Autor Tema: combinatoria

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20 Octubre, 2018, 11:56 am
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atayap

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Hola, sea A un conjunto con n elementos.,me piden contar el número de formas posibles en las que se pueden escoger r elementos de forma que entre esos r elementos estén k determinados de A \( k\leq{r}\leq{n} \)
He probado viendolo con algunos ejemplos, y creo que sería \( \displaystyle\binom{n-k}{n-r} \) He intentado a verlo por el complementario, es decir, tomando combinaciones de n-k elementos (de forma que estén todos los k no seleccionados) y tomándolos de (n-r) en (n-r) ¿Es ésto correcto? No lo tengo muy seguro, ¿existe algún razonamiento mejor? Como siempre muchas gracias por vuestra ayuda.

20 Octubre, 2018, 09:03 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

El conjunto de r elementos (C), es la reunión de un conjunto de k elementos (D) con un conjunto de r-k elementos (E). En consecuencia : \( C=D\cup{E} \). El número (N) de conjuntos C posibles diferentes será : \( N=m \ s \) donde m es el número de conjuntos D posibles diferentes y s es el número de conjuntos E posibles diferentes.
m=1 solamente hay un conjunto de k elementos.
\( s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k} \) es el número de combinaciones de n-k los elementos sobrantes, tomados de r-k en r-k elementos.

La respuesta que has dado es incorrecta. La respuesta es : \( N=\displaystyle\binom{n-k}{r-k} \)

Saludos

Lo que esta en color azul ha sido editado, para mayor claridad

20 Octubre, 2018, 11:56 pm
Respuesta #2

atayap

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Hola, no lo entiendo muy bien. Lo estoy intentado ver con un ejemplo.
Supongo que tengo los objetos 1 2 3 4 5 (n=5), y quiero que estén el 2 y el 4, es decir, k=2. Y escojo 4 elementos (r=4)
De entre todas las opciones posibles.
2,4
2,4,1
2,4,3
2,4,5
2,4,1,3
2,4,3,5
2,4,5,1
2,4,1,3,5
Solo me quedo con:
2,4,1,3
2,4,3,5
2,4,5,1
El conjunto de 4 elementos (C), es la reunión de un conjunto de 2 elementos (D) con un conjunto de 2 (4-2) elementos (E). En consecuencia : \( C=D\cup{E} \). El número 3 de conjuntos C posibles diferentes será : \( 5=m \ s \) donde m es el número de conjuntos D posibles diferentes y s es el número de conjuntos E posibles diferentes. ¿m y s no serían 1 en el ejemplo? No lo entiendo  ???
Muchas gracias por la ayuda.


21 Octubre, 2018, 01:42 am
Respuesta #3

delmar

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Primeramente disculpa, no vi bien tu respuesta \( \displaystyle\binom{n-k}{n-r} \), tu respuesta es incorrecta.  Por otro lado las denominaciones que he dado favorecen la confusión. Denominemos \( N \) al número de conjuntos posibles diferentes de r elementos, entonces  \( N=m \ s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k} \), la puedes verificar con el ejemplo que has puesto : \( N=\displaystyle\binom{5-2}{4-2}=3 \). Respecto a la inquietud ¿s=1?, la respuesta es no. s es el número de posibles conjuntos E diferentes, equivale al número de conjuntos de r-k=2 elementos (E tiene dos elementos) que se pueden formar con n-k=5-2=3 elementos, es decir que se pueden formar con los elementos de A que no son los k elementos elegidos, es decir con los restantes después de elegir a los k, en este caso serán n-k=5-2=3, esto es la combinación : \( s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}\Rightarrow{N=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}} \)

Saludos

Nota : Ya edite mi primer mensaje.

21 Octubre, 2018, 10:27 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Primeramente disculpa, no vi bien tu respuesta \( \displaystyle\binom{n-k}{n-r} \), tu respuesta es incorrecta.  Por otro lado las denominaciones que he dado favorecen la confusión. Denominemos \( N \) al número de conjuntos posibles diferentes de r elementos, entonces  \( N=m \ s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k} \), la puedes verificar con el ejemplo que has puesto : \( N=\displaystyle\binom{5-2}{4-2}=3 \). Respecto a la inquietud ¿s=1?, la respuesta es no. s es el número de posibles conjuntos E diferentes, equivale al número de conjuntos de r-k=2 elementos (E tiene dos elementos) que se pueden formar con n-k=5-2=3 elementos, es decir que se pueden formar con los elementos de A que no son los k elementos elegidos, es decir con los restantes después de elegir a los k, en este caso serán n-k=5-2=3, esto es la combinación : \( s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}\Rightarrow{N=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}} \)

Ojo:

\( \displaystyle\binom{n-k}{r-k}=\displaystyle\binom{n-k}{(n-k)-(r-k)}=\displaystyle\binom{n-k}{n-r} \)

así que su respuesta SI era correcta. Y creo que también su primer razonamiento; el cuenta los subconjuntos complementarios de los que busca es decir si busca subconjuntos de \( r \) elementos que necesariamente contienen a \( k \) prefijados, los complementarios son subconjuntos de \( n-r  \)elementos escogidos necesariamente entre nos \( n-k \) elementos restantes.

Saludos.

21 Octubre, 2018, 08:25 pm
Respuesta #5

delmar

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Luis Fuentes tienes razón, su respuesta es correcta, gracias por tu oportuna intervención.

Saludos