Hola
se me pide que determine un intervalo donde sea continua la función
\( f(x)=\displaystyle\frac{sen \left({3x-7}\right)}{e^x -1} \)
Mi problema ocurre cuando al hacer los cálculos correspondiente me da como resultado que esa función que es indeterminada así que no es continua así que no debería existir un intervalo
me gustaría saber si estoy en lo correcto.
No es correcto que no haya ningún intervalo donde la función sea continua, pero está bien que hayas encontrado el punto (podría haber más) donde la función no está definida y, por ende, no es continua (¡si nada existe allí!). Como verás, estás buscando el dominio de la función \( f \), que en este caso sólo hay que observar cuándo se anula el denominador (ya que es un cociente de funciones continuas):
\( e^x-1=0\iff e^x=1\iff\ln(e^x)=\ln(1)\iff x\cdot\underbrace{\ln(e)}_1=0\iff x=0. \)
Por tanto, \( D_f=\Bbb R\setminus\{0\}. \)
Ahora bien, encontrar un intervalo donde la función sea continua es encontrar un subconjunto \( I\subseteq D_f \) tal que no pase "nada raro ahí". Por ejemplo, si tomamos \( I=[1,2]\subseteq D_f \) vemos que a la función no le pasa "nada raro", ya que en el intervalo cerrado \( [1,2] \) la función es un cociente de continuas tal que no se anula su denominador; por tanto, es continua allí.
O sea, si quisieras tomar \( A=[-1,1] \) allí \( f \) no será continua, ya que contiene el punto "feo" (el \( x=0 \) que pertenece a \( [-1,1] \)).
¿Podrías haber tomado infinitos intervalos donde sea continua? Claro que sí, mientras no contenga el \( x=0 \).
Saludos
P.D. No sé por qué llamás a los títulos "sucesiones" si el contenido del mensaje no tiene nada que ver con eso. ¿Tenés dificultades para entender la diferencia?
