Autor Tema: ¿[texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx]?

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03 Enero, 2019, 11:08 pm
Respuesta #20

manooooh

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Hola

Estas cuestiones se ponen muy interesantes.

Pues entonces tendrías que aclarar a qué te refieres con una fórmula. En principio, yo entendía que te referías a que si, por ejemplo, defines \( f(x)=x^2+1 \), entonces \( x^2+1 \) es la fórmula que define a \( f \). Pero si escribo \( f(x)=g(x) \), no estoy diciendo nada sobre si \( f \) y \( g \) tienen o no fórmulas que las definen.

Pues... no recuerdo o no me enseñaron qué es una fórmula matemática. Supongo que es todo aquello que transforme unas variables de entrada en unas de salida.

Si decís \( f(x)=x^2+1 \) y luego preguntás si en \( f(x)=g(x) \) se usa o no fórmulas, claramente se puede hacer \( x^2+1=g(x) \), entonces \( g(x) \) vale \( x^2+1 \) y por el momento son funciones iguales. Habrá que ver dominio y codominio, pero en el preciso instante que definiste \( f(x)=x^2+1 \) ya estás dando una fórmula, es decir una expresión que convierte a \( x \) en otra cosa, \( f(x) \). Ahí usaste una fórmula.

De todas maneras recuerdo que me habías dicho en su momento que una definición NO se demuestra. Son convenciones lo que estamos discutiendo. Es decir, yo puedo definir una función como \( askfwkw \) y en mi concepción de función funcionará bien... ¿hasta cuándo? Pues cuando tenga que resolver un ejercicio de un libro y deba recapacitar si \( askfwkw \) es una definición que se adapta a los libros o a las preguntas del foro, que pueda usar para resolver esos ejercicios.

Pues, si quieres forzar a que una función determine su codominio, puedes decir que una función es una terna \( f=(G, A, B) \), donde \( G\subset A\times B \) es lo que usualmente se llama función de \( A \) en \( B \). De este modo, para que dos funciones \( f=(G, A, B) \) y \( f' = (G', A', B') \) es necesario que coincidan los dominios \( A=A' \), los codominios \( B=B' \) y que se cumpla \( f(x)=g(x) \) para todo \( x\in A \), donde \( f(x) \) se define como el único \( y\in B \) tal que \( (x, y)\in G \).

Supongo que te habrá faltado "(...) para que dos funciones \( f=(G, A, B) \) y \( f' = (G', A', B') \) resulten iguales (...)".

No es que quiero forzar a que una función determine su codominio (por lo raro que me parezca eso que no lo entiendo); digo que, dadas dos funciones, ¿cómo saber si son iguales? Ahí estás diciendo 1) dominios iguales, 2) codominios iguales, 3) fórmulas iguales, que es lo que me enseñaron y que acepto.

Pero es que no toda función admite una definición. (...)

¿Por ejemplo?

Eso también depende de qué entiendes por definición. (...)

¿Ahora también debo explicar qué tipo de ejemplo busco? :laugh:. Quiero un ejemplo de función que no admita definición; y la palabra "definición" la dijiste vos, por lo que creí que vos tendrías claro qué habías dicho.

Yo pensé que por "definición" te referías a fórmula; entonces "no toda función tiene una fórmula", y de ahí el ejemplo de dar una función a través de pares ordenados sin que pueda definirse una fórmula explícita (no al menos en operaciones fundamentales como la suma, resta, etc. Porque toda función, supongo, puede representarse mediante funciones a trozos, como veremos a continuación con un ejemplo muy bueno que diste), aunque por mi parte fue un intento fallido.

Por ejemplo, para tratar de contestar a "No toda función admite una definición" acabo de pensar un ejemplo como:

\( f:\{0,1,2\}\to\{0,1\}\mid f(x)=\begin{cases}(x,0)\wedge x=\{0,2\},\\(x,1)\wedge x=\{1\},\end{cases} \)

(aunque ahora pienso que puede que sea la identidad \( f(x)=x \)...). O sea, si nos ponemos duros (y aceptando que "definición" = "fórmula"/"regla de correspondencia") toda función puede ser representada mediante una función a trozos, y una función a trozos se caracteriza justamente por NO tener una fórmula en una sola línea, lo que podría considerarse como el (único por ahora) caso que yo encontré como ejemplo a esa frase tuya. Si pudiste comprender lo que quise decir, te invito a que menciones un caso que no sea una función partida pero que no admita una fórmula. Para mí sería muy interesante :).

Está claro que la función \( f(x)=x^2+1 \) está definida por la fórmula \( x^2+1 \). De todos modos, sigo sin tener claro cómo hay que entender eso que decías de que para que dos funciones sean iguales tienen que tener fórmulas iguales, porque, por ejemplo, \( f(x)=x^2 \) y \( g(x)=|x^2| \) están definidas por dos fórmulas distintas, pero son iguales.

¡Son fórmulas equivalentes (*)! Algo más fácil: \( f(x)=x \) y \( g(x)=x+1-1 \). Son iguales pues \( g(x)=x\cancel{+1-1}=x \) :).

En tu caso, por la definición de valor absoluto (que espero tengamos la misma definición jaja :laugh:) (y suponiendo que ambas funciones tienen dominios y codominios \( \Bbb R \)):

\( g(x)=\begin{cases}x^2\wedge x\geq0,\\(-x)^2\wedge x<0.\end{cases} \)

Pero \( \forall x<0:(-x)^2=x^2 \), de donde ahora

\( g(x)=g'(x)=\begin{cases}x^2\wedge x\geq0,\\x^2\wedge x<0.\end{cases} \)

Pasando al mundo de la Lógica, \( g=\{x\in\Bbb R\mid(x^2\wedge x\geq0)\vee(x^2\wedge x<0)\}\underbrace=_{\text{Distributiva}}\{x\in\Bbb R\mid x^2\wedge(x\geq0\vee x<0)\}=\{x\in\Bbb R\mid x^2\wedge-\infty<x<\infty\}=x^2=f(x) \). Queda así demostrado que \( f(x)=g(x)\;\square \).

Ahora, una función como

\( f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{si}& x\geq 0\\ 1-x^2 & \text{si}& x\leq 0\end{cases} \)

¿está definida por una fórmula? Podríamos entender que sí si la escribimos como

\( f=\{(x,y)\in \mathbb R^2\mid (x\geq 0\land y=x^2+1)\lor (x\leq 0\land y=1-x^2)\} \)

Entonces, la fórmula que la define es \( (x\geq 0\land y=x^2+1)\lor (x\leq 0\land y=1-x^2) \).

Es lo que me pregunto; si admitimos que una función se compone de las 3 partes, una función a trozos es una función, por lo que tendrá también 3 partes. Por eso lo de la frase "No toda función admite una definición", admitiendo "definición" = "fórmula" está mal; por tanto incluso las funciones a trozos tienen una fórmula. Pero soy incapaz de probarlo.

Ahora supongamos que digo: sea \( A\subset \mathbb R \) un conjunto y consideremos la función

\( f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in A\\ 0 & \text{si}& x\notin A\end{cases} \)


¿Está \( f \) definida por una fórmula? Lo digo porque \( f \) está definida en términos de un conjunto \( A \) que no he definido. ¿Vale eso como definición de \( f \)? Si te digo "llamo x al padre de cierto y" ¿he definido a una persona?

Si me dices que sí en un sentido amplio, entonces toda función está definida por una fórmula, porque siempre podemos decir que \( f(x)=  \) el \( y \) que cumple \( (x, y)\in f \), pero esto es una "definición" circular. ¿Vale, no obstante, la anterior (la de la \( A \)) porque no es circular? ¿Consideras que en ese caso \( f \) está definida por una fórmula aunque aparezca en ella una \( A \) no definida?

No sé por qué te "olvidás" del dominio y codominio, si estás de acuerdo que una función se compone de dominio y codominio.

\( A \) es el dominio, y punto. No tendría sentido definir una función donde hayan números que no pertenezcan al dominio. Es como definir

\( z:Z\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid z(x)=\begin{cases}2x\wedge x=\sqrt{-1},\\2x+1\wedge x\neq\sqrt{-1}.\end{cases} \)

En ningún caso se dará \( \sqrt{-1}\in Z\subseteq\Bbb R \), por lo que la primera rama es un ¿conjunto vacío?, y sólo tiene sentido entonces decir que \( z:Z\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid z(x)=2x+1 \). Dominio: \( Z \) (que por ser una función afín será \( \Bbb R \)), codominio: \( \Bbb R \), fórmula: \( 2x+1 \).

Naturalmente, podría darse el caso de que el conjunto \( A \) pudiera definirse a su vez por una fórmula, por ejemplo, \( A=[0,1] \), y entonces, incorporando esa fórmula a la definición de \( f \), tendríamos una definición de \( f \) mediante una fórmula, pero, ¿y si digo: sea \( A \) un subconjunto de \( \mathbb R \) no medible Lebesgue? (Eso significa un conjunto que no tiene definida una longitud.) Puede probarse que existen conjuntos así, pero es imposible definir ninguno de ellos mediante una fórmula. En tal caso, si \( f \) está definida a partir de \( A \) y no existen fórmulas que definen a \( A \), ¿dirías que \( f \) está definido por una fórmula?

Y, aun en el supuesto de que me contestes que sí a todo, está el siguiente argumento general (...)

No. Repito, estamos hablando en el mundo de Cálculo de variable real. Yo nunca he tratado con conjuntos no medible Lebesgue. Ahí veo por qué es tán difícil generalizar (y peor aun, hiperformalizar) cualquier concepto matemático. Igual no pierdo las esperanzas que todo esto algún día alguien pueda hiperformalizarlo y que ocupe 50000 páginas de código ininteligible. En este momento la matemática estará a salvo y estas preguntas serán del tipo "Para contestarte remitite a la página 781".

Cualquier función finita es definible mediante una fórmula. (...)

¡Ajá! Al fin lo admitiste.

Igual no entiendo qué sería una "función infinita", ¿acaso este concepto es igual al de "función finita" pero aceptando \( -\infty \) e \( \infty \) como elementos de \( \Bbb R \), entonces ahora es \( \Bbb R^* \)? En cualquier caso, ¿podrías poner un ejemplo de "función infinita", por favor?

(...) Para la última pregunta me remito a lo dicho más arriba.

Es que tu ejemplo no es válido porque el mundo que estudié es de unas cuantas pocas funciones de variable real. Si eso de Lebesgue está contenido en los contenidos de Análisis I/II pues entonces tendrás razón, aunque no lo haya estudiado; pero si eso de Lebesgue es más amplio que las funciones de variable real entonces no es válido porque el mundo en el que estoy es chiquito.

Pero esa distinción está en tu mente, no en la función o en el punto. Es como si dices que hay "personas genéricas" como "alguien" y personas concretas como "Juan". Hay personas y punto, con independencia de que puedas refererite a ellas con pronombres genéricos o con nombres propios.

¿Entonces te parece totalmente irrelevante distinguirlo por el resto de elementos?

No entiendo la pregunta.

Si te parece irrelevante destacar un nombre genérico de uno particular; al evitar esa distinción diremos que \( f(x) \) y \( f(x_0) \) son elementos. ¿Te parece irrelevante, entonces, decir que \( f(x) \) es un elemento genérico y \( f(x_0) \) es un elemento particular de \( f(x) \), con \( x_0 \) un número concreto?

¿Qué tengo que dejar claro? ¿Qué debo aclarar cuando digo \( f(x)\geq0 \) o si quiero \( f(x)>0 \)?

Pues ahí está. Que para mí (y para todo el mundo, creo) está completamente claro, por lo que no entiendo qué objeciones encuentras.

No está nada claro. En Informática, más concretamente en Base de Datos, si definís que un objeto está en dos o tres o cinco tablas distintas, cuando el programa solicite ese objeto dará error pues no sabe dónde buscarlo, a pesar que esté bien definido en cada una de las tablas. Tiene un nombre de error pero no lo recuerdo ahora.

Algo que dices es ambiguo cuando no está claro lo que quieres decir, cuando se puede interpretar de formas distintas. Que un mismo elemento esté en varios conjuntos al mismo tiempo no es ninguna ambigüedad siempre que esté claro cuándo pertenece y cuándo no a cada conjunto. ¿Qué ambigüedad hay en que el \( 3 \) esté al mismo tiempo en \( [2,3] \) y en \( [3,4] \)? Para eso creó Dios la intersección, para hablar de los elementos que están en dos conjuntos al mismo tiempo.

No estamos hablando de intersecciones.

Lo mismo pasa aquí con \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), con \( f(x)=0 \): si preguntasen "¿A qué conjunto pertenece el \( 0 \)?", ¡dirías "Ninguno"! Lo más razonable es decir "Al conjunto de ceros", pero con las desigualdades en sentido amplio también es "A los conjuntos de positividad y negatividad de \( f \)", lo que sería un tanto ambiguo. Lo más razonable es que pertenezca a \( C^0 \).

No tiene nada de ambiguo. Sería ambiguo si no estuviera claro a qué conjuntos pertenece y a cuáles no.

Tiene todo de ambiguo; en Informática definir un objeto en tres lugares distintos o no definirlo es, supongo, sintácticamente igual; el programa no sabrá dónde buscarlo. Análogamente pasa acá.

Si querés mantener \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), ¿para qué nos esforzaríamos en encontrar las tan preciadas raíces de una función?

