Autor Tema: Ecuaciones paramétricas y cartesianas

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28 Octubre, 2018, 02:16 am
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Julio_fmat

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En \( P_{\mathbb{C}}^3 \), sea \( Q \) la cuádrica con ecuación \( Q: y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \) Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi=\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}. \) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) de la recta \( T_p C \) tangente a \( C \) en el punto \( p:=(0:1:-1). \)

Hola, ¿cómo podemos hacerlo en este caso?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Octubre, 2018, 01:34 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi=\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}. \) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) de la recta \( T_p C \) tangente a \( C \) en el punto \( p:=(0:1:-1). \)

Hola, ¿cómo podemos hacerlo en este caso?

Pero no dices quien es \( Q \) y por tanto no sabemos quien es \( C \).

Saludos.

02 Noviembre, 2018, 08:29 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Ahora lo arregle, me pueden ayudar?
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02 Noviembre, 2018, 08:49 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

En \( P_{\mathbb{C}}^3 \), sea \( Q \) la cuadrica con ecuacion \( Q: y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \) Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi=\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}. \) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) de la recta \( T_p C \) tangente a \( C \) en el punto \( p:=(0:1:-1). \)

Hola, ¿cómo podemos hacerlo en este caso?

Dado que el punto \( p \) sólo tiene tres coordenadas homogéneas no se si se refiere al punto \( p \) en el plano \( \pi \), y por tanto como punto de \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \) tiene coordenadas \( p:=(0:1:-1:0). \)

Dicho esto dado que tu curva es intersección de una superficie y un plano \( \pi \), la recta tangente en un punto de la misma es intersección del plano tangente a la superficie en el punto y del plano \( \pi \).

El plano tangente en un punto \( P=(x_0:y_0:z_0:u_0) \) de una superficie cuya ecuación implícita en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \)  es:

\( F(x,y,z,u)=0 \)

es:

\( \dfrac{\partial F}{\partial x}(P)x+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P)y+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P)z+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P)u=0 \)

Saludos.

03 Noviembre, 2018, 10:05 pm
Respuesta #4

Julio_fmat

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Hola

En \( P_{\mathbb{C}}^3 \), sea \( Q \) la cuadrica con ecuacion \( Q: y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \) Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi=\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}. \) Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) de la recta \( T_p C \) tangente a \( C \) en el punto \( p:=(0:1:-1). \)

Hola, ¿cómo podemos hacerlo en este caso? Cómo encuentro las

Dado que el punto \( p \) sólo tiene tres coordenadas homogéneas no se si se refiere al punto \( p \) en el plano \( \pi \), y por tanto como punto de \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \) tiene coordenadas \( p:=(0:1:-1:0). \)

Dicho esto dado que tu curva es intersección de una superficie y un plano \( \pi \), la recta tangente en un punto de la misma es intersección del plano tangente a la superficie en el punto y del plano \( \pi \).

El plano tangente en un punto \( P=(x_0:y_0:z_0:u_0) \) de una superficie cuya ecuación implícita en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \)  es:

\( F(x,y,z,u)=0 \)

es:

\( \dfrac{\partial F}{\partial x}(P)x+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P)y+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P)z+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P)u=0 \)

Saludos.

Muchas Gracias, saque la ecuación del plano tangente a una superficie en el punto \( P=(x_0:y_0:z_0:u_0) \) y nos queda que:

\( 2y_0^2+2z_0^2-2u_0^2+4y_0z_0-4x_0z_0=0 \)

¿Y ahora qué hago? ¿Cómo encuentro las parametricas y las cartesianas en el espacio proyectivo \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \)?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

04 Noviembre, 2018, 09:15 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias, saque la ecuación del plano tangente a una superficie en el punto \( P=(x_0:y_0:z_0:u_0) \) y nos queda que:

\( 2y_0^2+2z_0^2-2u_0^2+4y_0z_0-4x_0z_0=0 \)

¿Y ahora qué hago? ¿Cómo encuentro las parametricas y las cartesianas en el espacio proyectivo \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \)?

