Considerando la ecuación \( x''=kx \), que con un cambio de variable se transforma en \( \begin{cases}x'=v\\ v'=kx \end{cases} \) un problema de cauchy (problema del valor inicial), tengo que justificar por que, con \( x(0)=t_0 ,v(0)=v_0 \) tiene una solución única definida para todo \( r\in{\mathbb{R}} \)
Lo que he hecho es ver que la función \( f(t,x)=v \) es tanto contínua como Lipschitz en todo \( \mathbb{R} \), entonces, por el teorema de Picard, el problema \( \begin{cases}x'=v\\ x(0)=t_0 \end{cases} \) tiene esta única solución, \( \phi(t) \). Si \( \phi(t) \) es solución, entonces \( \begin{cases}\phi'(t)=k\phi(t)\\ \phi(0)=t_0\end{cases} \). De la misma forma que antes, puedo asegurar que para este problema exista una solución única en todo \( \mathbb{R} \). Si \( \tau(t) \) es la solución, entonces, se cumple que \( \begin{cases}\tau(\phi'(t))=k\tau(\phi(t))\\ \tau(\phi(0))=t_0\end{cases} \).
Así, la solución \( \tau(\phi(t)) \) es única y está definida para todo \( r\in{\mathbb{R}} \).
Como veis sólo he tenido que aplicar dos veces el teorema de Picard y comprobar que la función \( f(t,x) \) era Lipschitz. He hecho problemas similares a este, pero sin hacer un cambio de variable y teniendo que aplicar solamente una vez el teorema de Picard, por lo que no estoy muy seguro de si lo que hecho está bien. Podrían corregirmelo? Si esta mal, cómo se hace?
Gracias como siempre.