Una función es positiva cuando cumple lo que hayas querido definir como función positiva. Si en un libro lees "la función f es positiva" y ves que algo de lo que dice no te acaba de cuadrar, tendrás que mirar si unas páginas más atrás ha definido función positiva de forma distinta de la que tú dabas por supuesta. Y puedes encontrarte con que diga: "llamaremos funciones positivas a las que son siempre mayores que 0" o bien "llamaremos funciones positivas a las que son siempre mayores o iguales que 0" y, si lo ha dejado bien claro, todo lo que diga luego que sea coherente con su definición estará libre de ambigüedades, porque no habrá ninguna duda de lo que quiere decir con "función positiva".

No vamos a estar nunca de acuerdo hasta que definamos a qué conjunto pertenece el \( 0 \). Para mí es \( 0=\{\} \); luego \( |\{\}|=0 \) y así \( 0 \) no es positivo ni negativo, por más que \( \{\}\subseteq A \) para cualquier conjunto \( A \).

¿No es rigurosamente cierto que el conjunto vacío es abierto y cerrado?

Si querés que la hipótesis sea falsa cualquier tesis será válida. No sé si este modo de resolver las cosas sea rigurosamente cierto, pero recuerdo que me dijeron eso del vacío en la segunda clase de Análisis II, donde vimos una porción minúscula de Topología para dar paso a funciones de varias variables. Supongo que si lo decís es porque es riguroso (por convenio).

Spoiler
Leí en cierta ocasión una historia de Raymond Smullyan sobre alguien que soñó que se le apareció Platón y le dijo: "Resúmeme tu filosofía en 15 minutos", Platón hizo un esfuerzo y logró resumírsela, y entonces el hombre que estaba soñando le replicó algo a lo que Platón no supo contestar, se mostró confuso y desapareció. Luego se le apareció Aristóteles y se repitió la escena. De nuevo, ante la misma objeción, Aristóteles no supo rebatirla y desapareció, y así con toda una sucesión de filósofos famosos. De repente, el hombre se despierta en medio de la noche y piensa: ¡He encontrado una objeción capaz de refutar todas las teorías filosóficas conocidas! Temiendo que se le olvidara, se levantó de la cama y la anotó en un papel. Volvió a dormir y, al día siguiente, recordaba vagamente el sueño que había tenido, y no recordaba bien la objeción que había encontrado, pero se acordó de que la había anotado y corrió a mirar el papel. La objeción era:
[cerrar]

Spoiler
Eso lo dirás tú.
[cerrar]

Pero todo eso que dices es arbitrario. No existe nada llamado "estado de un número". Los números son números y pertenecen a los conjuntos a los que pertenecen, y no hay ningún problema en que un número pertenezca a varios conjuntos. No hay problema en que el cero sea el único número positivo y negativo (si se opta por definir estos conceptos para que así sea) igual que no hay ningún problema en que el 2 sea el único número primo y par.

No entendí los spoilers.

No dije libros, dije textos, lo cual incluye apuntes, cosas escritas en la pizarra y cualquier otra cosa. No veo qué pintan las universidades en todo esto. En cualquier escrito matemático (sea un libro, sea lo que un profesor pone en la pizarra, sea lo que sea) será válido escribir \( f \) o \( f(x) \) cuando los convenios establecidos (tácita o explícitamente) por el que lo escribe así lo permiten. Lo único importante es que haya unos criterios que permitan interpretar sin duda alguna lo que se quiere decir al escribir una cosa o la otra.

¿Nunca te pasó que al principio te encontrabas con la notación que tu profesor de matemáticas de secundario te encantaba, pero luego de estudiar la Lógica pesada por apasionante que tuviste, digas "La notación en la secundaria era una porquería"? Con esto me refiero a que son tantas notaciones distintas que trato de buscar la mejor notación; la más rigurosa dentro del contexto de una universidad. Porque en el mundo de la Lógica, cuando querés definir algo, supongo que necesitás no sólo de "\( f \) o \( f(x) \)", sino de muchas definiciones previas que hagan que esa pregunta sea resuelta.

Saludos



(*): Digo "equivalentes" y no "iguales" (o "idénticas") porque entiendo al primero como todo aquello que pueda derivarse al segundo mediante operaciones algebraicas. Por ejemplo, \( f(x)=x \) es equivalente a \( g(x)=x+2-2 \) pues \( g(x)=x+0=x \), mientras que \( f(x)=x \) y \( g(x)=x \) son iguales porque son idénticamente iguales; es una trivialidad. Es decir, la palabra "equivalente" es convertible a "igual"/"idéntica"/"trivial" para mí, aunque es algo para no preocuparse en este hilo. Espero que también lo compartas.

03 Enero, 2019, 11:46 pm
Respuesta #21

manooooh

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Hola

Ahora veo que feriva escribe:

Yo suelo distinguir entre dos niveles que aparecen en el asunto:

Aunque se pueda hablar de niveles, dimensiones u otras cosas, yo creo que aquí la duda planteada es más simple. Una función supone un procedimiento, al que podemos llamar coloquialmente como queramos (yo he dicho antes fórmula, “forma”, cuenta... pero podemos decir algoritmo, operaciones... no sé). Y el procedimiento es tal que involucra a una o varias variables que se “transforman” en otras cosas mediante eso que llamamos función.

Pero de igual manera que si tengo un conjunto “A” no vacío, no escribimos normalmente A(x) para decir “Oiga, que tiene elementos y además se llaman “x” porque les he puesto ese nombre”, tampoco, en muchas ocasiones, va a ser necesario escribir f(x); ya va implícito que una función, por como está definida, funciona con una variable independiente o las que sean; luego si la variable no hace falta para describir algo, casi es redundante ponerla.

Con otro ejemplo, si hablamos de la operación suma, en general basta con esto “+”, no hace falta escribir “+(a,b...)”; porque ya se supone que sumaremos algo. 

Es cierto que las letras “x,y,z”, en gran parte de las ocasiones, hacen alusión a los números reales de los ejes, pero también existen las funciones de tiempo, donde solemos usar “t”, otras veces la variable es un ángulo y usamos letras griegas... y un mismo procedimiento “f”, o fórmula cerrada cuando lo sea de la función, puede servir para cosas que solemos llamar de distinta manera; el dominio no tiene la obligación de llamarse “equis” ni “y” ni nada en especial, ya sean números reales o lo que sea. El viento se puede llevar un sombrero, un paraguas, una cometa... y no depende de esas cosas que se lleva para ser por sí mismo el viento.
Pues una función, lo mismo, igual respecto de las letras que puedan representar sus variables, esto, “f”, tiene suficiente entidad; y, si no es necesario, no necesita adornos. Porque, de hecho, la propia “x” podría ser a su vez otro función que dependiera de otra variable; y a su vez ésa podría depender de otra... y nadie escribirá (si no es completamente necesario) una composición de funciones con 14 variables involucradas; porque sería un coñazo. Y éste, precisamente, es el argumento para escribir “f” (cuando no sea necesario añadir la variable) porque es la misma cuestión exactamente; con menos variables, pero la misma. Entonces, ¿por qué en este caso tiene que ir pegado esto (x) -con una letra particular, para mayor mal- como si fuera una parte de la morfología del signo gráfico que usamos para una función? Avisado que "f" es una función, si no hay que mostrar nada más en particular, con eso basta.  

Dice que, en resumen, decir \( f \) en vez de \( f(x) \) es más recomendable porque no depende del contexto.

Me parece una justificación bastante razonable. ¿Carlos (o cualquier otro), están de acuerdo con esa justificación?

Saludos

04 Enero, 2019, 12:34 am
Respuesta #22

feriva

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Hola

Ahora veo que feriva escribe:

Spoiler

Yo suelo distinguir entre dos niveles que aparecen en el asunto:

Aunque se pueda hablar de niveles, dimensiones u otras cosas, yo creo que aquí la duda planteada es más simple. Una función supone un procedimiento, al que podemos llamar coloquialmente como queramos (yo he dicho antes fórmula, “forma”, cuenta... pero podemos decir algoritmo, operaciones... no sé). Y el procedimiento es tal que involucra a una o varias variables que se “transforman” en otras cosas mediante eso que llamamos función.

Pero de igual manera que si tengo un conjunto “A” no vacío, no escribimos normalmente A(x) para decir “Oiga, que tiene elementos y además se llaman “x” porque les he puesto ese nombre”, tampoco, en muchas ocasiones, va a ser necesario escribir f(x); ya va implícito que una función, por como está definida, funciona con una variable independiente o las que sean; luego si la variable no hace falta para describir algo, casi es redundante ponerla.

Con otro ejemplo, si hablamos de la operación suma, en general basta con esto “+”, no hace falta escribir “+(a,b...)”; porque ya se supone que sumaremos algo. 

Es cierto que las letras “x,y,z”, en gran parte de las ocasiones, hacen alusión a los números reales de los ejes, pero también existen las funciones de tiempo, donde solemos usar “t”, otras veces la variable es un ángulo y usamos letras griegas... y un mismo procedimiento “f”, o fórmula cerrada cuando lo sea de la función, puede servir para cosas que solemos llamar de distinta manera; el dominio no tiene la obligación de llamarse “equis” ni “y” ni nada en especial, ya sean números reales o lo que sea. El viento se puede llevar un sombrero, un paraguas, una cometa... y no depende de esas cosas que se lleva para ser por sí mismo el viento.
Pues una función, lo mismo, igual respecto de las letras que puedan representar sus variables, esto, “f”, tiene suficiente entidad; y, si no es necesario, no necesita adornos. Porque, de hecho, la propia “x” podría ser a su vez otro función que dependiera de otra variable; y a su vez ésa podría depender de otra... y nadie escribirá (si no es completamente necesario) una composición de funciones con 14 variables involucradas; porque sería un coñazo. Y éste, precisamente, es el argumento para escribir “f” (cuando no sea necesario añadir la variable) porque es la misma cuestión exactamente; con menos variables, pero la misma. Entonces, ¿por qué en este caso tiene que ir pegado esto (x) -con una letra particular, para mayor mal- como si fuera una parte de la morfología del signo gráfico que usamos para una función? Avisado que "f" es una función, si no hay que mostrar nada más en particular, con eso basta.  

Dice que, en resumen, decir \( f \) en vez de \( f(x) \) es más recomendable porque no depende del contexto.

[cerrar]

Me parece una justificación bastante razonable. ¿Carlos (o cualquier otro), están de acuerdo con esa justificación?

Saludos

Siempre y cuando no se detalle algo en particular que esté relacionado; eso que quede claro.
Si hacemos esto  \( f=x+2 \), a mí no me gusta, porque “f” es más general y la estoy escribiendo igualada a algo con una letra particular; en  un caso así yo pondría siempre \( f(x)=x+2 \). Es sólo un ejemplo entre muchas cosas.

Saludos y buenas noches.

04 Enero, 2019, 12:47 am
Respuesta #23

Carlos Ivorra

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Pues entonces tendrías que aclarar a qué te refieres con una fórmula. En principio, yo entendía que te referías a que si, por ejemplo, defines \( f(x)=x^2+1 \), entonces \( x^2+1 \) es la fórmula que define a \( f \). Pero si escribo \( f(x)=g(x) \), no estoy diciendo nada sobre si \( f \) y \( g \) tienen o no fórmulas que las definen.

Pues... no recuerdo o no me enseñaron qué es una fórmula matemática. Supongo que es todo aquello que transforme unas variables de entrada en unas de salida.

Si decís \( f(x)=x^2+1 \) y luego preguntás si en \( f(x)=g(x) \) se usa o no fórmulas, claramente se puede hacer \( x^2+1=g(x) \), entonces \( g(x) \) vale \( x^2+1 \) y por el momento son funciones iguales. Habrá que ver dominio y codominio, pero en el preciso instante que definiste \( f(x)=x^2+1 \) ya estás dando una fórmula, es decir una expresión que convierte a \( x \) en otra cosa, \( f(x) \). Ahí usaste una fórmula.

No. Estás mezclando lo que pretendían ser dos ejemplos independientes. Esto venía a cuento de esto otro:

Serán iguales si \( f(x)=g(x) \) para todo \( x\in D_f \), si no, pues no, claro.

Allí ya estás dando una fórmula.

Y lo que te decía es que supongo que cuando hablas de fórmulas te refieres a algo del estilo de \( f(x)=x^2+1 \), pero si sólo digo lo que decía en esa cita, es decir, si digo que dos funciones son iguales cuando tienen el mismo dominio (eso estaba dicho un poco más arriba) y además \( f(x)=g(x) \), entonces no estoy usando ninguna fórmula, al menos, no en el sentido en el que pareces estar hablando de fórmulas que definen una función.

De todas maneras recuerdo que me habías dicho en su momento que una definición NO se demuestra. Son convenciones lo que estamos discutiendo. Es decir, yo puedo definir una función como \( askfwkw \) y en mi concepción de función funcionará bien... ¿hasta cuándo? Pues cuando tenga que resolver un ejercicio de un libro y deba recapacitar si \( askfwkw \) es una definición que se adapta a los libros o a las preguntas del foro, que pueda usar para resolver esos ejercicios.

No entiendo qué quieres decir con ese ejemplo. Obviamente no llegarás muy lejos si decides llamar funciones a los números complejos y plátanos a las funciones, porque así nadie te entenderá, pero otra cosa es si definimos una función de modo que una función determine su codominio o la definimos de forma que no lo haga (que es lo más habitual), ahí tienes dos alternativas inteligibles sobre las que no se puede decir cuál es correcta y cuál no, sino a lo sumo cuál es más conveniente y, en cualquier caso, no podrás evitar que cada autor use la que más le guste a él y tendrás que adaptarte a ello cuando leas sus textos.

