Autor Tema: N = 4. Descenso rápido

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08 Noviembre, 2018, 06:50 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo que  \( \pmb{z^2=x^4+y^4} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos -y-  " \( x \) " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Sin factorizar en  \( \mathbb{Z}[ i ] \) ,  puedo conseguir resultados similares.

Tenemos que:  \( y^4=(z+x^2)\,(z-x^2) \) ;  -y-  " \( z+x^2 \) "  \( \wedge \)  " \( z-x^2 \) " ,  que al ser coprimos serán cuartas potencias.

Todo número entero positivo puede escribirse como una suma o una resta de otros 2 números enteros coprimos entre sí, uno de ellos par ( \( t \) ) y uno de ellos mayor que otro ( \( s \) ). Así:  \( n=s\pm t \) ;  para  \( (s,t)=1 \)  -y-  \( s\,>\,t \) .

De esta manera, tenemos que:  \( (s+t)^4=z+x^2 \)  -y- por tanto:  \( s^4+4s^3t+6s^2t^2+4st^3+t^4=z+x^2 \) .  De la misma forma yo puedo decir que:  \( (s-t)^4=z-x^2 \)  -y- :  \( s^4-4s^3t+6s^2t^2-4st^3+t^4=z-x^2 \) ;  siempre y cuando realice la siguiente agrupación de términos:  \( z=s^4+6s^2t^2+t^4 \)   \( \wedge \)   \( x^2=4s^3t+4st^3\,=\,4st(s^2+t^2) \) .  Efectivamente:  " \( s^4+6s^2t^2+t^4 \) "  \( \wedge \)  " \( 4st(s^2+t^2) \) "  son coprimos y uno de ellos es par. Demostración de que son coprimos: Como  \( z=s^4+6s^2t^2+t^4\,=\,(s^2+t^2)^2+4s^2t^2 \) .  Un primo ( \( p \) )  que divida á  \( 4st(s^2+t^2) \) ,  dividirá á  \( 4st \)  ó á  \( s^2+t^2 \) y sólo a uno de ellos, porque ambos son coprimos y por lo tanto sólo podrá dividir á uno de los sumandos cada vez de  " \( z \) " .

Como:  \( x^2=4st(s^2+t^2) \)  -y-  " \( s \) "  \( \wedge \)  " \( t \) "  son coprimos; entonces:  \( s=s_1^2 \) ,  \( t=t_1^2 \)   \( \wedge \)   \( s^2+t^2=A^2 \) ;  para un  " \( A \) "  entero. Pero:  \( \pmb{A^2=s_1^4+t_1^4} \)  y podré repertir este razonamiento una y otra vez.

Esto es muy parecido a si lo hago de la siguiente forma en  \( \mathbb{Z}[ i ] \)  (resumido):

De:  \( \pmb{z^4=x^2+y^4}\,=\,(x+y^2i)\,(x-y^2i) \) ;  para  " \( y \) ", por ejemplo, par. Tendré que:  \( (u+vi)^4=x+y^2i \) ;  para  \( u,v \)  enteros, coprimos y uno de ellos par .  Y de ahí que:  \( x=u^4-6u^2v^2+v^4 \)   \( \wedge \)   \( y^2=4uv(u^2-v^2) \) .  Luego:  \( u_1^4-v_1^4=B^2 \)   \( \wedge \)   \( \pmb{u_1^4=B^2+v_1^4} \) .

Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

08 Noviembre, 2018, 07:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Creo que está todo bien. Alguna cosa es un poco más clara y directa.

Hola,

Supongo que  \( \pmb{z^2=x^4+y^4} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos -y-  " \( x \) " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Sin factorizar en  \( \mathbb{Z}[ i ] \) ,  puedo conseguir resultados similares.

Tenemos que:  \( y^4=(z+x^2)\,(z-x^2) \) ;  -y-  " \( z+x^2 \) "  \( \wedge \)  " \( z-x^2 \) " ,  que al ser coprimos serán cuartas potencias.

Todo número entero positivo puede escribirse como una suma o una resta de otros 2 números enteros coprimos entre sí, uno de ellos par ( \( t \) ) y uno de ellos mayor que otro ( \( s \) ). Así:  \( n=s\pm t \) ;  para  \( (s,t)=1 \)  -y-  \( s\,>\,t \) .

