Autor Tema: Demostrar que un problema de valor inicial tiene una única solución.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

26 Octubre, 2018, 11:32 pm
Leído 1877 veces

Juan Sánchez

  • Junior
  • Mensajes: 93
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea \( f:[t_0,t_1]\times \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función contínua. Suponemos que f is una función decreciente en \( x \). Cómo puedo demostrar que para cada \( x_0\in{\mathbb{R}} \), el problema \( \begin{cases} x'=f(t,x) \\ x(t_0)=x_0 \end{cases} \) tiene una única solución?

26 Octubre, 2018, 11:33 pm
Respuesta #1

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,970
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

¿No es un teorema propio, el de existencia y unicidad de las soluciones? Aunque claro, faltaría ver el tema de que ahora la función es decreciente. Y que va de dos variables a una...

Saludos

27 Octubre, 2018, 01:31 am
Respuesta #2

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,138
  • País: es
  • Karma: +4/-0
Sea \( f:[t_0,t_1]\times \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función contínua. Suponemos que f is una función decreciente en \( x \). Cómo puedo demostrar que para cada \( x_0\in{\mathbb{R}} \), el problema \( \begin{cases} x'=f(t,x) \\ x(t_0)=x_0 \end{cases} \) tiene una única solución?

Usando el teorema de Picard-Lindelöf deberías tratar de mostrar que \( f \) es localmente Lipschitz respecto de \( x \). Como \( [t_0,t_1] \) es compacto entonces podemos obviar la variable \( t \), ya que \( f \) es uniformemente continua en \( [t_0,t_1]\times [a,b] \) para cualquier \( [a,b] \).

Que \( f \) sea decreciente no es suficiente para asegurar que es localmente Lipschitz respecto de \( x \). No creo que se pueda demostrar la unicidad de soluciones sólo suponiendo que \( f \) es continua y decreciente en \( x \).

De hecho el problema de valor inicial \( x'=-2\operatorname{signo}(x)\sqrt{|x|},\, x(0)=0 \), con \( f(t,x):=-2\operatorname{signo}(x)\sqrt{|x|} \) continua en \( \Bbb R^2 \) y decreciente en \( x \), tiene incontables soluciones de la forma

\( \displaystyle {u_{\alpha,\beta}(t):=\begin{cases}-(t-\alpha)^2,& t\in(-\infty,\alpha]\\
0,& t\in(\alpha,\beta)\\-(t-\beta)^2,& t\in[\beta,\infty)\end{cases}} \)

para todo \( \alpha,\beta\in\Bbb R \) tal que \( \alpha<0<\beta \), y añadiendo también la solución \( u_0(t):=0 \).

CORREGIDO: la función de ejemplo que había puesto originalmente no era decreciente en \( (-\infty,0) \) respecto de \( x \) pero añadiendo la función signo como factor ya nos sirve como contra-ejemplo.

EDICIÓN: ah, no. El supuesto contra-ejemplo de arriba tiene un error.

27 Octubre, 2018, 07:17 pm
Respuesta #3

Samir M.

  • Physicsguy.
  • Moderador Global
  • Mensajes: 997
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • I'm back^3.
Hola.

¿Has dado contracciones? Siendo \( \phi \) solución, se puede definir un único operador contractivo tal que \( \Gamma(\phi) = \phi \) y a continuación aplicar el teorema del punto fijo de Banach. El operador lo puedes definir como \( \Gamma\phi(t) = x_0 + \displaystyle \int_{t_0}^t f(s,\phi(s)) ds  \).

Saludos.

Más fácil:

Si defines \( \phi(t) = (\phi_2(t)-\phi_1(t))^2 \) entonces \( \phi(t_0) = 0 \) y además \( \phi'(t) = 2(\phi_2(t)-\phi_1(t))\left[(f(t,\phi_2(t))-f(t,\phi_1(t))\right] \) y como \( f  \)es decreciente, \( \phi'(t) \leq 0 \), es decir, \( \phi(t_0) = 0  \) por lo que \( \phi_1(t_0) = \phi_2(t_0) \)

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

27 Octubre, 2018, 09:41 pm
Respuesta #4

Juan Sánchez

  • Junior
  • Mensajes: 93
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias por las respuestas,

Samir M, podrías elaborar la primera parte de tu respuesta? Me refiero a utilizar el operador y el teorema del punto fijo de Banach. Es algo que he dado en clase pero no sé como utilizar en los problemas.

28 Octubre, 2018, 04:32 pm
Respuesta #5

Samir M.

  • Physicsguy.
  • Moderador Global
  • Mensajes: 997
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • I'm back^3.
Hola.

Mira en la página 56 y posteriores de este pdf. Un poco antes (página 34) tienes la teoría sobre contracciones.

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.