No es que quiero forzar a que una función determine su codominio (por lo raro que me parezca eso que no lo entiendo); digo que, dadas dos funciones, ¿cómo saber si son iguales? Ahí estás diciendo 1) dominios iguales, 2) codominios iguales, 3) fórmulas iguales, que es lo que me enseñaron y que acepto.

Pero eso es así con esa definición de funciones como ternas, que no es la usual. La usual es definir las funciones como conjuntos de pares, y entonces una función determina su dominio, pero no su codominio.

¿Ahora también debo explicar qué tipo de ejemplo busco? :laugh:. Quiero un ejemplo de función que no admita definición; y la palabra "definición" la dijiste vos, por lo que creí que vos tendrías claro qué habías dicho.

Pero no te he pedido ninguna explicación. Sólo he advertido que la respuesta depende de lo que entendamos por definición, y luego te he puesto varios ejemplos.

Yo pensé que por "definición" te referías a fórmula; entonces "no toda función tiene una fórmula", y de ahí el ejemplo de dar una función a través de pares ordenados sin que pueda definirse una fórmula explícita (no al menos en operaciones fundamentales como la suma, resta, etc.

Pues estamos jugando al ratón y al gato, porque soy yo el que trata de adaptarse a lo que tú puedas entender por definición o por fórmula. Lo de "operaciones fundamentales" todavía es más vago. Según qué entiendas por operaciones fundamentales será más fácil o más difícil ponerte un ejemplo.

Porque toda función, supongo, puede representarse mediante funciones a trozos,

Pues eso también dependerá de lo general que sea tu concepto de "función a trozos".

O sea, si nos ponemos duros (y aceptando que "definición" = "fórmula"/"regla de correspondencia")

Bien, eso ya es una concreción.

toda función puede ser representada mediante una función a trozos, y una función a trozos se caracteriza justamente por NO tener una fórmula en una sola línea, lo que podría considerarse como el (único por ahora) caso que yo encontré como ejemplo a esa frase tuya. Si pudiste comprender lo que quise decir, te invito a que menciones un caso que no sea una función partida pero que no admita una fórmula. Para mí sería muy interesante :).

Entonces, ¿estás diciendo que no consideras que una función a trozos esté definida por una fórmula? Pues ya es un ejemplo. Te había puesto otro ejemplo más sofisticado, pero no has entendido lo que quería decir. Te lo pondré de otra manera. Sea \( A\subset \mathbb R \) y considera la función \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) dada por \( f = (A\times \{1\})\cup ((\mathbb R\setminus A)\times \{0\}) \). Esto es lo mismo que

\( f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in A\\ 0 & \text{si}& x\notin A\end{cases} \)

Así es como te la había definido en mi mensaje anterior, pero al parecer habías entendido que \( A \) era el dominio, y no era ésa la idea. ¿Es esto para ti una función a trozos? No sé si en tu concepto de función a trozos no sólo la función en cada trozo tiene que estar definida por una fórmula, sino también los subconjuntos tienen que estar definidos por fórmulas (algo así como "si \( x\geq 2 \)", etc. En este caso, los dominios de los trozos son \( A \) y \( \mathbb R\setminus A \), y te planteaba el caso en que \( A \) no pudiera ser definido por ninguna fórmula (como es el caso de un conjunto no medible Lebesgue, por ejemplo). ¿Es eso una función a trozos? ¿Es \( f \) definible por una fórmula (o una función a trozos) si \( A \) no es definible por una fórmula?

Está claro que la función \( f(x)=x^2+1 \) está definida por la fórmula \( x^2+1 \). De todos modos, sigo sin tener claro cómo hay que entender eso que decías de que para que dos funciones sean iguales tienen que tener fórmulas iguales, porque, por ejemplo, \( f(x)=x^2 \) y \( g(x)=|x^2| \) están definidas por dos fórmulas distintas, pero son iguales.

¡Son fórmulas equivalentes (*)! Algo más fácil: \( f(x)=x \) y \( g(x)=x+1-1 \). Son iguales pues \( g(x)=x\cancel{+1-1}=x \) :).

Claro, pero tu definición de igualdad de funciones decía que, para ser iguales, sus fórmulas deben ser iguales, y yo te decía que fórmulas distintas (equivalentes) pueden definir la misma función, luego la igualdad de funciones no exige que las fórmulas que las definan sean iguales. Y puede no ser trivial determinar si dos fórmulas distintas definen o no la misma función.

Si defino:

\( f(x)= \) el mínimo número entero par \( n>x \) que no es suma de dos primos o \( 0 \) si no existe tal \( n \)

¿Esa función está definida por una fórmula? Porque la función \( g(x)=0 \) sí que está definida por una fórmula y, si la conjetura de Goldbach es cierta, ambas funciones son la misma.

...Queda así demostrado que \( f(x)=g(x)\;\square \).

No según tu definición, que pedía que las fórmulas fueran iguales.

Ahora, una función como

\( f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{si}& x\geq 0\\ 1-x^2 & \text{si}& x\leq 0\end{cases} \)

¿está definida por una fórmula? Podríamos entender que sí si la escribimos como

\( f=\{(x,y)\in \mathbb R^2\mid (x\geq 0\land y=x^2+1)\lor (x\leq 0\land y=1-x^2)\} \)

Entonces, la fórmula que la define es \( (x\geq 0\land y=x^2+1)\lor (x\leq 0\land y=1-x^2) \).

Es lo que me pregunto; si admitimos que una función se compone de las 3 partes, una función a trozos es una función, por lo que tendrá también 3 partes. Por eso lo de la frase "No toda función admite una definición", admitiendo "definición" = "fórmula" está mal; por tanto incluso las funciones a trozos tienen una fórmula. Pero soy incapaz de probarlo.

No te sigo. Si quieres sostener que toda función admite una fórmula, para el caso de una función a trozos como ésta, la fórmula es la que digo en el texto mio que cito aquí mismo. ¿Qué es lo que quieres demostrar?

Por otro lado, lo de que "una función se compone de las tres partes" es algo que yo nunca afirmaría. Una función es un conjunto de pares ordenados (tal que no contiene pares \( (x,y) \) y \( (x, z) \) con \( y\neq z \)) y ya está. Sin partes, ni fórmulas, ni historias.

No sé por qué te "olvidás" del dominio y codominio.

\( A \) es el dominio, y punto. No tendría sentido definir una función donde hayan números que no pertenezcan al dominio.

No, no. El dominio de la función que definía pretendía ser \( \mathbb R \). Debí explicitarlo. He vuelto sobre ello más arriba.

No. Repito, estamos hablando en el mundo de Cálculo de variable real. Yo nunca he tratado con conjuntos no medible Lebesgue.

Pero ahí estás imponiendo una restricción muy tramposa. Es como si te digo que existen funciones sin primitiva elemental, como \( e^{x^2} \), y tú me dices que no, que toda función tiene primitiva elemental, porque tú llamas funciones únicamente a las funciones que aparecen en tu lista de problemas de cálculo de primitivas. Entonces, claro, como esos problemas están puestos para que todas las integrales se puedan calcular, seguro que "toda función" tiene primitiva elemental.

Igualmente, si en tu asignatura "Cálculo de variable real" sólo te muestran funciones definidas por fórmulas, puedes decir que "toda función" es definible mediante una fórmula.

Cualquier función finita es definible mediante una fórmula. (...)

¡Ajá! Al fin lo admitiste.

He dicho función finita, es decir, función que contenga sólo un número finito de pares ordenados o, equivalentemente, función definida sobre un conjunto finito, que era el tipo de funciones que estabas usando como ejemplo justo antes de que yo dijera eso, pero son una clase de funciones muy pobre.

Igual no entiendo qué sería una "función infinita", ¿acaso este concepto es igual al de "función finita" pero aceptando \( -\infty \) e \( \infty \) como elementos de \( \Bbb R \), entonces ahora es \( \Bbb R^* \)? En cualquier caso, ¿podrías poner un ejemplo de "función infinita", por favor?

Cualquier función definida sobre un dominio infinito, o sea, todas las funciones que te encontrarás en "Cálculo de una variable".

Es que tu ejemplo no es válido porque el mundo que estudié es de unas cuantas pocas funciones de variable real. Si eso de Lebesgue está contenido en los contenidos de Análisis I/II pues entonces tendrás razón, aunque no lo haya estudiado; pero si eso de Lebesgue es más amplio que las funciones de variable real entonces no es válido porque el mundo en el que estoy es chiquito.

La función que te ponía era una función \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \). Si por función entiendes "función que me puede aparecer en mi asignatura", entonces probablemente sea cierto que toda función admite una fórmula, igual que todas las funciones que te encuentres en los ejercicios de cálculo de primitiva tendrán una primitiva elemental.

Si te parece irrelevante destacar un nombre genérico de uno particular; al evitar esa distinción diremos que \( f(x) \) y \( f(x_0) \) son elementos. ¿Te parece irrelevante, entonces, decir que \( f(x) \) es un elemento genérico y \( f(x_0) \) es un elemento particular de \( f(x) \), con \( x_0 \) un número concreto?

La notación matemática usual introduce muchos aspectos psicológicos que no tienen un equivalente formalizable, y está bien que así sea, como cuando decimos Sea \( y=f(x) \) una función, con lo que estamos introduciendo a la vez el convenio de la función asigna "una \( y \)" a "cada \( x \)", pero formalmente en cualquier momento puedes usar cualquier variable para nombrar cualquier cosa, con tal de que no uses una misma variable para nombra a dos cosas distintas. Lo de distinguir entre \( x \) y \( x_0 \) es también una notación "psicológica", que está bien en la práctica, pero que no puedes teorizar sobre ella, porque teóricamente la distinción no existe. El único rastro que dejan estas ideas cuando formalizas la lógica matemática es que hay variables sobre las que no puedes generalizar en un razonamiento y otras sobre las que sí que puedes.

No está nada claro. En Informática, más concretamente en Base de Datos, si definís que un objeto está en dos o tres o cinco tablas distintas, cuando el programa solicite ese objeto dará error pues no sabe dónde buscarlo, a pesar que esté bien definido en cada una de las tablas. Tiene un nombre de error pero no lo recuerdo ahora.

Estás mezclando cosas sin relación alguna. El \( 0 \) es un objeto matemático y no hay que ir a buscarlo a ninguna parte, y pertenece a infinitos conjuntos. No hay nada de particular en que pertenezca a \( ]-\infty, 0] \) y también a \( [0,+\infty[ \), ni tampoco pasa nada si alguien decide llamar negativos a los elementos del primer conjunto y positivos a los del segundo.

No estamos hablando de intersecciones.

Sí que lo estamos haciendo. Tú dices que no puede ser que el 0 pertenezca a la vez al conjunto de los números positivos y al de los negativos, y yo te digo que eso es lo que toda la vida se ha llamado intersección de dos conjuntos: el conjunto de los elementos comunes a dos conjuntos, y no es nada raro que dos conjuntos tengan intersección no vacía.

Lo mismo pasa aquí con \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), con \( f(x)=0 \): si preguntasen "¿A qué conjunto pertenece el \( 0 \)?", ¡dirías "Ninguno"! Lo más razonable es decir "Al conjunto de ceros", pero con las desigualdades en sentido amplio también es "A los conjuntos de positividad y negatividad de \( f \)", lo que sería un tanto ambiguo. Lo más razonable es que pertenezca a \( C^0 \).

Me pierdo. ¿Por qué el \( 0 \) tiene que pertenecer al conjunto de ceros? ¿Quieres decir "a qué conjunto pertenecen los \( x \) que tienen imagen \( 0 \)? Si es así, evidentemente pertenecen tanto al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\geq 0 \), como al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\leq 0 \), como al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)=0 \).

Es como si tienes un plano dividido en dos semiplanos. ¿A cuál pertenece un punto de la recta frontera? Si consideras los semiplanos cerrados, pertenecerá a ambos semiplanos, pero si los consideras abiertos, no pertenecerá a ninguno, y no pasa nada.

Tiene todo de ambiguo; en Informática definir un objeto en tres lugares distintos o no definirlo es, supongo, sintácticamente igual; el programa no sabrá dónde buscarlo. Análogamente pasa acá.

Pero es que nadie está definiendo el \( 0 \) mediante una función, ni mediante si es positivo o negativo. ¿Supone un problema para un ordenador que el \( 3 \) sea primo y sea impar? ¿Están todos los ordenadores del mundo colgados porque no saben si buscar al \( 3 \) en el conjunto de los primos o en el de los impares? ¿No puede el pobre \( 3 \) estar en los dos a la vez?

Si querés mantener \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), ¿para qué nos esforzaríamos en encontrar las tan preciadas raíces de una función?

¿Pero qué es mantener \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \)? Dada una función, es incuestionable que existe el conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\geq0 \) y existe el conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\leq 0 \), y la intersección de ambos es el conjunto de los ceros de la función. ¿Cuál es el problema?

No vamos a estar nunca de acuerdo hasta que definamos a qué conjunto pertenece el \( 0 \). Para mí es \( 0=\{\} \); luego \( |\{\}|=0 \) y así \( 0 \) no es positivo ni negativo, por más que \( \{\}\subseteq A \) para cualquier conjunto \( A \).

