Autor Tema: Demostrar que un problema de Cauchy tiene solución única.

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25 Octubre, 2018, 01:03 am
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Juan Sánchez

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Considerando la ecuación \( x''=kx \), que con un cambio de variable se transforma en \( \begin{cases}x'=v\\ v'=kx  \end{cases} \) un problema de cauchy (problema del valor inicial), tengo que justificar por que, con \( x(0)=t_0 ,v(0)=v_0 \) tiene una solución única definida para todo \( r\in{\mathbb{R}} \)
Lo que he hecho es ver que la función \( f(t,x)=v \) es tanto contínua como Lipschitz en todo \( \mathbb{R} \), entonces, por el teorema de Picard, el problema \( \begin{cases}x'=v\\ x(0)=t_0 \end{cases} \) tiene esta única solución, \( \phi(t) \). Si \( \phi(t) \) es solución, entonces \( \begin{cases}\phi'(t)=k\phi(t)\\ \phi(0)=t_0\end{cases} \). De la misma forma que antes, puedo asegurar que para este problema exista una solución única en todo \( \mathbb{R} \). Si \( \tau(t) \) es la solución, entonces, se cumple que \( \begin{cases}\tau(\phi'(t))=k\tau(\phi(t))\\ \tau(\phi(0))=t_0\end{cases} \).

Así, la solución \( \tau(\phi(t)) \) es única y está definida para todo \( r\in{\mathbb{R}} \).

Como veis sólo he tenido que aplicar dos veces el teorema de Picard y comprobar que la función \( f(t,x) \) era Lipschitz. He hecho problemas similares a este, pero sin hacer un cambio de variable y teniendo que aplicar solamente una vez el teorema de Picard, por lo que no estoy muy seguro de si lo que hecho está bien. Podrían corregirmelo? Si esta mal, cómo se hace?

Gracias como siempre.

25 Octubre, 2018, 02:15 am
Respuesta #1

Masacroso

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Creo que es correcto. Yo lo que hubiese hecho es escribir el sistema en la forma \( w'=Aw \), donde \( A \) es una matriz 2x2 y \( w:=(x,x') \). Entonces tomando \( f(t,w)=Aw \) vemos que \( f \) es trivialmente Lipschitz continua y por tanto tiene una única solución dado un valor inicial \( w_0:=w(0) \).

26 Octubre, 2018, 04:01 pm
Respuesta #2

Samir M.

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Hola.

Sí, es correcto. La extensión del teorema de Picard que mencionas a sistemas es casi directa. La condición de existencia y unicidad se convierte en exigir que: dada \( y\in \mathbb{R}^n \)  (esto es, \( y \) es un vector de funciones) y el sistema \(  {\bf{y}}'(x) = {\bf{f}}(x,{\bf{y}}(x)) \), si cada \( f_i \) es continua en \( I \times \mathbb{R}^n \) y se cumple que \( |f_i(x,{\bf{y}}) - f_i (x, {\bf{z}}) | \leq K \| {\bf{y}} - {\bf{z}} \| \) en \( I \times \mathbb{R}^n \) entonces se verifican los resultados del teorema que conoces para cada \( f_j \).

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.