Autor Tema: UTF para n=3; propuesta de demostración simple

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03 Noviembre, 2018, 03:55 pm
Respuesta #20

feriva

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Ahí puedes distinguir dos casos según \( a' \) sea o no múltiplo de \( 3 \) y seguir de manera más clara de lo que lo has hecho.

De todas formas no puedes esperar de (*) sin más llegar a ninguna contradicción; tienes una fracción que, sean quienes sean \( a \) y \( b \), tendrá una determinada expresión como fracción irreducible.

Es importante que entiendas esto, porque te ahorrará pérdidas de tiempo.


Habría que hacer intervenir de manera fuerte y no anecdótica (no para ver que tal o cual es par o impar y luego olvidarse del resto) que todo venía de aquí:

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=8k^{3}[/texx]

Saludos.

Muchísimas gracias, Luis, vistos los errores principales; creo que tengo otro por ahí cuando digo "k no es múltiplo de 4", ahora que miro.

Saludos.

03 Noviembre, 2018, 06:52 pm
Respuesta #21

feriva

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Esto está mal

Spoiler

Ahí puedes distinguir dos casos según \( a' \) sea o no múltiplo de \( 3 \) y seguir de manera más clara de lo que lo has hecho.


Sigo el consejo:

Entonces suponiendo “a” múltiplo de 3, ocurre que \( 2a
  \) y \( (a^{2}+3b^{2})
  \) son múltiplos de 3.

En ese caso, la suma, al ser supuestamente un cubo, sería un mútliplo de 27.

Por tanto

con \( a=3m
  \)

\( c=3m+b
  \)

\( e=3m-b
  \)

\( (3m+b)^{3}=b^{3}+9b^{2}m+27bm^{2}+27m^{3}
  \)

\( (3m-b)^{3}=-b^{3}+9b^{2}m-27bm^{2}+27m^{3}
  \)

(hecho con Wolfram para evitar despistes)

Sumando ambas cosas

\( c^{3}+e^{3}=18b^{2}m+54m^{3}
  \)

Si la suma ha de ser múltiplo de 27, entonces 3 tiene que dividir a “m”; así, podemos escribir

\( a=3m=3^{2}n
  \).

De aquí \( 2a
 (a^{2}+3b^{2})
  \) se tiene

\( 2\cdot3^{2}n(3^{4}n^{2}+3b^{2})
  \)

\( 2\cdot(3^{6}n^{3}+3^{3}b^{2}n)
  \)

y al dividir a ambos lados por \( 3^{3}n
  \) quedaría

\( 2\cdot(3^{3}n^{2}+b^{2})
  \)

Esto significa que, si “b” no es múltiplo de 3, el cubo no puede ser múltiplo de una potencia de 3 mayor que 27.

Pero repitiendo la misma expansión de los cubos hecha anteriormente, sólo que sustituyendo “a” por \( 3^{2}n
  \), tenemos

\( 54b^{2}n+1458*n^{3}
  \).

Es divisible entre 54, implica que la suma, al ser un cubo, tenga que ser un múltiplo de \( 3^{6}
  \). Evidentemente esto está mal, sigue siendo múltiplo de 27

Así que “b”, por la expresión equivalente anterior, tiene que ser múltiplo de 3.

Por tanto, \( 2a
  \) y \( (a^{2}+3b^{2})
  \) han de ser coprimos. ¿Es correcto?

Muchas gracias.
[cerrar]

04 Noviembre, 2018, 07:11 pm
Respuesta #22

feriva

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Hola, Luis.

Trabajando con un programa que he hecho, he visto que la suma de un cubo par más otro cubo (par o impar) fijando ordenadamente el cubo siempre par (con, 8,64,216 ...) me ha llevado a unos términos generales de esta forma:

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+16
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+72
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+224
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+520
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+1008
  \)

...

La primera suma corresponde al término general de los términos de la sucesión que salen de sumar 8 con cada uno de los demás; es decir con el propio 8, con 27...

La segunda, análogamente, es la que sale de sumar el siguiente cubo par, 64, con los demás: y así sucesivamente.

He hecho hasta ahí, no he seguido; pero le he dado al Wolfram la sucesión de términos independientes

16,72,224,520,1008,1736,...

y me ha dicho que el término general era \( 8(k^{3}+1)
  \).

Así pues la suma de dos cubos cualesquiera, par + par ó par + impar parecía ser ésta:

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+8(k^{3}+1)
  \).