Y yo te digo que no hay ningún problema en que definas los números positivos como los de \( ]0,+\infty[ \) y los números negativos como los de \( ]-\infty, 0] \), pero que si te encuentras un libro cuyo autor considera al \( 0 \) como positivo y negativo, pues es otra definición igualmente coherente y viable, y no le podrás reprochar nada. No tiene nada que ver cómo definas el 0 (que, por cierto, ninguna definición estándar de los números reales hace que el \( 0 \) sea el conjunto vacío) o cómo definas lo que entiendes por número positivo.

¿No es rigurosamente cierto que el conjunto vacío es abierto y cerrado?

Si querés que la hipótesis sea falsa cualquier tesis será válida. No sé si este modo de resolver las cosas sea rigurosamente cierto, pero recuerdo que me dijeron eso del vacío en la segunda clase de Análisis II, donde vimos una porción minúscula de Topología para dar paso a funciones de varias variables. Supongo que si lo decís es porque es riguroso (por convenio).

Lo que te decía no tiene nada que ver con las peculiaridades típicas del vacío. Te puedo modificar la pregunta: ¿No es rigurosamente cierto que \( \mathbb R \) es abierto y cerrado en \( \mathbb R \)? La respuesta es que sí que lo es. Y te lo decía porque, del mismo modo que no hay ningún problema en que \( \mathbb R \) sea a la vez abierto y cerrado, tampoco hay ningún problema en definir "positivo" y "negativo" de modo que el \( 0 \) sea ambas cosas.

Yo personalmente no usaría ninguna definición fija, sino que si en un contexto, voy a habla a menudo de números \( \geq 0 \), diría "llamaré números positivos a los \( \geq 0 \)", pero si en otro contexto voy a hablar a menudo de números \( x>0 \) y resulta que el \( 0 \) me molesta, diré "llamaré números positivos a los \( >0 \)". Y no pasa nada por usar un convenio aquí y otro allí.

No entendí los spoilers.

Es que cuando leí lo de

Un número no puede tener dos estados al mismo tiempo. No es binario, como ocurre en informática. Que el \( 0 \) sea par está bien, pero que \( 0 \) sea positivo y negativo al mismo tiempo no. Incluso si decís "positivo o negativo" tampoco; el \( 0 \) es un número que cumple la propiedad de no tener signo.

Lo primero que me vino a la mente fue la refutación universal del cuento de Smullyan. Eso de que "un número no puede tener dos estados al mismo tiempo" es filosofía, y se refuta con un simple "eso lo dirás tú". No hay ningún problema en definir "positivo" y "negativo" de modo que el 0 sea ambas cosas, y ningún ordenador se colapsará por ello, puedes estar seguro, como no se colapsan porque el 6 sea múltiplo de 2 y de 3 al mismo tiempo. Sencillamente, porque cuando un ordenador "busca" al 6, no lo busca ni en el conjunto de los múltiplos de 2, ni en el de los múltiplos de 3.

¿Nunca te pasó que al principio te encontrabas con la notación que tu profesor de matemáticas de secundario te encantaba, pero luego de estudiar la Lógica pesada por apasionante que tuviste, digas "La notación en la secundaria era una porquería"?

No. Cada notación es adecuada para su propósito.

Con esto me refiero a que son tantas notaciones distintas que trato de buscar la mejor notación; la más rigurosa dentro del contexto de una universidad.

Pero no puedes distinguir en términos de rigor lo que no son más que elecciones arbitrarias igualmente rigurosas, como definir los números positivos de un modo u otro.

Porque en el mundo de la Lógica, cuando querés definir algo, supongo que necesitás no sólo de "\( f \) o \( f(x) \)", sino de muchas definiciones previas que hagan que esa pregunta sea resuelta.

Creo que tienes un concepto muy idealizado de la lógica. En lógica se usan las mismos convenios, abreviaturas, abusos de notación, etc. que en cualquier otra rama de la matemática. Pero ello no es ninguna imperfección, como pareces pensar. Las únicas imperfecciones en la escritura matemáticas son las ambigüedades y las lagunas de razonamiento, es decir, las frases que se pueden entender de varias formas distintas y las afirmaciones no justificadas que deberían estarlo. Todo lo demás no son más que formas de hacer más cómoda la lectura y escritura, e incluso el razonamiento.

(*): Digo "equivalentes" y no "iguales" (o "idénticas") porque entiendo al primero como todo aquello que pueda derivarse al segundo mediante operaciones algebraicas. Por ejemplo, \( f(x)=x \) es equivalente a \( g(x)=x+2-2 \) pues \( g(x)=x+0=x \), mientras que \( f(x)=x \) y \( g(x)=x \) son iguales porque son idénticamente iguales; es una trivialidad. Es decir, la palabra "equivalente" es convertible a "igual"/"equivalente"/"trivial" para mí. Espero que también lo compartas.

En general sí, pero si pretendes definir que dos funciones son iguales cuando tienen "fórmulas iguales", ya no está tan claro. Vuelvo a ejemplo de las dos funciones \( f \) y \( g \) que te he puesto antes que son iguales si y sólo si   se cumple la conjetura de Goldbach. Si son iguales (o equivalentes) no es algo que vayas a poder probar mediante oeraciones algebraicas, sino a través de una demostración de la conjetura de Goldbach que a saber cuántas brujerías necesitará.

Respecto a lo que dices en tu último mensaje, estoy de acuerdo con lo que dice feriva, pero no con la interpretación que tú haces. Lo que dice feriva (entiendo yo) es que a veces con poner \( f \) basta y sobra, y a veces es mejor poner \( f(x) \), depende del contexto.

04 Enero, 2019, 01:28 am
Respuesta #24

manooooh

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Hola

Sí, lo de feriva era también dependiendo del contexto, perdón.

Pero eso es así con esa definición de funciones como ternas, que no es la usual. La usual es definir las funciones como conjuntos de pares, y entonces una función determina su dominio, pero no su codominio.

Sin embargo en el contexto de Análisis jamás se usan pares ordenados para trabajar con funciones.

Pues eso también dependerá de lo general que sea tu concepto de "función a trozos".

Yo pienso que una función definida mediante una fórmula es un subconjunto de todas las funciones definidas a trozos. Por ejemplo, \( f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=x \) sería equivalente a

\( f':\Bbb R\to\Bbb R\mid f'(x)=\begin{cases}\dots\\1\wedge x=1\\2\wedge x=2\\\dots\end{cases}\equiv\begin{cases}1\wedge x=1\\x\wedge x\neq1\end{cases}\equiv\cdots \)

Entonces, ¿estás diciendo que no consideras que una función a trozos esté definida por una fórmula? Pues ya es un ejemplo. (...)

No lo sé.

Te había puesto otro ejemplo más sofisticado, pero no has entendido lo que quería decir. Te lo pondré de otra manera. Sea \( A\subset \mathbb R \) y considera la función \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) dada por \( f = (A\times \{1\})\cup ((\mathbb R\setminus A)\times \{0\}) \). (...)

¿Cómo probás que \( f \) es función?

Por otro lado, lo de que "una función se compone de las tres partes" es algo que yo nunca afirmaría. Una función es un conjunto de pares ordenados (tal que no contiene pares \( (x,y) \) y \( (x, z) \) con \( y\neq z \)) y ya está. Sin partes, ni fórmulas, ni historias.

Lo decía en sentido informal. Claro que, formalmente, una función es una relación que cumple las condiciones existencia y unicidad.

Me pierdo. ¿Por qué el \( 0 \) tiene que pertenecer al conjunto de ceros? ¿Quieres decir "a qué conjunto pertenecen los \( x \) que tienen imagen \( 0 \)? Si es así, evidentemente pertenecen tanto al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\geq 0 \), como al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\leq 0 \), como al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)=0 \).

El \( 0 \) tiene que pertenecer al conjunto de ceros pues es el (único) que verifica \( f(x)=0 \).

Pero también este elemento está en el conjunto de valores de \( x \) que verifican que la función sea positiva y en el conjunto de valores de \( x \) que verifican que la función sea negativa. Es redundante, ambiguo, innecesario, como quieras llamarlo.

He dicho función finita, es decir, función que contenga sólo un número finito de pares ordenados o, equivalentemente, función definida sobre un conjunto finito, que era el tipo de funciones que estabas usando como ejemplo justo antes de que yo dijera eso, pero son una clase de funciones muy pobre.

Tenés razón.

La notación matemática usual introduce muchos aspectos psicológicos que no tienen un equivalente formalizable, y está bien que así sea, como cuando decimos Sea \( y=f(x) \) una función, con lo que estamos introduciendo a la vez el convenio de la función asigna "una \( y \)" a "cada \( x \)", pero formalmente en cualquier momento puedes usar cualquier variable para nombrar cualquier cosa, con tal de que no uses una misma variable para nombra a dos cosas distintas. Lo de distinguir entre \( x \) y \( x_0 \) es también una notación "psicológica", que está bien en la práctica, pero que no puedes teorizar sobre ella, porque teóricamente la distinción no existe. El único rastro que dejan estas ideas cuando formalizas la lógica matemática es que hay variables sobre las que no puedes generalizar en un razonamiento y otras sobre las que sí que puedes.

Entonces supongo que la respuesta es "Sí, es irrelevante".

También hay algo psicológico con decir "Evaluar \( h \) en el punto \( x_0 \)". Un punto en el plano tiene dos coordenadas, ¿así que cómo debería interpretarse "punto" aquí?

¿Pero qué es mantener \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \)? Dada una función, es incuestionable que existe el conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\geq0 \) y existe el conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\leq 0 \), y la intersección de ambos es el conjunto de los ceros de la función. ¿Cuál es el problema?

"Mantener \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \)" significa sostener la afirmación "\( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \)". Claro que esos conjuntos existen sin ningún problema; lo que me refiero es que cuando se pide "Escribir el conjunto de positividad y negatividad de una función", se deberían buscar los \( x \) tales que \( f(x)>0 \) y los \( x \) tales que \( f(x)<0 \). Cuando \( f(x)=0 \) se buscará el conjunto de ceros.

Si defino:

\( f(x)= \) el mínimo número entero par \( n>x \) que no es suma de dos primos o \( 0 \) si no existe tal \( n \)

¿Esa función está definida por una fórmula? Porque la función \( g(x)=0 \) sí que está definida por una fórmula y, si la conjetura de Goldbach es cierta, ambas funciones son la misma.

No sé cómo interpretar \( f \); ni siquiera sé si es función (¿cumple los criterios de relación, existencia y unicidad)?

No sé contestarte a "¿Esa función está definida por una fórmula?" porque no sé si es una función finita o infinita.

No según tu definición, que pedía que las fórmulas fueran iguales.

Bien, quise decir "las fórmulas fueran equivalentes".

Saludos

04 Enero, 2019, 02:38 am
Respuesta #25

feriva

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El \( 0 \) tiene que pertenecer al conjunto de ceros pues es el (único) que verifica \( f(x)=0 \).

Pero también este elemento está en el conjunto de valores de \( x \) que verifican que la función sea positiva y en el conjunto de valores de \( x \) que verifican que la función sea negativa. Es redundante, ambiguo, innecesario, como quieras llamarlo.


No me he ido a la cama aún :)

Es que creo que estás considerando los \( 0^{+}
  \) y los \( 0^{-}
  \), los cuales, evidentemente, sólo tienen un signo, o son positivos o son negativos. Pero creo que Carlos se refiere al número entero cero, o sea, al cero patatero.

La duda viene de que mucha gente dice relajadamente (decimos, porque yo también lo he dicho por ahí alguna vez) que el cero no es ni positivo ni negativo, cuando lo que se quiere decir, más precisamente, matizando la cuestión, es que no es exclusivamente positivo ni exclusivamente negativo. Es un número no signado, pero lo puedes meter en un conjunto de números negativos y considerarlo de la “familia”, sin que dé problemas, o en un conjunto de números positivos y hacer lo mismo. Esta operación \( x+(-0)
  \) o ésta \( x+(+0)
  \) es la misma, “x” se tranformará en sí mismo exactamente, incluso aunque sea un número que tienda a cero, no cambiará ni un poquito si ese cero es el entero cero. Por lo que no te da va a dar problemas.

A veces pasa algo parecido con el 1, lo puedes meter en el conjunto de los primos o de los compuestos según qué cosas, puede comportarse de distintas maneras. Por ejemplo, si usas la congruencia de Clement para ir listando los primos gemelos dando valores a “n”, el 1 nos sale “primo” según esa congruencia; no lo es, pero se comporta como primo.

Ahora sí, buenas noches.

04 Enero, 2019, 08:17 am
Respuesta #26

manooooh

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Hola, buen día

Es que creo que estás considerando los \( 0^{+}
  \) y los \( 0^{-}
  \), los cuales, evidentemente, sólo tienen un signo, o son positivos o son negativos. (...)

No, me refiero al signo del número \( 0 \), ese que puede meterse en un conjunto de números.

La duda viene de que mucha gente dice relajadamente (decimos, porque yo también lo he dicho por ahí alguna vez) que el cero no es ni positivo ni negativo, cuando lo que se quiere decir, más precisamente, matizando la cuestión, es que no es exclusivamente positivo ni exclusivamente negativo. Es un número no signado, pero lo puedes meter en un conjunto de números negativos y considerarlo de la “familia”, sin que dé problemas, o en un conjunto de números positivos y hacer lo mismo.

Carlos (y muchos otros) afirman que incluso el \( 0 \) puede estar en dos, tres o \( n \) conjuntos al mismo tiempo. Así que es más general aun: el \( 0 \) puede estar en un conjunto de números negativos y en uno de positivos, cosa que veo innecesaria y molesta visualmente.

