[thadeu]

...

[Arturo Gómez]

Es una función de una variable, y esa variable está en un intervalo. O bien tiene un mínimo relativo (en tal caso es necesario que la derivada se anule) o bien el mínimo se da en uno de los extremos.

[Samir M.]

Hola.

La conclusión es correcta, pero fíjate que \( \dfrac{\pi}{2.65}\leq x \leq \pi/2 \), por tanto tienes que ver que es decreciente en ese intervalo.

Spoiler

Simplemente observa que en \( \dfrac{\pi}{2.65}\leq x \leq \pi/2 \), ocurre que \( 2\sen x \cos x  = \sin(2x) \geq 0 \) y que \( 6\cos^2x+5 \geq 5 \) independientemente del valor de \( x \). Por tanto, la expresión que decide el signo de \( H(x) \) es \( 16 \cos^2(x) - 5 \), que es negativa en \( \dfrac{\pi}{2.65}\leq x \leq \pi/2 \)

[cerrar]

[thadeu]

Hola Samir,
Dado que había algo que no me convencía  en mi argumento, le di una segunda vuelta.
y me encontré con que el argumento  lleva una error.

Al tener \( H^{\prime}(x)\leq{0} \) solo es valido para \(  x\in{(\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2})}  \)

y para aplicarlo a  \( x+k \) habría que ampliar ese intervalo a \( (\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2}+k)  \)

donde \( H^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{2\sen x\cos x(16\cos^2x-5)(6\cos^2x+5)}{(96\cos^2x+25)^2} \) dependería también de \( \cos x \) y es por esta razón que falla el argumento.

Por cierto, ¿cómo obtienes \( \pi-2k=\displaystyle\frac{\pi}{2.65} \)?

[Samir M.]

Hola.

No entiendo bien a qué te refieres. Si \( x\in{(\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2})} \) es el intervalo de definición entonces \( x+k\in{(\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2})} \) también. Otra cosa que se restringan los valores de \( x \)  para los que tiene sentido, pero el intervalo de definición no cambia.

\( \pi-2k=\displaystyle\frac{\pi}{2.65} \) es simplemente una aproximación para dejarlo más intuitivo.

Saludos.

[thadeu]

Hola Samir,
Me refería a que al tener 
\( \pi-2k\leq{x}\leq{\displaystyle\frac{\pi}{2}}  \) esto implica que
 
\( \pi-2k+k\leq{x+k}\leq{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k} \)

\( \Leftrightarrow{\pi-k\leq{x+k}\leq{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k}} \)

Y lo que sabemos es que \(  H(x) \) es decreciente solo en el intervalo \( (\pi-2k,\frac{\pi}{2}) \). Pero, \( x+k \) está, en  \( (\pi-k,\frac{\pi}{2}+k)  \)

Por lo que no podemos concluir que \( H(x+k)<H(x) \)

Gracias por tus observaciones.
No he podido darle la vuelta aún a este problema. Por lo que, cualquier ayuda se agradece de antemano.
Saludos

[Samir M.]

Hola.

Pero tú tienes una función \( f:(\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R} \). No veo el sentido a estudiar intervalos que no están en el intervalo de definición. Tú has llegado a que la función \( H(x) \) es decreciente en el intervalo de definición. Por tanto \( H(x) \neq H(x+a) \) en el intervalo de definición (que, de nuevo es todo el intervalo \( (\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2}) \)), pues si no contradiría que sea estrictamente decreciente. Creo que lo que estás pensando es que es posible tener \( f:(a,b)\to\mathbb{R} \) y \( f': (c,d) \to \mathbb{R} \) tal que \( (a,b)\subset (c,d) \), y no es posible. Sólo es posible que \( (c,d)\subset (a,b) \). O sea me da la impresión de que estás estudiando la derivada fuera del intervalo de definición de la función \( f \), cosa que no tiene sentido.

Saludos.

[thadeu]

Hola Samir
Lo que sucede  es qué \( x+k \) NO PERTENECE AL INTERVALO \( (π−2k,\displaystyle\frac{π}{2}) \)
mas bien pertenece al intervalo \( (π−k,\displaystyle\frac{π}{2}+k) \).
Saludos.