Autor Tema: Todo conjunto de Delone en la recta es bi-lipschitz equivalente a los enteros.

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11 Noviembre, 2018, 01:55 am
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lindtaylor

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Definición \( A \) es un conjunto de Delone en \( X \) espacio métrico, si \( \exists \delta,\epsilon>0 \) tal que para todo \( a\neq a'\in A,\ d(a,a')\geq \delta \) y \( \forall x\in X, \exists a\in A,\ d(x,a)\leq \epsilon \)

¿Cómo puedo probar que todo conjunto de Delone en \( \mathbb{R} \) es bi-Lipschitz equivalente a \( \mathbb{Z}? \) Según artículos dicen que es fácil pero ninguno lo prueba...

Necesito una biyección \( f:A\to \mathbb{Z} \)  y
\( \frac{1}{L}d(a,a')\leq d(f(a),f(a'))\leq Ld(a,a') \) para todo\( a,a'\in A \).

Pensaba tomar la función piso  \( f(a)=[a] \). El problema es que no tendría inyectividad asegurada...

Otro problema, es que de partida el conjunto de Delone debe ser numerable por lo que veo, pues necesitamos si o sí una biyección entre el connjunto de Delone dado y los enteros, pero no sé si todo Delone en \( \mathbb{R} \) es de antemano numerable...

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12 Noviembre, 2018, 11:09 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Definición \( A \) es un conjunto de Delone en \( X \) espacio métrico, si \( \exists \delta,\epsilon>0 \) tal que para todo \( a\neq a'\in A,\ d(a,a')\geq \delta \) y \( \forall x\in X, \exists a\in A,\ d(x,a)\leq \epsilon \)

¿Cómo puedo probar que todo conjunto de Delone en \( \mathbb{R} \) es bi-Lipschitz equivalente a \( \mathbb{Z}? \) Según artículos dicen que es fácil pero ninguno lo prueba...

Necesito una biyección \( f:A\to \mathbb{Z} \)  y
\( \frac{1}{L}d(a,a')\leq d(f(a),f(a'))\leq Ld(a,a') \) para todo\( a,a'\in A \).

Pensaba tomar la función piso  \( f(a)=[a] \). El problema es que no tendría inyectividad asegurada...

Otro problema, es que de partida el conjunto de Delone debe ser numerable por lo que veo, pues necesitamos si o sí una biyección entre el connjunto de Delone dado y los enteros, pero no sé si todo Delone en \( \mathbb{R} \) es de antemano numerable...

La idea es la siguiente. Considera \( \mathbb{R} \) recubierta por la familia de conjuntos disjuntos:

\( \{I_k\}_{k\in \mathbb{Z}} \) con \( I_k=[k\delta,(k+1)\delta) \)

Por la definición de conjunto de Delone sabes que en cada uno de esos intervalos a lo sumo hay un elemento del conjunto; por la condición \( d(x,a)\leq \epsilon \) sabes además que el conjunto es infinito. Luego desde luego el conjunto es infinito numerable.

Entonces existe una subsucesión \( \{k_n\}\subset Z \) formada por los índices tales que \( A\subset I_{k_n}\neq\emptyset \). La aplicación es:

\( f:\mathbb{Z}\to A,\qquad f(n)=I_{k_n}\subset A \)

y su inversa:

\( f^{-1}:A\to \mathbb{Z},\qquad f^{-1}(a)=k_n \) tal que \( a\in I_{k_n} \).

Saludos.