Saludos

04 Enero, 2019, 10:33 am
Respuesta #27

feriva

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Buenos días, manooooh.


No, me refiero al signo del número \( 0 \), ese que puede meterse en un conjunto de números.

Ah, es que estaba ya dormido.

“El signo del número cero” no suena bien, “los signos...” propondría yo que se debería decir; o bien que no tiene signo (en el sentido de ninguno en particular, exclusivamente).

No es exactamente ambigüedad en la forma en que entendemos esta palabra para otras cosas de matemáticas, es más bien ambivalencia. Por ejemplo, el 1 no es compuesto, pero cumple \( 1=1\cdot 1\cdot 1... \), es producto de otros números, cosa que cumplen los compuestos y no los primos; así, si consideramos esta propiedad aisladamente para algo, podemos meter el 1 en el conjunto de los que la cumplen, junto a los compuestos y no junto a los primos. Pero, por otra parte, si consideramos los números naturales que sólo son divisibles por sí mismos, habrá que meter al 1 junto con los primos. Y en otras ocasiones, cuando se consideren todas las propiedades de los compuestos y los primos, habrá que darle de comer a parte y no lo podremos meter en ningún de esos conjuntos.

Con el cero pasa esto mismo pero con mucha más versatilidad, porque realmente, si tú piensas en el punto de corte de unos ejes coordenados, decir que no es “ninguna de las dos cosas en absoluto”, se ve que no es verdad; ese punto está en los ejes, luego está en alguna parte, y esa parte es las dos a la vez, es el punto de corte, la intersección, es positivo y negativo.

*Precisamente, otra duda que surge acerca de la misma cuestión, es ésta: \( 0+0i=0
  \); qué elegimos, ¿es real o complejo? Yo me quedo con que es ambas cosas, precisamente por su posición en los ejes del plano complejo; para mí \( \mathbb{R} \cap \mathbb{C}=\{0\}
  \) y no el vacío, que sería otra cosa.

Y esa misma duda se la plantean otros; he buscado en internet:

https://www.i-ciencias.com/pregunta/52119/0-es-un-numero-imaginario


Saludos.

04 Enero, 2019, 11:15 am
Respuesta #28

nia

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Feriva:

Cuando hablo de dos niveles, he aclarado que me estoy refiriendo a tres conjuntos distintos en el primero, "X", "Y" y "F", y a tres elementos distintos genéricos en el segundo, "x", "y" y "f", (pertenecientes a los primeros respectivamente).

Si lo prefieres, para mayor sencillez, podemos hablar con otros nombres y en otro orden: de "A" con elementos "a", de "B" con elementos "b" y de "C" con elementos "c",... etc.
Si no los distinguimos fácilmente, podemos reforzar la identificación con colores (verde para el primer nivel y amarillo para el segundo), con permiso de la autoridad imperante, que, si no lo diera o causa problemas, es proceso reversible sin mas que volver a la foto descafeinada en blanco y negro.

Pues bién: estas 3x3=6 componentes son los que aparecen en cualquier correspondencia, mas ciertas restricciones que se puedan imponer a dichos conjuntos, que darían reglas simplificadoras para referirnos a un retablo particular. Pero sin olvidar que todas ellas han de poder revertir la situación, hasta llegar a identificar las 6 básicas, y que los cálculos o fórmulas han de poder escribirse con dichas componentes, arrojando sus resultados en otras.

Es algo mas básico que las lecciones de Carlos, que, si bien lo comenta al comienzo, los demás, compruebo, que debemos pararnos a reflexionar... volviendo atrás, pasado un rato de los fogonazos, a riesgo de repetir preguntas en caso contrario.

Notas

La conexión con la informática es evidente y complementaria desde el comienzo (mostrando ejercicios conceptualmente mas sencillos), donde hay que distinguir el nombre de un archivo de su contenido, donde ni el nombre de un archivo se puede cambiar desde dentro, ni entrar dentro sin abrirlo, clara alusión a que distingue conjunto de elemento, que lo contrario sería cortar yerba bajo los pies (el quid afín del mantenimiento de la coherencia de las bases de datos, que intuya).

Mas en particular, en f(x): "f" es el nombre de una tabla, "x" es un elemento del conjunto inicial y el propio "f(x)" es un elemento del conjunto final, y podemos añadir que (x,f(x)) es un elemento de la tabla "f". Si f(x) recibe otro nombre, fórmula o ya valores en casos concretos, no dejará de ser lo que es. Por el color, si es solo verde, sabremos que es archivo, si amarillo: registro.

Los ordenadores pasan de los nombres, se quedan a las puertas, que lo primero que hace un compilador es asignarles un sitio físico a los invitados, pasando a ser el sucedáneo del nombre. Esto nos lleva a pensar que, si los archivos y sus registros ocuparan posiciones diferenciadas, sin repetición, sería otra forma de distinguirlos. Así que todo apunta a que el nombre, el color y la posición son tres formas de identificar redundantes a las entelequias... falta el olor, el sonido que emitan, la textura, el sabor,... pero ya es para nota.

04 Enero, 2019, 11:26 am
Respuesta #29

feriva

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Feriva:

Cuando hablo de dos niveles, he aclarado que me estoy refiriendo a tres conjuntos distintos en el primero, "X", "Y" y "F", y a tres elementos distintos genéricos en el segundo, "x", "y" y "f", (pertenecientes a los primeros respectivamente).


Ya, ya, pero digo que la cuestión, a la hora de considerar “f”, es más simple; en el sentido de que la usamos cuando no hablamos de conjuntos en concreto. Si uno define las “equis” (o las “tes” o letras que sean) y dice, por ejemplo, \( x\in\mathbb{R}
  \)... y tal, pues entonces ya se podrá hablar de la imagen asociada a f (a la función) según los "x" como f(x), porque se ha definido previamente quiénes son las “x”.

Saludos.

04 Enero, 2019, 01:32 pm
Respuesta #30

Carlos Ivorra

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Sin embargo en el contexto de Análisis jamás se usan pares ordenados para trabajar con funciones.

Pero cuando hablas de una función, si quieres ser riguroso, tendrás que tener claro a qué estás llamando "función". Lo usual es definir una función como un conjunto de pares ordenados que no empareje un mismo elemento con otros dos distintos. También está la posibilidad de definirlas como ternas (grafo, dominio, codominio), pero alguna tendrás que elegir, tanto si luego haces referencia explícita a ella como si no. Lo que te decía es que la más habitual es considerar a las funciones como conjuntos de pares ordenados. Tú mismo has dicho en alguna ocasión que una función es una relación.

Por otra parte, eso de que en Análisis no se usan pares ordenados es discutible. Cuando dibujas una función \( f \) y te sale una  curva, ¿qué es esa curva? Es precisamente \( f \), es decir, el conjunto de todos los pares ordenados del plano \( \mathbb R^2 \) que pertenecen a \( f \).

Yo pienso que una función definida mediante una fórmula es un subconjunto de todas las funciones definidas a trozos. Por ejemplo, \( f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=x \) sería equivalente a

\( f':\Bbb R\to\Bbb R\mid f'(x)=\begin{cases}\dots\\1\wedge x=1\\2\wedge x=2\\\dots\end{cases}\equiv\begin{cases}1\wedge x=1\\x\wedge x\neq1\end{cases}\equiv\cdots \)

No me acaba de cuadrar eso que escribes, pero si la idea es pensar que puedes definir una función diciendo la imagen de cada número una por una, eso es inviable. No puedes enumerar todos los números reales para decir cuál es la imagen de cada uno.

Entonces, ¿estás diciendo que no consideras que una función a trozos esté definida por una fórmula? Pues ya es un ejemplo. (...)

No lo sé.

Pues es algo que sólo depende de ti. No es algo que tengas que investigar o averiguar, sino algo que tienes que decidir. Tienes que dedidir a qué llamas concretamente "función a trozos" y a qué llamas "función definible por una fórmula". Son términos vagos que se usan normalmente para hablar de casos particulares muy concretos, pero que no se corresponden con conceptos definidos en general. Es verdad que en lógica se pueden definir varios conceptos de "conjuntos definibles", pero son algo bastante más general que lo que estamos considerando aquí y que, desde luego, queda muy lejos del "cálculo de una variable".

Te había puesto otro ejemplo más sofisticado, pero no has entendido lo que quería decir. Te lo pondré de otra manera. Sea \( A\subset \mathbb R \) y considera la función \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) dada por \( f = (A\times \{1\})\cup ((\mathbb R\setminus A)\times \{0\}) \). (...)

¿Cómo probás que \( f \) es función?

Es inmediato. Se trata de ver que cada \( x\in \mathbb R \) tiene una única imagen, pero sólo tienes que distinguir dos casos: si \( x\in A \), entonces su única imagen es \( 1 \) y si \( x\notin A \), su única imagen es \( 0 \). Por ejemplo, si \( A=[0,1] \) se trata de la función que vale \( 1 \) para \( 0\leq x\leq 1 \) y vale \( 0 \) en los demás casos. Pero en ese ejemplo \( A \) es definible por una fórmula, y yo te ponía el ejemplo para considerar el caso en que no es así. Para plantearte si consideras como "función definida a trozos" una función definida en dos casos, pero sin que los casos sean a su vez definibles.

Como no te gustan los conjuntos no medibles, te pongo otro ejemplo, a ver si te gusta más:

Sea \( R \) un buen orden en \( \mathbb R \), es decir, una relación de orden total en la que todo subconjunto de \( \mathbb R \) no vacío tiene un mínimo elemento. Suponemos además que \( \mathbb R \) con esta relación no tiene un máximo elemento.

Se puede probar que existe una relación así, pero la prueba requiere el axioma de elección, por lo que no es posible definir \( R \) explícitamente mediante una fórmula. Ahora defino \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) mediante:

\( f(x) =\min\{y\in \mathbb R\mid (x, y)\in R \land y\neq x\}  \),

es decir, como el mínimo número real que es estrictamente mayor que \( x \) respecto a la relación indefinible \( R \).

¿Consideras que esta aplicación tiene una fórmula de definición? O, dicho de otro modo, ¿aceptas lo que he escrito a la derecha de \( f(x) \) como "fórmula que define a \( f \)"? La clave del asunto es que, en un sentido amplio del término, es una fórmula, pero una fórmula que contiene un parámetro no definido \( R \), por lo cual yo diría que \( f \) no es definible.

Lo decía en sentido informal. Claro que, formalmente, una función es una relación que cumple las condiciones existencia y unicidad.

Pues eso es lo que me cuestionabas más arriba, cuando me decías que en cálculo no se habla de pares ordenados. Si se habla de funciones y entiendes que una función es eso, entonces se habla de pares ordenados, aunque no se haga explícitamente.

Me pierdo. ¿Por qué el \( 0 \) tiene que pertenecer al conjunto de ceros? ¿Quieres decir "a qué conjunto pertenecen los \( x \) que tienen imagen \( 0 \)? Si es así, evidentemente pertenecen tanto al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\geq 0 \), como al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)\leq 0 \), como al conjunto de los \( x \) tales que \( f(x)=0 \).

El \( 0 \) tiene que pertenecer al conjunto de ceros pues es el (único) que verifica \( f(x)=0 \).

Aquí te estás liando (creo) y ya es sutil todo lo que hablamos para que introduzcamos lios secundarios. Piensa por ejemplo en \( f(x)=x^2-1 \). Su conjunto de ceros es \( \{-1, 1\} \) y, como ves, \( 0 \) no pertenece al conjunto de ceros. No es el único que verifica \( f(x)=0 \). De hecho hay dos \( x \) distintos que verifican eso y ninguno de ellos es el \( 0 \).

Pero también este elemento está en el conjunto de valores de \( x \) que verifican que la función sea positiva y en el conjunto de valores de \( x \) que verifican que la función sea negativa. Es redundante, ambiguo, innecesario, como quieras llamarlo.

Sigo con el mismo ejemplo de \( f(x)= x^2-1 \). Entonces, si llamamos números positivos a los de \( [0, +\infty[ \) (que no es algo que yo tenga especial interés en establecer, sino que únicamente te digo que no tiene nada de problemático), entonces \( f \) es positiva en \( ]-\infty, -1]\cup [1,+\infty[ \), es negativa en \( [-1,1] \) y es nula en la intersección de ambos conjuntos, es decir, en \( \{-1,1\} \).

No hay, desde luego, ninguna ambigüedad. Si digo que \( f \) es positiva en 1 y en 2 está perfectamente claro lo que quiero decir y no se puede entender más que de una forma: estoy diciendo que \( f(1)\geq 0 \) y que \( f(2)\geq 0 \).

Tampoco hay ninguna redundancia, porque no estoy diciendo dos veces lo mismo.

Y lo de que es innecesario es subjetivo. En términos absolutos, ninguna notación es estrictamente necesaria, pero en un contexto en el que uno necesite hablar de los puntos donde una función es \( \geq 0 \), puede ser conveniente abreviar esto llamando números positivos a los de \( [0,+infty[ \). Los ingleses suelen distinguir entre positive y non negative. Me parece que esa distinción era ajena al español hasta hace algún tiempo, pero que poco a poco se va extendiendo, por lo menos en ciertas áreas. Es también una opción razonable, pero si alguien prefiere traducir non negative por positivo, pues tampoco pasa nada.

