Hola
Hola ¿cómo puedo probar \( \displaystyle\binom{n-k}{n-r}=\displaystyle\sum_{j=0}^k{}(-1)^j\displaystyle\binom{k}{j}\displaystyle\binom{n-j}{r} \) con \( k\leq{r}\leq{n} \) utilizando el principio de inclusión-exclusión?
Muchas gracias.
Equivale a:
\( \displaystyle\binom{n-k}{n-r}=\displaystyle\sum_{j=0}^k{}(-1)^j\displaystyle\binom{k}{j}\displaystyle\binom{n-j}{n-j-r} \)
Entonces el término de la izquierda se puede interpretar como subconjuntos de los números del \( 1 \) al \( n \) formados por \( n-r \) elementos y sin contener a los \( k \) primeros.
Son todos los
subconjuntos de \( n-r \) elementos del
conjunto de los números del \( 1 \) al \( n \): \( \displaystyle\binom{n-0}{n-r-0} \)
Restamos los que contienen a algún número de \( 1 \) a \( k \): \( \displaystyle\binom{k}{1} \) opciones para elegir el número entre \( 1 \) y \( k \) y \( \displaystyle\binom{n-1}{n-r-1} \) posibilidades para los restantes.
Pero así hemos restado dos veces los que contienen simultáneamente a dos números de \( 1 \) a \( k \); los sumamos. \( \displaystyle\binom{k}{2} \) opciones para elegir los dos números entre \( 1 \) y \( k \) y \( \displaystyle\binom{n-2}{n-r-2} \) posibilidades para los restantes.
Y así sucesivamente...
Saludos.
CORREGIDO