Luego he mirado a ver qué relación tenían “n” y “k” y la he encontrado:

Si \(  x^{3}+y^{3}=n^{3}+6n^{2}+12n+8(k^{3}+1)
   \) con x par e y impar, entonces:

\( n=y-2;\, k=\dfrac{x}{2}
  \)

y sutituyendo queda

\( x^{3}+y^{3}=(y-2)^{3}+6(y-2)^{2}+12(y-2)+8(\dfrac{x^{3}}{8}+1)
  \)

\( x^{3}+y^{3}=(y-2)^{3}+6(y-2)^{2}+12(y-2)+x^{3}+8
  \).

Se puede comprobar que es cierto (lo he hecho con Wolfram para que no haya demasiados despistes).

Así que (si no me equivoco) dado esto ya no hace falta más demostración y se puede afirmar que cualquier cubo entero impar se puede expresar como

\( y^{3}=(y-2)^{3}+6(y-2)^{2}+12(y-2)+8
  \).

Por tanto, es la suma de un impar más 8, así que la suma de dos cubos impares tendrá esta forma

\( k+16
  \) con “k” par.

Luego la suma será, en hipótesis, un cubo par.

Este cubo será a lo sumo divisible entre 8, y no por una potencia de 2 mayor que 8, dado que, si dividimos a ambos lados entre 8, en uno de los sumandos queda 2. Entonces la suma de cubos impares será \( 8k^{3}
  \) con “k” impar.

¿Es válido?, ¿está bien deducido?

Muchas gracias.

Saludos.

04 Noviembre, 2018, 08:28 pm
Respuesta #23

Luis Fuentes

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Hola

En general has dado muchas vueltas para llegar a conclusiones muy obvias y meter la pata al final...
  ;)
Trabajando con un programa que he hecho, he visto que la suma de un cubo par más otro cubo (par o impar) fijando ordenadamente el cubo siempre par (con, 8,64,216 ...) me ha llevado a unos términos generales de esta forma:

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+16
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+72
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+224
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+520
  \)

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+1008
  \)

...

La primera suma corresponde al término general de los términos de la sucesión que salen de sumar 8 con cada uno de los demás; es decir con el propio 8, con 27...

La segunda, análogamente, es la que sale de sumar el siguiente cubo par, 64, con los demás: y así sucesivamente.

He hecho hasta ahí, no he seguido; pero le he dado al Wolfram la sucesión de términos independientes

16,72,224,520,1008,1736,...

y me ha dicho que el término general era \( 8(k^{3}+1)
  \).

Así pues la suma de dos cubos cualesquiera, par + par ó par + impar parecía ser ésta:

\( a_{n}=n^{3}+6n^{2}+12n+8(k^{3}+1)
  \).

Ahí lo que tienes es:

\( a_n=(n+2)^3+(2k)^3 \)

Citar
Luego he mirado a ver qué relación tenían “n” y “k” y la he encontrado:

Si \(  x^{3}+y^{3}=n^{3}+6n^{2}+12n+8(k^{3}+1)
   \) con x par e y impar, entonces:

\( n=y-2;\, k=\dfrac{x}{2}
  \)

y sutituyendo queda

\( x^{3}+y^{3}=(y-2)^{3}+6(y-2)^{2}+12(y-2)+8(\dfrac{x^{3}}{8}+1)
  \)

\( x^{3}+y^{3}=(y-2)^{3}+6(y-2)^{2}+12(y-2)+x^{3}+8
  \).

Se puede comprobar que es cierto (lo he hecho con Wolfram para que no haya demasiados despistes).

Así que (si no me equivoco) dado esto ya no hace falta más demostración y se puede afirmar que cualquier cubo entero impar se puede expresar como

\( y^{3}=(y-2)^{3}+6(y-2)^{2}+12(y-2)+8
  \).

Directamente:

\( y^3=((y-2)+2)^3 \)

y aplicas la fórmula del binomio de Newton.

Citar
Por tanto, es la suma de un impar más 8,

Cualquier número impar, no ya un cubo, es suma de un impar más \( 8 \) sin tanta palafernaria:

\( I=(I-8)+8 \)

y donde puse \( 8 \) podría poner cualquier par.

Citar
así que la suma de dos cubos impares tendrá esta forma
\( k+16
  \) con “k” par.

Pero insisto que donde pones 16 podrías poner cualquier número par, lo cual hace intuir que no se va a sacar ninguna conclusión muy relevante de aquí.