¿Ves contradictorio, innecesario o ambiguo que el \( 0 \) sea a la vez no positivo y no negativo? Porque con tu definición de positivo y negativo, eso es lo que sucede necesariamente. ¿Por qué es traumático que el cero pueda ser a la vez positivo y negativo y no lo va a ser que sea a la vez no positivo y no negativo?

La notación matemática usual introduce muchos aspectos psicológicos que no tienen un equivalente formalizable, y está bien que así sea, como cuando decimos Sea \( y=f(x) \) una función, con lo que estamos introduciendo a la vez el convenio de la función asigna "una \( y \)" a "cada \( x \)", pero formalmente en cualquier momento puedes usar cualquier variable para nombrar cualquier cosa, con tal de que no uses una misma variable para nombra a dos cosas distintas. Lo de distinguir entre \( x \) y \( x_0 \) es también una notación "psicológica", que está bien en la práctica, pero que no puedes teorizar sobre ella, porque teóricamente la distinción no existe. El único rastro que dejan estas ideas cuando formalizas la lógica matemática es que hay variables sobre las que no puedes generalizar en un razonamiento y otras sobre las que sí que puedes.

Entonces supongo que la respuesta es "Sí, es irrelevante".

Pues no sé qué quieres decir con "irrelevante" en este contexto. Lo que te digo es que es muy útil utilizar notaciones como \( x_0 \) para referirse a un punto prefijado y \( x \) para referirse a un punto que puede ir variando en un razonamiento, pero que eso no es sino una ayuda psicológica para facilitar la lectura, como cuando se conviene en usar las letras \( m, n \) para representar números enteros, \( p, q \) para números primos, \( r, s \) para números racionales, etc. Eso simplemente ayuda al lector a recordar qué es cada cosa, pero teóricamente da igual si usas \( p \) o \( ñ \) para referirte a un número primo.

También hay algo psicológico con decir "Evaluar \( h \) en el punto \( x_0 \)". Un punto en el plano tiene dos coordenadas, ¿así que cómo debería interpretarse "punto" aquí?

Como un punto de la recta real, por supuesto.

"Mantener \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \)" significa sostener la afirmación "\( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \)". Claro que esos conjuntos existen sin ningún problema; lo que me refiero es que cuando se pide "Escribir el conjunto de positividad y negatividad de una función", se deberían buscar los \( x \) tales que \( f(x)>0 \) y los \( x \) tales que \( f(x)<0 \). Cuando \( f(x)=0 \) se buscará el conjunto de ceros.

Y lo que te digo una vez más es que eso es una cuestión de definición y, por tanto, arbitraria. Es como si yo te digo que me daña la vista cada vez que veo que alguien considera que el \( 0 \) no es un número natural. Considero que hay muchas razones que hacen más razonable incluir al \( 0 \) entre los números naturales que excluirlo, pero lo que no puedo decir es que considerar que el \( 0 \) no es un número natural sea ambiguo, redundante o innecesario. Es simplemente un convenio que se podrá considerar más o menos afortunado, pero un convenio tan legítimo teóricamente como el contrario.

Si defino:

\( f(x)= \) el mínimo número entero par \( n>x \) que no es suma de dos primos o \( 0 \) si no existe tal \( n \)

¿Esa función está definida por una fórmula? Porque la función \( g(x)=0 \) sí que está definida por una fórmula y, si la conjetura de Goldbach es cierta, ambas funciones son la misma.

No sé cómo interpretar \( f \); ni siquiera sé si es función (¿cumple los criterios de relación, existencia y unicidad)?

Toma un número real cualquiera, por ejemplo \( \pi \). Ahora ve considerando los números naturales pares mayores que \( \pi \), uno por uno: \( 4, 6, 8, 10, \ldots \) Intenta expresarlos como suma de dos primos: \( 4=2+2 \), \( 6 = 3+3 \), etc.

Si llegas a encontrar un \( n \) que no puede expresarse como suma de dos primos, entonces \( f(\pi)=n \), pero si no existe ninguno, entonces \( f(\pi)=0 \). En cualquier caso, \( \pi \) tiene una única imagen bien definida. Por ejemplo, es obvio que \( 2 \) no puede expresarse como suma de dos primos, luego \( f(1.3)=0 \).

No sé contestarte a "¿Esa función está definida por una fórmula?" porque no sé si es una función finita o infinita.

Esa función está definida sobre todos los números reales y a cada uno le asigna un número natural. Si por infinita te refieres a que su dominio es infinito, entonces es infinita.

Carlos (y muchos otros) afirman que incluso el \( 0 \) puede estar en dos, tres o \( n \) conjuntos al mismo tiempo. Así que es más general aun: el \( 0 \) puede estar en un conjunto de números negativos y en uno de positivos, cosa que veo innecesaria y molesta visualmente.

Salvo que matices tus palabras, eso es una obviedad: ¿No es cierto que el \( 0 \) está en el conjunto \( \{0\} \)? ¿Y no está en el conjunto \( \{0,1\} \)? ¿Y no está en el conjunto \( \{0,1,2\} \)? ¿Y no está en \( [0,1] \)? ¿Y no está en \( \mathbb Q \)?... Es obvio que el \( 0 \) puede estar y está en infinitos conjuntos al mismo tiempo. ¿Dónde está la molestia?

04 Enero, 2019, 10:15 pm
Respuesta #31

manooooh

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Hola

Pero cuando hablas de una función, si quieres ser riguroso, tendrás que tener claro a qué estás llamando "función". Lo usual es definir una función como un conjunto de pares ordenados que no empareje un mismo elemento con otros dos distintos. También está la posibilidad de definirlas como ternas (grafo, dominio, codominio), pero alguna tendrás que elegir, tanto si luego haces referencia explícita a ella como si no. Lo que te decía es que la más habitual es considerar a las funciones como conjuntos de pares ordenados. Tú mismo has dicho en alguna ocasión que una función es una relación.

Es cierto que se usan pares ordenados, para todo, incluso para Análisis. A lo que voy es que no los usamos para trabajar cotidianamente. O sea no decimos \( 2f6 \), \( 2\cancel f6 \), cosas así. Pero es obvio que una función está formada por pares ordenados.

No me acaba de cuadrar eso que escribes, pero si la idea es pensar que puedes definir una función diciendo la imagen de cada número una por una, eso es inviable. No puedes enumerar todos los números reales para decir cuál es la imagen de cada uno.

Sí se puede, como lo hice yo; agregando puntos suspensivos (cuando la función es infinita). ¿Entonces también está mal decir que \( \Bbb N=\{1,2,\ldots\} \)? Claro que no. Los puntos suspensivos nos ayudan a hacer las matemáticas (yo no las hago, simplemente las uso).

Pues es algo que sólo depende de ti. No es algo que tengas que investigar o averiguar, sino algo que tienes que decidir. Tienes que dedidir a qué llamas concretamente "función a trozos" y a qué llamas "función definible por una fórmula". Son términos vagos que se usan normalmente para hablar de casos particulares muy concretos, pero que no se corresponden con conceptos definidos en general. Es verdad que en lógica se pueden definir varios conceptos de "conjuntos definibles", pero son algo bastante más general que lo que estamos considerando aquí y que, desde luego, queda muy lejos del "cálculo de una variable".

¿Cómo pretendés que tenga que elegir algo si ni sé lo que significa? Otro de los grandes problemas en el sistema educativo es que "Te lo defino con un ejemplo", como me pasa a mí. MAL. No puedo definir una función a trozos, lo único que puedo decirte es que intuyo que se trata de una función que reúne otras funciones (no en el sentido de composición, como ocurre con \( \ln(x^2)+1 \)), sino que... en ese sentido.

Es inmediato. Se trata de ver que cada \( x\in \mathbb R \) tiene una única imagen, pero sólo tienes que distinguir dos casos: si \( x\in A \), entonces su única imagen es \( 1 \) y si \( x\notin A \), su única imagen es \( 0 \). Por ejemplo, si \( A=[0,1] \) se trata de la función que vale \( 1 \) para \( 0\leq x\leq 1 \) y vale \( 0 \) en los demás casos. Pero en ese ejemplo \( A \) es definible por una fórmula, y yo te ponía el ejemplo para considerar el caso en que no es así. Para plantearte si consideras como "función definida a trozos" una función definida en dos casos, pero sin que los casos sean a su vez definibles.

Sigo sin entender qué hace \( f = (A\times \{1\})\cup ((\mathbb R\setminus A)\times \{0\}) \). Si \( A=[0,1] \) tenemos \( [0,1]\times\{1\} \), ¿y esto es igual a \( [0\times1,1\times1] \)? No sé.

Como no te gustan los conjuntos no medibles, te pongo otro ejemplo, a ver si te gusta más:

No es que no me gustan, no los entiendo. No sé qué bibliografía tomar para no tener que estudiar todo un libro y que sólo me sirva una definición (la que usás para el ejemplo), pero esa definición generalmente trae consigo otras definiciones que tampoco las entiendo.

Sea \( R \) un buen orden en \( \mathbb R \), es decir, una relación de orden total en la que todo subconjunto de \( \mathbb R \) no vacío tiene un mínimo elemento. Suponemos además que \( \mathbb R \) con esta relación no tiene un máximo elemento.

Se puede probar que existe una relación así, pero la prueba requiere el axioma de elección, por lo que no es posible definir \( R \) explícitamente mediante una fórmula. Ahora defino \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) mediante:

\( f(x) =\min\{y\in \mathbb R\mid (x, y)\in R \land y\neq x\}  \),

es decir, como el mínimo número real que es estrictamente mayor que \( x \) respecto a la relación indefinible \( R \).

¿Consideras que esta aplicación tiene una fórmula de definición? O, dicho de otro modo, ¿aceptas lo que he escrito a la derecha de \( f(x) \) como "fórmula que define a \( f \)"? La clave del asunto es que, en un sentido amplio del término, es una fórmula, pero una fórmula que contiene un parámetro no definido \( R \), por lo cual yo diría que \( f \) no es definible.

No sé qué decir porque nunca mezclé funciones con órdenes. No puedo contestar.

Lo que puedo decirte es que si una función asigna a un \( x \) una expresión, entonces esa función tiene consigo una fórmula. Dos fórmulas son iguales o equivalentes cuando una puede obtenerse, mediante operaciones fundamentales, mediante la otra, y viceversa. Dos funciones matemáticas de variable real son iguales cuando sus dominios, codominios, y fórmulas coinciden. El caso de \( f(x)=x^2 \) y \( g(x)=|x^2| \) (con sus respectivos dominios y codominios) son iguales porque \( |x^2| \) puede convertirse en \( x^2 \), y viceversa.

Pues eso es lo que me cuestionabas más arriba, cuando me decías que en cálculo no se habla de pares ordenados. Si se habla de funciones y entiendes que una función es eso, entonces se habla de pares ordenados, aunque no se haga explícitamente.

Exacto.

Aquí te estás liando (creo) y ya es sutil todo lo que hablamos para que introduzcamos lios secundarios. Piensa por ejemplo en \( f(x)=x^2-1 \). Su conjunto de ceros es \( \{-1, 1\} \) y, como ves, \( 0 \) no pertenece al conjunto de ceros. No es el único que verifica \( f(x)=0 \). De hecho hay dos \( x \) distintos que verifican eso y ninguno de ellos es el \( 0 \).

El que se lía sos vos con este ejemplo. Puse \( f(x)=x \) porque era algo fácil de calcular, pero cualquier función tiene asociada un conjunto de ceros. En tu caso, con \( f(x)=x^2-1 \) se tiene que \( C^0=\{-1,1\} \) ya que hace cierta \( f(x)=0 \), pero también hace cierta \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), ¿entonces para qué calculamos \( C^0 \) si sabemos que, definiendo los conjuntos mediante \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), siempre van a estar allí? Es algo innecesario el \( = \) para los dos últimos conjuntos. Si se los sacamos el \( C^0 \) adopta una mejor identidad; el "Conjunto de ceros" y no el "Conjunto de ceros que además es parte de los conjuntos \( C^+ \) y \( C^- \)". Repito, ¿entonces para qué calculamos \( C^0 \)?

Obviamente es algo subjetivo, pero mientras más precisos seamos con nuestros cálculos más entenderemos y más nos entenderán.

¿Ves contradictorio, innecesario o ambiguo que el \( 0 \) sea a la vez no positivo y no negativo? Porque con tu definición de positivo y negativo, eso es lo que sucede necesariamente. ¿Por qué es traumático que el cero pueda ser a la vez positivo y negativo y no lo va a ser que sea a la vez no positivo y no negativo?

Prefiero que el \( 0 \) no sea positivo ni negativo, pero no prefiero que sea positivo y negativo.

Es traumático porque confunde.

Como un punto de la recta real, por supuesto.

Si tenemos el enunciado "Sea \( f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(m)=m+2 \). Estudie la continuidad de \( f \) en \( m=2 \)", ¿sabés lo que haría yo de muy riguroso? Antes de nada hago \( f(m=2)=f(2)=2+2=4 \), entonces \( f(m)=f(2)=4 \) y no hay continuidad que analizar porque no hay función.

¿Ves a qué punto de contradicción se puede llegar si uno pone \( m=2 \)? Esto se salva diciendo que el punto (que no critico que se diga punto) es \( m_0=2 \) o \( m^*=2 \) o \( m_6=2 \).

Toma un número real cualquiera, por ejemplo \( \pi \). Ahora ve considerando los números naturales pares mayores que \( \pi \), uno por uno: \( 4, 6, 8, 10, \ldots \) Intenta expresarlos como suma de dos primos: \( 4=2+2 \), \( 6 = 3+3 \), etc.

