[dario_oasis]

Hola como están?disculpen podrían ayudarme con este ejercicío?

Hallar la derivada direccional de la función \( f(x,y)=4x^3y^5 \) en el punto \( p=(1,1) \)y en la dirección del vector tangente a la circunferencia \( x^2+y^2=2 \)en p.

[delmar]

Hola

Aplica la definición de derivada direccional.

\( D_{\vec{t}}=\nabla \ f \cdot{\vec{t}} \)

\( \nabla f=\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\vec{i}+\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\vec{j} \)

El gradiente se calcula en P (1,1)

\( \vec{t} \) es el vector tangente a la circunferencia en P(1,1), por ser perpendicular al radio vector en P, sentido antihorario y unitario será : \( \vec{t}=\displaystyle\frac{(-1,1)}{\sqrt[ ]{2}} \)

Saludos

[dario_oasis]

Muchas gracias delmar, no me darias un empujonsito mas?la primera parte aunque sea?te lo agradecere!

[delmar]

En efecto el cálculo de la derivada direccional \( D_{\vec{t}}f=\nabla f \cdot{\vec{t}} \) implica dos partes primero calcular el gradiente de f, \( \nabla f=\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\vec{i}+\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\vec{j} \), obviamente en P (1,1).

\( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}=12x^2y^5 \), se considera constante y

\( \frac{{\partial f}}{{\partial y}}=20x^3y^4 \), se considera constante x

Observa que el gradiente es una función vectorial de dos variables x e y, ahora piden en P(1,1) en ese punto \( x=1, \ y=1 \), se calcula su valor.

La segunda parte es el vector tangente a la circunferencia en P, se denomina \( \vec{t} \), el cuál es unitario (norma 1) y su dirección coincide con el movimiento circular antihorario, tiene la propiedad de ser perpendicular al radio vector \( \vec{OP} \), es conveniente hacer un gráfico del vector y la circunferencia. Calculado \( \vec{t} \) se hace el producto interno.

Saludos

[dario_oasis]

Disculpa como sabes que es unitario y de norma 1?\( \vec{t}=\displaystyle\frac{(-1,1)}{\sqrt[ ]{2}} \)
y el -1,1 de donde salen?

[manooooh]

Hola

Sólo un comentario: se puede aplicar la propiedad del gradiente producto escalar vector direccional (lo que hizo delmar) y así simplificar las cuentas pues la función es diferenciable en el punto; si no lo fuera no valdría esta salida rápida y habría que calcular por definición.

Saludos

[delmar]

Disculpa como sabes que es unitario y de norma 1?\( \vec{t}=\displaystyle\frac{(-1,1)}{\sqrt[ ]{2}} \)
y el -1,1 de donde salen?

Si trazas una recta tangente a una curva en un punto P, por ejemplo, te darás cuenta que hay infinitos vectores tangentes a la curva en P, cuando únicamente te dicen, que el vector es tangente, se asume que su módulo es 1, eso significa que es unitario (longitud, norma 1). El vector tangente queda determinado, considerando :

a) Que es perpedicular al radio vector \( \vec{OP} \), para ello su producto interno ha de ser cero.

b) Que su sentido coincide con el movimiento circular antihorario, hay que graficar. Esto por convención de vector tangente.

Saludos

[dario_oasis]

el resultado entonces queda luego de hacer la gradiente, multiplicarla por el vector,\( \nabla{f}.\mathbf{t}=(-\displaystyle\frac{12}{\sqrt[ ]{2}},\displaystyle\frac{20}{\sqrt[ ]{2}}) \)

cuando decis en el inciso B " Que su sentido coincide con el movimiento circular antihorario, hay que graficar. Esto por convención de vector tangente". su producto interno te refieres a su producto interno entre el punto que me dieron p =(1,1) y el (-1,1) que es la dirección del vector tangente?

[delmar]

Una precisión fundamental : \( \nabla f \cdot{\vec{t}}=(12,20)\cdot{\displaystyle\frac{(-1,1)}{\sqrt[ ]{2}}} \) Esto es un producto interno de 2 vectores ¿Que te parece si desarrollas ese producto interno? Date cuenta que esa es la respuesta.

Por otra parte es obvio que te des cuenta (por eso es importante graficar) que existen dos vectores unitarios (longitud 1) tangentes a la circunferencia en P (están en la misma recta pero sus sentidos son opuestos), por convención se elige el que  es compatible con el movimiento antihorario.

Saludos

[dario_oasis]

\( (-\displaystyle\frac{12}{\sqrt[ ]{2}}+\displaystyle\frac{20}{\sqrt[ ]{2}}) \)

ese es el resultado no? no es lo mismo que puse en el hilo anterior?