Citar
Luego la suma será, en hipótesis, un cubo par.

Este cubo será a lo sumo divisible entre 8, y no por una potencia de 2 mayor que 8, dado que, si dividimos a ambos lados entre 8, en uno de los sumandos queda 2.


¿Por qué? Por ejemplo \( 48+16 \) es divisible por \( 4^3 \).

Saludos.

04 Noviembre, 2018, 09:32 pm
Respuesta #24

feriva

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Muchas gracias, Luis, vaya vueltas tontas doy, es verdad.



¿Por qué? Por ejemplo \( 48+16 \) es divisible por \( 4^3 \).

Saludos.

Pues porque me habré equivocado en el razonamiento; te lo cuento, no es largo de revisar, así me dices en concreto cuál es la pega  si la hubiera (que ojalá no, pero ya me temo que sí).

Dividimos “k+16” entre 8 y sigue quedando un cubo; sea esta la igualdad:

\( m+2=n^{3}
  \).

Pueden pasar dos cosas, que “m” sea par o impar. Si es impar, no es divisible entre 2 y “n” sería impar; ya no se podría dividir entre 8 otra vez.

Luego para que se pueda otra vez, tiene que ser par. Entonces \( n^{3}
  \) par, múltiplo de 8 por ser un cubo, y la suma tiene que ser divisible entre 8 de nuevo. Ahora divido entre 2 por segunda vez (y nos quedan dos doses por los que dividir todavía)

\( \dfrac{m}{2}+1=\dfrac{n^{3}}{2}
  \)

Y “m/2” tiene que ser impar por fuerza si queremos que sea par. Pero por otra parte significa que, si m/2 es impar, “m” no es múltiplo de 4, sino sólo de 2. Luego la k de antes, (8m) es un múltiplo de 16 y no más. Por lo que “k+16” (si por milagro no hecho algo mal) no es múltiplo de 8*8=64

Saludos.

04 Noviembre, 2018, 09:45 pm
Respuesta #25

Luis Fuentes

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Hola

Pues porque me habré equivocado en el razonamiento; te lo cuento, no es largo de revisar, así me dices en concreto cuál es la pega  si la hubiera (que ojalá no, pero ya me temo que sí).

¡Pero si te acabo de mostrar un ejemplo donde falla tu razonamiento! Úsalo para rastrear el error:

\( 48+16=64 \)

Citar
Dividimos “k+16” entre 8 y sigue quedando un cubo; sea esta la igualdad:

\( m+2=n^{3}
  \).

\( 6+2=8=2^3 \)

Citar
Pueden pasar dos cosas, que “m” sea par o impar. Si es impar, no es divisible entre 2 y “n” sería impar; ya no se podría dividir entre 8 otra vez.

Luego para que se pueda otra vez, tiene que ser par. Entonces \( n^{3}
  \) par, múltiplo de 8 por ser un cubo, y la suma tiene que ser divisible entre 8 de nuevo. Ahora divido entre 2 por segunda vez (y nos quedan dos doses por los que dividir todavía)

\( \dfrac{m}{2}+1=\dfrac{n^{3}}{2}
  \)

\( 3+1=4 \)

Citar
Y “m/2” tiene que ser impar por fuerza si queremos que sea par. Pero por otra parte significa que, si m/2 es impar, “m” no es múltiplo de 4, sino sólo de 2. Luego la k de antes, (8m) es un múltiplo de 16 y no más. Por lo que “k+16” (si por milagro no hecho algo mal) no es múltiplo de 8*8=64

En el ejemplo \( m/2=3 \).. luego \( m=6 \)... luego la "\( k \) de antes" es \( 8\cdot 6=48 \)  y el fallo simplemente es que la afirmación en rojo no se deduce de nada de lo que has hecho antes. Precisamente la suma de dos múltiplo de \( 16 \) pero no de \( 32 \), puede dar un múltiplo de \( 32 \) o más.

Saludos.

04 Noviembre, 2018, 09:54 pm
Respuesta #26

feriva

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Hola

Pues porque me habré equivocado en el razonamiento; te lo cuento, no es largo de revisar, así me dices en concreto cuál es la pega  si la hubiera (que ojalá no, pero ya me temo que sí).

¡Pero si te acabo de mostrar un ejemplo donde falla tu razonamiento! Úsalo para rastrear el error:


Eso estaba haciendo, ya venía a corregir, perdóname.

Muchas gracias.