Si llegas a encontrar un \( n \) que no puede expresarse como suma de dos primos, entonces \( f(\pi)=n \), pero si no existe ninguno, entonces \( f(\pi)=0 \). En cualquier caso, \( \pi \) tiene una única imagen bien definida. Por ejemplo, es obvio que \( 2 \) no puede expresarse como suma de dos primos, luego \( f(1.3)=0 \).

Dando casos particulares no probás que la función es: 1) Una relación, 2) Cumple unicidad, 3) Cumple existencia. ¿Notás lo indispensable que son las fórmulas?

Salvo que matices tus palabras, eso es una obviedad: ¿No es cierto que el \( 0 \) está en el conjunto \( \{0\} \)? ¿Y no está en el conjunto \( \{0,1\} \)? ¿Y no está en el conjunto \( \{0,1,2\} \)? ¿Y no está en \( [0,1] \)? ¿Y no está en \( \mathbb Q \)?... Es obvio que el \( 0 \) puede estar y está en infinitos conjuntos al mismo tiempo. ¿Dónde está la molestia?

La molestia está en que si te pido que me digas dónde está el \( -4 \) me vas a decir "En todos los conjuntos". ¿Qué importancia tiene eso? Si definís los conjuntos \( C^+,C^0,C^- \) como \( f(x)>0,f(x)=0,f(x)<0 \), respectivamente, cuando te haga la pregunta "¿Dónde está el \( -4 \)?" vas a saber exactamente dónde buscarlo. Así trabajan los ordenadores; lo menos redundante posible. Sino todo sería un completo caos.

Saludos

04 Enero, 2019, 10:39 pm
Respuesta #32

argentinator

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Lamento que tengas tanta confianza en las computadoras.
A la hora de buscar ceros de una función yo no confiaría en una computadora.

04 Enero, 2019, 10:42 pm
Respuesta #33

manooooh

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Hola

Lamento que tengas tanta confianza en las computadoras.

Muy probablemente será mi herramienta de un trabajo futuro, y estoy muy orgulloso de poder usarla.

A la hora de buscar ceros de una función yo no confiaría en una computadora.

¿Por qué? Una cosa es que la computadora no sea capaz de resolver ciertas expresiones, pero otra distinta es que arroje malos resultados, y esto está prácticamente extinguido. Toda entrada correctamente aceptada por la computadora arrojará un valor esperado; para eso basta con reemplazar el valor en la función y comprobar si se cumple la igualdad o no, lo cual siempre se cumple.

Saludos

05 Enero, 2019, 12:54 am
Respuesta #34

argentinator

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Hola

Lamento que tengas tanta confianza en las computadoras.

Muy probablemente será mi herramienta de un trabajo futuro, y estoy muy orgulloso de poder usarla.

Está muy bien que sea tu herramienta de trabajo, y está muy bien que sientas orgullo.
Pero esos son factores que no deben obnubilar la razón sobre conclusiones objetivas.
Más aún, ya que esa será tu herramienta de trabajo, más vale conocer de antemano sus limitaciones.

Citar
A la hora de buscar ceros de una función yo no confiaría en una computadora.

¿Por qué? Una cosa es que la computadora no sea capaz de resolver ciertas expresiones, pero otra distinta es que arroje malos resultados, y esto está prácticamente extinguido.
Toda entrada correctamente aceptada por la computadora arrojará un valor esperado; para eso basta con reemplazar el valor en la función y comprobar si se cumple la igualdad o no, lo cual siempre se cumple.


Pues no estoy de acuerdo con esas afirmaciones que he marcado con color. Son falsas.

Tomemos la siguiente función definida en los reales:

\( y=f(x)=(x-(1+2^{-22}))(x-(1+2^{-52}))(x-(1+2^{-63}))(x-(1+2^{-10000})). \)

Coincidirás conmigo que los ceros de esa función son los siguientes valores:

\( 1+2^{-22},1+2^{-52},1+2^{-63},1+2^{-10000}. \)

Sin embargo,
en una computadora o programa que sólo admita resultados de cálculos en precisión simple,
dará como resultado que sólo existen las raíces \( 1+2^{-22} \) y \( 1 \);

en una computadora o programa que sólo admita resultados de cálculos en precisión doble,
dará como resultado que sólo existen las raíces \( 1+2^{-22},1+2^{-52} \) y \( 1 \);

en una computadora o programa que sólo admita resultados de cálculos en precisión extendida (como el caso de Intel de 80 bits),
dará como resultado que sólo existen las raíces \( 1+2^{-22},1+2^{-52},1+2^{-62} \) y \( 1 \).

En ningún caso obtendrás el cero \( 1+2^{-10000} \).

Y el cualquier caso, con el método que has propuesto de "reemplazar y verificar si da cero el resultado",
obtendrás que para cualquier valor \( x \) en el intervalo \( [1-2^{-64},1+2^{-64}] \),
el resultado de dará 0 en la computadora, mientras que matemáticamente no es 0.

Un ejemplo práctico podés verlo con la calculadora online de Google.
Me da 0 al tirarle este cálculo (con \( x=(1+2^{-51}) \)):

((1+2^(-51))-(1+2^(-22)))((1+2^(-51)-(1+2^(-52)))((1+2^(-51))-(1+2^(-63)))((1+2^(-51)-(1+2^(-10000))).

E incluso con esto otro también da 0:

((1+2^(-51))-(1+2^(-22)))((1+2^(-51)-(1+2^(-52))).












05 Enero, 2019, 01:04 am
Respuesta #35

argentinator

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No me acaba de cuadrar eso que escribes, pero si la idea es pensar que puedes definir una función diciendo la imagen de cada número una por una, eso es inviable. No puedes enumerar todos los números reales para decir cuál es la imagen de cada uno.

Sí se puede, como lo hice yo; agregando puntos suspensivos (cuando la función es infinita). ¿Entonces también está mal decir que \( \Bbb N=\{1,2,\ldots\} \)? Claro que no. Los puntos suspensivos nos ayudan a hacer las matemáticas (yo no las hago, simplemente las uso).


Me llamó la atención este párrafo.
Los puntos suspensivos se usan para reemplazar una enumeración,
lo cual tiene sentido con un conjunto con la propiedad de estar bien ordenado,
como es el caso de un conjunto finito, o una sucesión de elementos indexados con los naturales 1, 2, 3, .....

Pero los números reales no admiten una enumeración.
Con esto quiero decir que no se pueden poner en una sucesión apareada con los números naturales,
no se pueden enumerar.

Por eso. no es válido usar puntos suspensivos para sugerir el armado de una tabla cuyas entradas sean números reales.

No hay un algoritmo que genere todos los números reales.
Si lo hubiera, se podría redefinir para generar un algoritmo que liste en sucesión todos los números reales del intervalo abierto (0,1), y eso lleva a una contradicción, que Cantor mostró hace más de un siglo.

Saludos.

05 Enero, 2019, 01:07 am
Respuesta #36

manooooh

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Hola

Pues no estoy de acuerdo con esas afirmaciones que he marcado con color. Son falsas.

Tomemos la siguiente función definida en los reales:

\( y=f(x)=(x-(1+2^{-22}))(x-(1+2^{-52}))(x-(1+2^{-63}))(x-(1+2^{-10000})). \)

Coincidirás conmigo que los ceros de esa función son los siguientes valores:

\( 1+2^{-22},1+2^{-52},1+2^{-63},1+2^{-10000}. \)

Sin embargo,
en una computadora o programa que sólo admita resultados de cálculos en precisión simple,
dará como resultado que sólo existen las raíces \( 1+2^{-22} \) y \( 1 \);

en una computadora o programa que sólo admita resultados de cálculos en precisión doble,
dará como resultado que sólo existen las raíces \( 1+2^{-22},1+2^{-52} \) y \( 1 \);

en una computadora o programa que sólo admita resultados de cálculos en precisión extendida (como el caso de Intel de 80 bits),
dará como resultado que sólo existen las raíces \( 1+2^{-22},1+2^{-52},1+2^{-62} \) y \( 1 \).

En ningún caso obtendrás el cero \( 1+2^{-10000} \).

Y el cualquier caso, con el método que has propuesto de "reemplazar y verificar si da cero el resultado",
obtendrás que para cualquier valor \( x \) en el intervalo \( [1-2^{-64},1+2^{-64}] \),
el resultado de dará 0 en la computadora, mientras que matemáticamente no es 0.

Un ejemplo práctico podés verlo con la calculadora online de Google.
Me da 0 al tirarle este cálculo (con \( x=(1+2^{-51}) \)):

((1+2^(-51))-(1+2^(-22)))((1+2^(-51)-(1+2^(-52)))((1+2^(-51))-(1+2^(-63)))((1+2^(-51)-(1+2^(-10000))).

E incluso con esto otro también da 0:

((1+2^(-51))-(1+2^(-22)))((1+2^(-51)-(1+2^(-52))).

Coincido en que esos son los ceros.

Sin embargo que una o algunas cuantas computadoras o calculadoras no puedan resolver ese tipo de ecuaciones no significa que todas sean incapaces. Si tenemos la suerte de tener una computadora especializada en este tipo de búsquedas muy probablemente el tipo de precisión será de muchos, muchísimos más bits.

Por otro lado, yo dije:

(...) Una cosa es que la computadora no sea capaz de resolver ciertas expresiones, pero otra distinta es que arroje malos resultados (...)

Es un ejemplo del primer caso, donde la computadora, por su capacidad finita, es incapaz de procesar todos los valores, pero es capaz de procesar aquellos que permita. Estas soluciones (que no son todas, claramente) son las mismas que si una persona mira la función y trata de buscar los ceros. Y ahí viene la precisión de la computadora, no así en su capacidad, aunque de a poco se van creando máquinas con más capacidad.

Saludos

05 Enero, 2019, 01:14 am
Respuesta #37

manooooh

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Los puntos suspensivos se usan para reemplazar una enumeración,
lo cual tiene sentido con un conjunto con la propiedad de estar bien ordenado,
como es el caso de un conjunto finito, o una sucesión de elementos indexados con los naturales 1, 2, 3, .....

Pero los números reales no admiten una enumeración.
Con esto quiero decir que no se pueden poner en una sucesión apareada con los números naturales,
no se pueden enumerar.

Por eso. no es válido usar puntos suspensivos para sugerir el armado de una tabla cuyas entradas sean números reales.

No hay un algoritmo que genere todos los números reales.
Si lo hubiera, se podría redefinir para generar un algoritmo que liste en sucesión todos los números reales del intervalo abierto (0,1), y eso lleva a una contradicción, que Cantor mostró hace más de un siglo.

Wow tenés razón. Por más que liste algunos números jamás se podrá describir por extensión todos y cada uno de los elementos. Gracias.

Saludos

05 Enero, 2019, 01:27 am
Respuesta #38

argentinator

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Por otro lado, yo dije:

(...) Una cosa es que la computadora no sea capaz de resolver ciertas expresiones, pero otra distinta es que arroje malos resultados (...)

Es un ejemplo del primer caso, donde la computadora, por su capacidad finita, es incapaz de procesar todos los valores, pero es capaz de procesar aquellos que permita. Estas soluciones (que no son todas, claramente) son las mismas que si una persona mira la función y trata de buscar los ceros. Y ahí viene la precisión de la computadora, no así en su capacidad, aunque de a poco se van creando máquinas con más capacidad.

Saludos

Nunca existirán computadoras con toda la capacidad para procesar precisión ilimitada.
Es un problema inherente al diseño de las computadoras, que siempre tienen precisión finita,
es decir, un número finito fijo de dígitos binarios.
Por más dígitos que se le agreguen en el futuro, siempre quedarán dígitos por fuera de su capacidad.

Vía software se puede conseguir mayor cantidad de dígitos.

Sin embargo, ninguna computadora podrá informarte si otra computadora es bastante capaz o no,
o si determinado software tiene o no la suficiente capacidad.
Esas cosas sólo podrá decidirlas un humano de carne y hueso, con su sabio criterio, estrujando lentamente sus neuronitas.

05 Enero, 2019, 02:22 am
Respuesta #39

Carlos Ivorra

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Sí se puede, como lo hice yo; agregando puntos suspensivos (cuando la función es infinita). ¿Entonces también está mal decir que \( \Bbb N=\{1,2,\ldots\} \)? Claro que no. Los puntos suspensivos nos ayudan a hacer las matemáticas (yo no las hago, simplemente las uso).

A esto ya te ha contestado argentinator y, por lo que veo, te ha convencido.

¿Cómo pretendés que tenga que elegir algo si ni sé lo que significa? Otro de los grandes problemas en el sistema educativo es que "Te lo defino con un ejemplo", como me pasa a mí. MAL. No puedo definir una función a trozos, lo único que puedo decirte es que intuyo que se trata de una función que reúne otras funciones (no en el sentido de composición, como ocurre con \( \ln(x^2)+1 \)), sino que... en ese sentido.

Pero es que no hay ningún concepto preciso de "función a trozos", al menos que yo conozca. Es un mero término coloquial para referirse informalmente a ciertas funciones. Precisamente, como estás haciendo afirmaciones que pretenden ser generales sobre funciones a trozos (preguntas si toda función de \( \mathbb R \) en \( \mathbb R \) puede definirse como una función a trozos) necesito preguntarte a qué llamas exactamente "función a trozos", porque no creo que nadie se haya molestado nunca en dar una definición precisa de "función a trozos", porque no hay teoremas generales sobre "funciones a trozos".

