respuesta #4

robinlambada

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Hola feriva:

tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con \( b\in{}Z+ \), mostrar que \( a-b<a+b \) para todo \( a\in{}Z \)

Hola.

Como dicen manooooh y Robin, no hay problema en restar “a” a ambos lados, tenga el signo que tenga. Pero si no ves claro el porqué, puedes hacer comprobaciones tú mismo y razonarlo (razonar es algo que esta libre de cualquier temario, siempre se puede utilizar, no es como un teorema aún no estudiado).

Empieza considerando la condición \(  a<b
  \); implica (para números reales en general también) que \(  a-b<0
  \). Para ver esto puedes analizar fácilmente los casos posibles: con los dos positivos, con los dos negativos y con “a” negativo y “b” positivo; lo que no puede ser nunca es que “a” sea positivo y “b” negativo, viola la condición considerada inmediatamente.

Spoiler
Por otro lado, cualesquiera que sean los ejemplos particulares que tomes (en cuanto a signos y tal) en esto de las desigualdades no se pierde generalidad, si es verdad para unos números que respetan las condiciones iniciales, es verdad para todos; quiero decir esto:

\(  a<b
  \) con los dos negativos, vamos a poner por caso. Pues sabemos que ha de ser \(  |a|>|b|
  \). Luego puedo empezar tomando cualquier natural al azar, sea cual sea, y uno más pequeño; por ejemplo, 6 y 5. Entonces poniendo los signos tengo \(  -6<-5
  \).

El caso es que 6 es mayor que 5, pero da igual cuáles sean los que se tomen, pueden ser 183 y 180, no depende de la particularidad de los numeritos en ese sentido.
[cerrar]

Si suponemos \(  a-b<0
  \), sin más condición, esto que sigue es en general falso

\(  a-b<a+b
  \),

lo cual puedes comprobar tomando los dos negativos.

Sin embargo, sí es cierto siempre si ambos son positivos o si “b” positivo y “a” negativo; lo cual se verifica trivialmente con cualquier ejemplo.

...

En segundo lugar, considera la posibilidad, \(  a>b
  \).

Entonces, si son positivos, es claro que \(  a-b<a+b
  \); y si “b” es positivo y “a” negativo, también es claro.

...

En un tercer caso, si a=b, ninguno será negativo (pues “b” es positivo) y es trivialmente cierto que sólo sería falso si b=0; pero “b” pertenece a los enteros positivos; y cero, aunque pertenece a los enteros, no pertenece a los positivos ni a los negativos en particular, no es un número signado. Por tanto, no hay problema, no puede ser cero y entonces se cumple lo que te dicen.

Saludos.

Entiendo que lo que pide el problema es demostrarlo utilizando la definición de menor que "<". Ya que no hace falta complicarse más.

Saludos.

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

12 Noviembre, 2018, 03:12 am
Respuesta #5

janumet

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muchas gracias, tenia muchas dudas con respecto a a-b, pero con lo que me recomendaron logre hacerlo. Gracias :aplauso: