Hola
¿Por qué no se escribe el punto, o sea \( F(\color{red}P\color{black},x,y,z,u)=0\implies\color{red}P+\color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)?
Ojo, porque en ningún caso sería así. No tiene sentido que sumes un punto a una ecuación implícita. De manera gruesa un punto tiene varias coordenadas. Te quedaría un sin sentido como este:
\( (0,1,-1,0)-2z=0 \)
En todo caso en general, en geometría diferencial afín, la ecuación implícita para una superficie dada por una ecuación implícita \( F(x,y,z,u)=0 \) en el punto \( (x_0,y_0,z_0,y_0) \) sería:
\( \color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)
Ahora bien aquí estamos en
geometría proyectiva y manejamos
coordenadas homogéneas y polinomios homogéneos como ecuaciones que definen variedades proyectivas; los detalles sobre esto serían largos de explicar. El caso es que si \( F \) es un polinomio homogéneo se puede ver que es lo mismo:
\( \color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)
que:
\( \dfrac{\partial F}{\partial x}(P)x+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P)y+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P)z+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P)u=0 \)
aunque este no sea el único motivo de fondo para escribir así la ecuación del plano tangente.
Saludos.