 Está mal. En la ecuación del plano tangente se hayan las parciales en el punto \( (x_0:y_0:z_0:u_0) \) pero se multiplican por las variables genéricas \( (x:y:z:u) \).

 En tu caso queda:

\( -2z_0\cdot x+(2y_2+2z_0)\cdot y+(2z_0-2x_0+2y_0)\cdot z-2u_0\cdot u=0 \)

 Concretamente el punto donde nos piden el tangente es: \( (x_0:y_0:z_0:u_0)=(0:1:-1:0) \), luego resulta:

\( 2z=0 \) simplificando \( z=0 \).

 Ahora como te decía la recta tangente a la curva intersección de la superficie con el plano indicado es la intersección del plano tangente con el otro plano. Sus ecuaciones implícitas son entonces:

\( z=0 \)
\( u=0 \)

 Finalmente de ahí puedes hallar las paramétricas.

 Revisa las cuentas.

Saludos.

04 Noviembre, 2018, 05:56 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola

Quizás sea propio de la teoría que no tengo conocimientos y por ende esté mal, pero:

El plano tangente en un punto \( P=(x_0:y_0:z_0:u_0) \) de una superficie cuya ecuación implícita en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^3 \)  es:

\( F(x,y,z,u)=0 \)

es:

\( \dfrac{\partial F}{\partial x}(P)x+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P)y+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P)z+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P)u=0 \)

¿Por qué no se escribe el punto, o sea \( F(\color{red}P\color{black},x,y,z,u)=0\implies\color{red}P+\color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)?

Gracias y saludos

04 Noviembre, 2018, 06:07 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

¿Por qué no se escribe el punto, o sea \( F(\color{red}P\color{black},x,y,z,u)=0\implies\color{red}P+\color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)?

Ojo, porque en ningún caso sería así. No tiene sentido que sumes un punto a una ecuación implícita. De manera gruesa un punto tiene varias coordenadas. Te quedaría un sin sentido como este:

\( (0,1,-1,0)-2z=0 \)

En todo caso en general, en geometría diferencial afín, la ecuación implícita para una superficie dada por una ecuación implícita \( F(x,y,z,u)=0 \) en el punto \( (x_0,y_0,z_0,y_0) \) sería:

\( \color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)

Ahora bien aquí estamos en geometría proyectiva y manejamos coordenadas homogéneas y  polinomios homogéneos como ecuaciones que definen variedades proyectivas; los detalles sobre esto serían largos de explicar. El caso es que si \( F \) es un polinomio homogéneo se puede ver que es lo mismo:

\( \color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)

que:

\( \dfrac{\partial F}{\partial x}(P)x+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P)y+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P)z+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P)u=0  \)

aunque este no sea el único motivo de fondo para escribir así la ecuación del plano tangente.

Saludos.

04 Noviembre, 2018, 06:23 pm
Respuesta #8

manooooh

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Hola

Ojo, porque en ningún caso sería así. No tiene sentido que sumes un punto a una ecuación implícita. De manera gruesa un punto tiene varias coordenadas. Te quedaría un sin sentido como este:

\( (0,1,-1,0)-2z=0 \)

Perdón, me refería a

\( F(\color{red}P\color{black},x,y,z,u)=0\implies\color{red}{\bf F}(P)+\color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \),

porque sin el valor de la función en el punto el plano siempre pasaría por el origen, aunque algunas veces no es necesariamente así, por lo que la ecuación sin \( F(P) \) estaría mal.

Aunque claro, como está definida implícitamente no podemos hallar el valor de la función en el punto \( P \) ???. ¿Verdad?

Saludos

04 Noviembre, 2018, 08:31 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Perdón, me refería a

\( F(\color{red}P\color{black},x,y,z,u)=0\implies\color{red}{\bf F}(P)+\color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \),

porque sin el valor de la función en el punto el plano siempre pasaría por el origen, aunque algunas veces no es necesariamente así, por lo que la ecuación sin \( F(P) \) estaría mal.

