Sean \( f,g:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dos funciones continuas, y \( g \) acotada. Demuestra que para todo \( (t_0,x_0)\in \mathbb{R^2} \) las soluciones maximales del problema de Cauchy \begin{cases}x'=f(t)g(x)\\x(t_0)=x_0\end{cases} estan definidas para todo \( \mathbb{R} \)
Lo que he intentado:
Supongo que la solución maximal no está definida para todo \( \mathbb{R} \), entonces sea \( I \) el intervalo maximal, por ejemplo \( (-\infty,b) \), tomo el límite cuando \( t \) tiende a \( b \) para la función solución \( \phi(t) \). Es decir:
\( \displaystyle\lim_{t \to{+}b}{\phi'(t)=f(t)g(\phi(t))=f(b)K} \) para \( K\geq{g(\phi(t)} \), ya que la función \( g \) es acotada. Entonces llego a que \( \phi(t) \) tiende a infinito en \( b \) (ya que no esta definida en \( b \)) con una derivada acotada. Es esto una contradicción?
El problema es que intuyo que aunque una función tienda a infinito, no es necesario que su derivada también tienda a inifinito.
Es mi razonamiento correcto? Sea f una función que tiende a infinito en un punto b, esto implica que su derivada en ese punto b tambien es infinita?