[Juan Sánchez]

Sean \( f,g:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dos funciones continuas, y \( g \) acotada. Demuestra que para todo \( (t_0,x_0)\in \mathbb{R^2} \) las soluciones maximales del problema de Cauchy \begin{cases}x'=f(t)g(x)\\x(t_0)=x_0\end{cases} estan definidas para todo \( \mathbb{R} \)

Lo que he intentado:

Supongo que la solución maximal no está definida para todo \( \mathbb{R} \), entonces sea \( I \) el intervalo maximal, por ejemplo \( (-\infty,b) \), tomo el límite cuando \( t \) tiende a \( b \) para la función solución \( \phi(t) \). Es decir:

\( \displaystyle\lim_{t \to{+}b}{\phi'(t)=f(t)g(\phi(t))=f(b)K} \) para \( K\geq{g(\phi(t)} \), ya que la función \( g \) es acotada. Entonces llego a que \( \phi(t) \) tiende a infinito en \( b \) (ya que no esta definida en \( b \)) con una derivada acotada. Es esto una contradicción?

El problema es que intuyo que aunque una función tienda a infinito, no es necesario que su derivada también tienda a inifinito.

Es mi razonamiento correcto? Sea f una función que tiende a infinito en un punto b, esto implica que su derivada en ese punto b tambien es infinita?

[Luis Fuentes]

Hola

Es mi razonamiento correcto? Sea f una función que tiende a infinito en un punto b, esto implica que su derivada en ese punto b tambien es infinita?

Si, no puede estar acotada. Si fijas \( x_0<b \) y tomas otro \( x\to b \) por el teorema de Rolle existe un punto intermedio \( c_x \) tal que:

\( f'(c_x)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

y dado que \( f(x)\to \infty \) cuando \( x\to b \), el cociente no está acotado.

Saludos.

[Samir M.]

Hola.

Entonces llego a que \( \phi(t) \) tiende a infinito en \( b \) (ya que no esta definida en \( b \)) con una derivada acotada.

¿Cómo llegas a que \( \phi(t) \) tiende a infinito en \( b \)? No entiendo bien a qué te refieres con que no está definida en \( b \) (y cómo tiene que ver que no esté definida con que tienda a infinito).

[Juan Sánchez]

¿Cómo llegas a que \( \phi(t) \) tiende a infinito en \( b \)? No entiendo bien a qué te refieres con que no está definida en \( b \) (y cómo tiene que ver que no esté definida con que tienda a infinito).

Es mi hipótesis. Suponiendo que \( \phi(t) \) no esta definida en un punto \( b \) de \( \mathbb{R} \) (es decir, que tiende a infinito o menos infinito) llego a una contradicción, por lo que tiene que estar definida en todo \( \mathbb{R} \)

[Samir M.]

Es mi hipótesis. Suponiendo que \( \phi(t) \) no esta definida en un punto \( b \) de \( \mathbb{R} \) (es decir, que tiende a infinito o menos infinito) llego a una contradicción, por lo que tiene que estar definida en todo \( \mathbb{R} \)

Pero que no esté definida no implica que la solución explote (es decir, que tienda a infinito), puede salirse del dominio o quedarse en la frontera.

Por otro lado, estás definiendo \( \phi : (-\infty, b) \to \mathbb{R} \), entonces \( \lim_{x\to b^+}\phi(x) \) no está definido, luego no veo cómo concluyes que \( \displaystyle\lim_{t \to{+}b}{\phi'(t)=\displaystyle\lim_{t \to{+}b} f(t)g(\phi(t))=f(b)K} \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Por otro lado, estás definiendo \( \phi : (-\infty, b) \to \mathbb{R} \), entonces \( \lim_{x\to b^+}\phi(x) \) no está definido, luego no veo cómo concluyes que \( \displaystyle\lim_{t \to{+}b}{\phi'(t)=\displaystyle\lim_{t \to{+}b} f(t)g(\phi(t))=f(b)K} \).

Si, es que eso no está bien. Pero si puede concluir es que la derivada está acotada en \( (b-\epsilon,b) \) por ser \( f \) continua en todo \( \mathbb{R} \) (y así acotada en cualquier intervalo acotado) y por ser \( g \) acotada.

Saludos.

[Samir M.]

Sí, así sí. Pero sigue necesitando que \( \phi \) diverja en \( b \) cosa que no veo cómo asegurarlo. En cualquier caso, dado \( I=(t_1,t_2) \) se tiene que \( |\phi'(t)|\leq k M^{t_2}_{t_1}<\infty\quad\forall t\in I \) y yendo a \( \displaystyle |x(t)-x_0|=\int_{t_1}^{t}\phi'(s)ds \) se puede concluir que  para \( t\in I \), \( |x(t)|\leq \infty \) probando directamente que el dominio es todo \( \mathbb{R} \) pues \( I \) fue arbitrario.