Hola.
Pero tú tienes una función \( f:(\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R} \). No veo el sentido a estudiar intervalos que no están en el intervalo de definición. Tú has llegado a que la función \( H(x) \) es decreciente en el intervalo de definición. Por tanto \( H(x) \neq H(x+a) \) en el intervalo de definición (que, de nuevo es todo el intervalo \( (\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2}) \)), pues si no contradiría que sea estrictamente decreciente. Creo que lo que estás pensando es que es posible tener \( f:(a,b)\to\mathbb{R} \) y \( f': (c,d) \to \mathbb{R} \) tal que \( (a,b)\subset (c,d) \), y no es posible. Sólo es posible que \( (c,d)\subset (a,b) \). O sea me da la impresión de que estás estudiando la derivada fuera del intervalo de definición de la función \( f \), cosa que no tiene sentido.
Saludos.