Autor Tema: Darle sentido a expresiones del tipo \(\displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\,dx\)

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27 Octubre, 2018, 05:04 am
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Masacroso

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Ayer vi en MSE una manera de darle sentido a expresiones de la forma \( \int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\, dx \) para funciones reales \( f,g,h:\Bbb R\to\Bbb R \) utilizando la "parafernalia" de las integrales de Lebesgue asumiendo alguna medida (como por ejemplo la medida de Lebesgue), por ejemplo:

\( \displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\, dx:=\int_{\Bbb R}\chi_{[f(x),g(x)]}(x)h(x)\lambda(dx) \)

donde \( \lambda(dx) \) es la medida de Lebesgue respecto de \( x \) y \( \chi_A \) es la función indicatriz del conjunto \( A \). Aunque claro que en vez de tomar el intervalo cerrado \( [f(x),g(x)] \) también podría tomarse uno abierto o semiabierto, etc.

Me ha parecido curioso e interesante que se pudiese dar sentido a esas expresiones, ya que este tipo de expresiones han aparecido en el foro en los últimos meses, erróneamente escritas, asociadas a integrales de Riemann.

27 Octubre, 2018, 07:19 am
Respuesta #1

manooooh

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Yo soy uno de los que vio comenzar esa respuesta de MSE que dio nacimiento a este [prometedor] hilo ;D.

Pregunta de alguien que no sabe nada de esto: ¿las funciones \( f \), \( g \) y \( h \) deben ser continuas en algún subconjunto de \( \Bbb R \)?

Saludos

27 Octubre, 2018, 08:36 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Yo soy uno de los que vio comenzar esa respuesta de MSE que dio nacimiento a este [prometedor] hilo ;D.

Pregunta de alguien que no sabe nada de esto: ¿las funciones \( f \), \( g \) y \( h \) deben ser continuas en algún subconjunto de \( \Bbb R \)?

Deben de ser medibles, que es más débil (para la medida de Lebesgue) que ser continuas.

En la práctica equivale a restringir el conjunto de integración a los puntos solución de:

\( f(x)\leq x\leq g(x) \)

que para funciones "normales" será una unión de ciertos intervalos.

Saludos.