Para que todo esto tenga sentido el punto tiene que ser un punto de la superficie, un punto verificando \( F(P)=0 \); en otro caso el gradiente en un punto que NO es de la superficie no tienen ninguna interpretación como plano tangente a la misma.

Así si \( P \) es un punto de la superficie como \( F(P)=0 \), ese término sobra; y si no es de la superficie tampoco vale esa ecuación como plano tangente.

Como te dije lo correcto es:

\( \color{black}\dfrac{\partial F}{\partial x}(P){\color{red}({\color{black}x}-x_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial y}(P){\color{red}({\color{black}y}-y_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial z}(P){\color{red}({\color{black}z}-z_0)}+\dfrac{\partial F}{\partial u}(P){\color{red}({\color{black}u}-u_0)}=0 \)

Citar
Aunque claro, como está definida implícitamente no podemos hallar el valor de la función en el punto \( P \) ???. ¿Verdad?

No entiendo bien la pregunta; normalmente el punto es un dato. Es el punto donde queremos hallar el plano tangente.

Por otra parte dado un punto \( P \) podemos decidir si pertenece o no a la superficie verificando si \( F(P)=0 \) o no.

Saludos.

08 Noviembre, 2018, 02:48 am
Respuesta #10

Julio_fmat

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Muchas Gracias, tengo una duda con la recta \( T_p C \) tangente a \( C. \) Se supone que dicha recta en el espacio proyectivo esta dada por \( T_p C: u_0x_0+u_1x_1+\cdots +u_nx_n=0\iff \left[\begin{array}{ccc}{x_0},{x_1},...,{x_n}\end{array}\right]
\begin{bmatrix}{u_0}\\{u_1}\\ \vdots\\{u_n}\end{bmatrix}=0 \).

Se supone que haciendo esto obtengo la ecuación cartesiana de la recta \( T_p C. \) Según mi Profesor, debemos hacerlo así... Mi duda es qué debemos reemplazar en dicha ecuación?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

08 Noviembre, 2018, 08:21 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias, tengo una duda con la recta \( T_p C \) tangente a \( C. \) Se supone que dicha recta en el espacio proyectivo esta dada por \( T_p C: u_0x_0+u_1x_1+\cdots +u_nx_n=0\iff \left[\begin{array}{ccc}{x_0},{x_1},...,{x_n}\end{array}\right]
\begin{bmatrix}{u_0}\\{u_1}\\ \vdots\\{u_n}\end{bmatrix}=0 \).

Se supone que haciendo esto obtengo la ecuación cartesiana de la recta \( T_p C. \) Según mi Profesor, debemos hacerlo así... Mi duda es qué debemos reemplazar en dicha ecuación?

En primer lugar no se si has entendido mi propuesta de resolución. Es cosa tuya aclararlo.

Yo te propuse hallar el plano tangente a la superficie dada e intersecarlo son el plano de corte: eso te da la recta tangente a la cónica sección.

De todo lo visto llegamos a que en el plano proyectivo \( u=0 \) la ecuación de la tangente es \( z=0 \). Si quieres:

\( \begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)

Si quieres hallar la recta tangente directamente a partir de la cónica, entonces primero intersecamos la ecuación dada con \( u=0 \):

\( y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \)
\( u=0 \)

queda:

\( y^2+z^2-2xy+2yz=0 \)

Ahora la recta tangente en \( P=(0:1:-1) \) viene dada por:

\( \dfrac{\partial g}{\partial x}(P)x+\dfrac{\partial g}{\partial y}(P)y+\dfrac{\partial g}{\partial z}(P)z=0 \)

ó si quieres:

\( \begin{pmatrix}\dfrac{\partial g}{\partial x}(P)&\dfrac{\partial g}{\partial y}(P)&\dfrac{\partial g}{\partial z}(P)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=0 \)

donde \( g(x,y,z)=y^2+z^2-2xy+2yz \).

Saludos.