Cuando preguntas si toda función puede definirse mediante una fórmula o si toda función puede definirse a trozos por varias fórmulas estás nadando contra corriente, porque precisamente la teoría de conjuntos se ha inventado (aparte de para fundamentar la matemática) para no tener que preocuparse por la forma en que se define una función. La definición conjuntista de función como conjunto de pares ordenados sirve precisamente para no tener que presuponer nunca que una función tiene una fórmula asociada, precisamente porque los conceptos de "fórmula" o "definición" son muy escurridizos, y la teoría de conjuntos permite estudiar las funciones en general (y las funciones del cálculo de una variable en particular) sin necesidad de hablar nunca de definiciones de funciones, y sin que ello suponga ninguna pérdida de rigor.

Es inmediato. Se trata de ver que cada \( x\in \mathbb R \) tiene una única imagen, pero sólo tienes que distinguir dos casos: si \( x\in A \), entonces su única imagen es \( 1 \) y si \( x\notin A \), su única imagen es \( 0 \). Por ejemplo, si \( A=[0,1] \) se trata de la función que vale \( 1 \) para \( 0\leq x\leq 1 \) y vale \( 0 \) en los demás casos. Pero en ese ejemplo \( A \) es definible por una fórmula, y yo te ponía el ejemplo para considerar el caso en que no es así. Para plantearte si consideras como "función definida a trozos" una función definida en dos casos, pero sin que los casos sean a su vez definibles.

Sigo sin entender qué hace \( f = (A\times \{1\})\cup ((\mathbb R\setminus A)\times \{0\}) \). Si \( A=[0,1] \) tenemos \( [0,1]\times\{1\} \), ¿y esto es igual a \( [0\times1,1\times1] \)? No sé.

No, no es así, pero, míralo mejor en la forma equivalente:

\( f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in A\\ 0 & \text{si}& x\notin A\end{cases} \)

¿No está claro así de qué función se trata? Que se pueda definir también de la otra forma es secundario para lo que estamos hablando aquí.

Como no te gustan los conjuntos no medibles, te pongo otro ejemplo, a ver si te gusta más:

No es que no me gustan, no los entiendo. No sé qué bibliografía tomar para no tener que estudiar todo un libro y que sólo me sirva una definición (la que usás para el ejemplo), pero esa definición generalmente trae consigo otras definiciones que tampoco las entiendo.

Sólo pretendía ser un ejemplo de conjunto que se puede demostrar que existe, pero no se puede definir. Me pedías ejemplos de funciones que no admitan una definición, pero claro, un ejemplo así requiere cierto arte inevitablemente.

Sea \( R \) un buen orden en \( \mathbb R \), es decir, una relación de orden total en la que todo subconjunto de \( \mathbb R \) no vacío tiene un mínimo elemento. Suponemos además que \( \mathbb R \) con esta relación no tiene un máximo elemento.

Se puede probar que existe una relación así, pero la prueba requiere el axioma de elección, por lo que no es posible definir \( R \) explícitamente mediante una fórmula. Ahora defino \( f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) mediante:

\( f(x) =\min\{y\in \mathbb R\mid (x, y)\in R \land y\neq x\}  \),

es decir, como el mínimo número real que es estrictamente mayor que \( x \) respecto a la relación indefinible \( R \).

¿Consideras que esta aplicación tiene una fórmula de definición? O, dicho de otro modo, ¿aceptas lo que he escrito a la derecha de \( f(x) \) como "fórmula que define a \( f \)"? La clave del asunto es que, en un sentido amplio del término, es una fórmula, pero una fórmula que contiene un parámetro no definido \( R \), por lo cual yo diría que \( f \) no es definible.

No sé qué decir porque nunca mezclé funciones con órdenes. No puedo contestar.

Pues no sabría ponerte ejemplos más sencillos. Lo siento. No una función sin definición no puede ser algo sencillo. De todos modos, definir una función a partir de una relación de orden no es algo tan raro. Por ejemplo, a ver si entiendes esta definición:

Llamo \( f: \mathbb N\longrightarrow \mathbb N \) a la función dada por \( f(n) =  \) el mínimo número primo \( p \) que no divide a \( n \). O, por escribirlo en términos más parecidos al ejemplo anterior:

\( f(n) = \min\{p\in \mathbb N\mid p\mbox{ es primo }\land p\nmid n\} \).


¿Entiendes esta definición? Por ejemplo, \( f(6) = 5 \), porque \( 6 \) es divisible entre los primos \( 2, 3 \), y el menor primo que no está ahí es \( 5 \).

Lo que puedo decirte es que si una función asigna a un \( x \) una expresión, entonces esa función tiene consigo una fórmula.

Eso dependerá de lo que entiendas por fórmula. Te pongo ejemplos donde eso podría ser cuestionable con una definición razonable de fórmula, pero me dices que no los entiendes, con lo que me resulta muy difícil argumentar. Por remitirme al más elemental de los ejemplos que te he puesto (aunque precisamente por eso no es muy bueno como argumento): ¿Consideras que la última función que te he definido, la del mínimo primo, está definida por una fórmula? No te estoy pidiendo que averigües nada, sino que me digas si la definición que te he dado, tal cual te la he dado, responde a lo que tú aceptarías como "función definida mediante una fórmula".

Dos fórmulas son iguales o equivalentes cuando una puede obtenerse, mediante operaciones fundamentales, mediante la otra, y viceversa.

Pero te he puesto también un ejemplo de dos funciones que, para ver si son iguales o no, es necesario demostrar o refutar la conjetura de Goldbach. Y eso no tiene nada de "operación fundamental". Ya sé que me dices que no entiendes la función que te he puesto, pero ¿qué hacemos entonces? El hecho de que no entiendas un contraejemplo no significa que ese contraejemplo no exista.

Dos funciones matemáticas de variable real son iguales cuando sus dominios, codominios, y fórmulas coinciden. El caso de \( f(x)=x^2 \) y \( g(x)=|x^2| \) (con sus respectivos dominios y codominios) son iguales porque \( |x^2| \) puede convertirse en \( x^2 \), y viceversa.

Ya, pero me temo que hay casos más complicados que ésos para los que tu teoría no funciona. Tratar de definir la igualdad de funciones mediante equivalencia de fórmulas es meterse en terrenos muy pantanosos. Pero estamos en las mismas. Los ejemplos que trato de ponerte para que veas que eso no funciona en general me dices que son muy complicados, y no te sé poner otros más sencillos.

El que se lía sos vos con este ejemplo. Puse \( f(x)=x \) porque era algo fácil de calcular,

Ah, perdón. Con tantas ramificaciones que tiene este hilo, no era consciente de que me estabas hablando de esa función en concreto.

pero cualquier función tiene asociada un conjunto de ceros. En tu caso, con \( f(x)=x^2-1 \) se tiene que \( C^0=\{-1,1\} \) ya que hace cierta \( f(x)=0 \), pero también hace cierta \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), ¿entonces para qué calculamos \( C^0 \) si sabemos que, definiendo los conjuntos mediante \( f(x)\geq0 \) y \( f(x)\leq0 \), siempre van a estar allí? Es algo innecesario el \( = \) para los dos últimos conjuntos. Si se los sacamos el \( C^0 \) adopta una mejor identidad; el "Conjunto de ceros" y no el "Conjunto de ceros que además es parte de los conjuntos \( C^+ \) y \( C^- \)". Repito, ¿entonces para qué calculamos \( C^0 \)?

No entiendo la pregunta. Dada una función, puedes calcular el conjunto de sus ceros, que tiene interés para muchas cosas. ¿En qué afecta al interés que tenga el conjunto de ceros el hecho de que además puedes calcular otros conjuntos?

Obviamente es algo subjetivo, pero mientras más precisos seamos con nuestros cálculos más entenderemos y más nos entenderán.

Pero es que no hay ninguna imprecisión en ningún cálculo. ¿Qué imprecisión hay en estudiar en qué puntos una función es \( \geq 0 \)? Es un conjunto perfectamente definido y que, si lo calculas con precisión, pues eso, lo tendrás calculado con precisión.

Prefiero que el \( 0 \) no sea positivo ni negativo, pero no prefiero que sea positivo y negativo.

Bien, pues nadie te discute lo que quieras preferir. Yo también prefiero que el cero sea considerado un número natural, y hay mucha gente que considera lo contrario. Pero no digo que lo que escriben es ambiguo, confuso ni nada parecido.

Es traumático porque confunde.

Pues yo no veo la confusión en ningún sitio. No sé qué más decirte.

Si tenemos el enunciado "Sea \( f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(m)=m+2 \). Estudie la continuidad de \( f \) en \( m=2 \)", ¿sabés lo que haría yo de muy riguroso? Antes de nada hago \( f(m=2)=f(2)=2+2=4 \), entonces \( f(m)=f(2)=4 \) y no hay continuidad que analizar porque no hay función.

¿Ves a qué punto de contradicción se puede llegar si uno pone \( m=2 \)? Esto se salva diciendo que el punto (que no critico que se diga punto) es \( m_0=2 \) o \( m^*=2 \) o \( m_6=2 \).

Pero ahí estás pasando de que te dan un punto \( m=2 \) a la afirmación falsa \( forall m m = 2 \), obviamente es mejor no usar la misma letra para nombrar el punto que para definir la función, pero eso es algo mucho más elemental (y sin duda saludable) que el convenio más concreto de usar notaciones estándar para distinguir "puntos genéricos" y "puntos concretos". Cuando te decía que ese convenio (sin duda útil) es prescindible en teoría, no me refería a que puedes llamar con el mismo nombre a todo, sino que, en lugar de distinguir entre \( m \) y \( m_0 \), en teoría podrias usar \( m \) y \( j \) y no pasaría nada, aunque, desde luego, sería más molesto de leer.

Lo que te decía es que los convenios psicológicos de "para los primos uso la \( p \)", para los enteros no necesariamente primos la \( n \), para los grupos uso la \( G \) son útiles, pero no son más que normas de estilo, pero lo contrario de seguir esas normas de estilo no es llamar a todo con la misma letra.

Toma un número real cualquiera, por ejemplo \( \pi \). Ahora ve considerando los números naturales pares mayores que \( \pi \), uno por uno: \( 4, 6, 8, 10, \ldots \) Intenta expresarlos como suma de dos primos: \( 4=2+2 \), \( 6 = 3+3 \), etc.

Si llegas a encontrar un \( n \) que no puede expresarse como suma de dos primos, entonces \( f(\pi)=n \), pero si no existe ninguno, entonces \( f(\pi)=0 \). En cualquier caso, \( \pi \) tiene una única imagen bien definida. Por ejemplo, es obvio que \( 2 \) no puede expresarse como suma de dos primos, luego \( f(1.3)=0 \).

Dando casos particulares no probás que la función es: 1) Una relación, 2) Cumple unicidad, 3) Cumple existencia. ¿Notás lo indispensable que son las fórmulas?

Pero es que lo único que trataba de hacerte entender es cómo se define la función. Trataba de que entendieras qué es en ese caso \( f(x) \), y creo que un ejemplo es una buena forma de que lo entiendas, sobre todo porque en el ejemplo no se usa ninguna propiedad específica de \( \pi \). (Sólo se usa que está entre 2 y 3, y cualquier número real está igualmente entre un entero y su siguiente.) ¿Has entendido cómo está definida esa función? Porque cuando lo entiendas, todo lo demás será evidente: para cada número \( x \), siempre existe un único entero \( n \) que cumple \( f(x)=n \), porque, o bien hay un natural mayor que \( x \) que no es suma de dos primos, y entonces ese \( n \) es el único número real que cumple \( f(x)=n \), por definición de \( f \), o bien no existe tal \( n \) y entonces \( 0 \) es el único número real que cumple \( f(0)=n \).

La cuestión es si entiendes o no la definición de \( f \). Si la entiendes, todo lo demás es trivial, y es un ejemplo de función que sólo podrás probar que es igual a la función dada por

\( f(x)=\begin{cases} 2 & \text{si}& x\leq 2\\ 0 & \text{si}& x>2\end{cases} \)

demostrando la conjetura de Goldbach, algo que tira por tierra tu teoría de las fórmulas y las equivalencias por relaciones fundamentales.

La molestia está en que si te pido que me digas dónde está el \( -4 \) me vas a decir "En todos los conjuntos". ¿Qué importancia tiene eso? Si definís los conjuntos \( C^+,C^0,C^- \) como \( f(x)>0,f(x)=0,f(x)<0 \), respectivamente, cuando te haga la pregunta "¿Dónde está el \( -4 \)?" vas a saber exactamente dónde buscarlo. Así trabajan los ordenadores; lo menos redundante posible. Sino todo sería un completo caos.

Pero ¿desde cuándo hay que buscar números? Haces un planteamiento totalmente artificial. Incluso con tu criterio, el \( -4 \) estará en un conjunto distinto para cada función \( f \) que consideres. ¿Otra vez se van a colgar todos los ordenadores de universo porque no sabrán qué \( f \) tomar para buscar el \( -4 \)?

¿Qué tiene que ver una definición matemática con lo que hagan o dejen de hacer los ordenadores? Hay muchos conceptos matemáticos que no caben en ningún ordenador, porque no tienen de finitista ni una coma. ¿Se cuelgan todos los ordenadores del universo porque no sepan dónde buscar \( \aleph_{534} \)?