Es decir si \( z+x^2=a^4 \) y \( z-x^2=b^4 \) tomas \( s=(a+b)/2 \) y \( t=(a-b)/2 \) de forma que \( a=s+t \) y \( b=s-t. \)

Citar
De esta manera, tenemos que:  \( (s+t)^4=z+x^2 \)  -y- por tanto:  \( s^4+4s^3t+6s^2t^2+4st^3+t^4=z+x^2 \) .  De la misma forma yo puedo decir que:  \( (s-t)^4=z-x^2 \)  -y- :  \( s^4-4s^3t+6s^2t^2-4st^3+t^4=z-x^2 \) ;  siempre y cuando realice la siguiente agrupación de términos:  \( z=s^4+6s^2t^2+t^4 \)   \( \wedge \)   \( x^2=4s^3t+4st^3\,=\,4st(s^2+t^2) \) . 

Ahí parece como si la agrupación de términos hubiese que forzarla; y simplemente sale haciendo las cuentas. De lo anterior:

\( z=\dfrac{1}{2}((s+t)^4+(s-t)^4)=s^4+6s^2t^2+t^4 \)

\( x^2=\dfrac{1}{2}((s+t)^4-(s-t)^4)=4s^3t+3st^3 \)

Saludos.

08 Noviembre, 2018, 09:55 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola Luis. Gracias

Citar
Como tú lo expones es más inteligente, efectivamente más directo y más "matemático". Yo lo he planteado así por lo siguiente. Me había preguntado por qué factorizando en  \( \mathbb{Z}[ i ] \) ,  podía separar tan fácilmente los términos asociados á  " \( i \) "  del resto de términos y obtener así ventaja a la hora de operar y sin embargo factorizando en  \( \mathbb{Z} \) en principio no. Con este planteamiento descubro (para mí; pero lo he querido compartir también porque me parece interesante) como hacerlo para el supertrillado caso del UTF4.  " \( i \) " , en este sentido no es más que un signo; como si existieran 3 signos:  " \( + \) "  ,  " \( - \) "  e  " \( i \) " ; y así lo he comprobado buscando el paralelismo entre el signo  " \( - \) "  y el signo  " \( i \) "  en el planteamiento que he hecho.

Cada vez que entiendo más cosas sobre  " \( i \) " , más me fascina. En cierto modo representa una trinidad (por lo menos) de cosas. Representa primeramente un "signo", como he planteado. Pero además tiene "magnitud" (su norma es 1) y cabe operar con él como una cantidad, al contrario que con los signos  \( + \)  ó  \( - \) .

Independientemente de que pensarlo así te pueda haber llevado a una buena intuición en un caso particular, no es muy razonable pensar \( i \) como un signo. \( i  \) es un número, una solución de la ecuación \( x^2=-1 \) y de ahí vienen todas sus propiedades.

Citar
.  Pero aún hay más. Resulta que en el plano de Argand representa "un giro". Añadiendo  " \( i \) "  a una cantidad, la desplazo 90 grados
.

Mejor: si se multiplicar por \( i \), representa un giro de 90 grados.

Citar
Flipo con ello y me pregunto si esta versatilidad tan extraordinaria la poseen otros "nombres" de cosas en matemáticas. Supongo que no.

Hay quien dice por ahí que la relación \( e^{\pi i}=-1 \) es la más increible y bonita de las matemáticas.

Saludos.
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09 Noviembre, 2018, 11:06 am
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola. Simplemente señalar que en la respuesta anterior está fusionada una respuesta mía con una contestación de Luis Fuentes a ésa respuesta. Seguramente por algún error técnico trivial que haya ocurrido. Sdos
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09 Noviembre, 2018, 11:12 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Hola. Simplemente señalar que en la respuesta anterior está fusionada una respuesta mía con una contestación de Luis Fuentes a ésa respuesta. Seguramente por algún error técnico trivial que haya ocurrido. Sdos

¡Qué rabia! Perdona Fernando Moreno. ¡Me confundí! Quería darle a responder y le di a modificar.  :-\

Saludos.