Autor Tema: Encontrar subespacios Invariantes

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21 Junio, 2008, 05:21 pm
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Lourdes

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Buenas!! de nuevo estoy con este tema pero ahora no encuentro como hacerlo! tengo un ejemplo que nos dieron en clases pero no me convence! la cuestion es la siguiente :

Sea la siguiente matriz, que representa a un operador lineal T :V \( \longrightarrow{V} \) sobre V, respecto de una base B.

N = 3

T = \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{3}&{-5}&{2}\end{bmatrix} \).

Demostrar que T tiene 2 subespacios T- invariantes de dimension 1 y por lo menos 1 subespacio T - invariante de dimension 2.

Gracias!!

22 Junio, 2008, 07:09 am
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola.

 Nos dices que es un ejemplo que hicieron en clase, ¿podrías precisarnos mejor qué es lo que no te convence?

Saludos.

22 Junio, 2008, 07:33 pm
Respuesta #2

Lourdes

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Nos dieron un ejemplo para analizar similar a este con otra matriz y solo debiamos sacar los subespacios analizando la matriz pero no nos dieron ninguna explicacion.

Segun lo que me dieron cuando analizo el ejercicio que propuse un subespacio seria el formado por V3 ,
ya que veo que T(v3) = 0v1 + 0v2 + 2v3...

pero no entiendo como justificarlo! me parece que el ejercicio no tiene una justificacion clara haciendolo de este modo!


ESPERO QUE HAYA SERVIDO!! gracias!!

22 Junio, 2008, 08:33 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Para hacer este tipo de problemas necesitas un mínimo bagaje teórico. Veamos, usemos el siguiente teorema:

Teorema. Los vectores propios no nulos de un operador lineal \( T \) generan subespacios \( T \)-invariantes de dimensión 1. Recíprocamente si \( u\neq{0} \) genera a un subespacio \( T \)-invariante, \( u \) es vector propio de \( T \).

En nuestro caso, si hallas los valores y vectores propios de \( T \) obtendrás (¡compruébalo!):

(i) \( v_1=(1,0,-3),\;v_2=(0,1,5) \) son vectores propios asociados al valor propio \( \lambda_1=1 \)

(ii) \( v_3=(0,0,1) \) es vector propio asociado al valor propio \( \lambda_2=2 \).

Ya tenemos tres subespacios invariantes de dimensión 1 a saber: \( L[v_1],\;L[v_2],\;L[v_3] \).

Por otra parte, una ecuación cartesiana del subespacio propio asociado a \( \lambda_1=1 \) es \( V_1\equiv 3x_1-5x_2+x_3=0 \) que tiene dimensión 2. El transformado de cualquier \( {}^t(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \) de \( V_1 \) es:

          \( \begin{bmatrix}   1 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 \\   3 & -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \left [ \begin{array}{ccc}   \alpha_1 \\   \alpha_2 \\   \alpha_3 \end{array}  \right ] =  \left [   \begin{array}{ccc}     \alpha_1 \\     \alpha_2 \\     3\alpha_1-5\alpha_2+2\alpha_3   \end{array} \right ] \)

Sustituyendo este transformado en la ecuación de \( V_1 \) obtenemos:

          \( 3\alpha_1-5\alpha_2+3\alpha_1-5\alpha_2+2\alpha_3=6\alpha_1-10\alpha_2+2\alpha_3=0\Leftrightarrow{3\alpha_1-5\alpha_2+\alpha_3=0}. \)

Es decir, el transformado de todo vector de \( V_1 \) está en \( V_1 \), en consecuencia ya tenemos un subespacio invariante de dimensión 2.

Saludos.

11 Octubre, 2018, 08:35 pm
Respuesta #4

dresuer

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Buenas!

Arreglé un poco el LaTeX que escribiste en el 2008:
\(
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  3 & -5 & 2 \\
\end{bmatrix} \\
\left [
\begin{array}{ccc}
  \alpha_1 \\
  \alpha_2 \\
  \alpha_3
\end{array}
\right ] =
\left [
  \begin{array}{ccc}
    \alpha_1 \\
    \alpha_2 \\
    3\alpha_1-5\alpha_2+2\alpha_3
  \end{array}
\right ]
 \)
Sustituyendo este transformado en la ecuación de \( V_1 \) obtenemos:
\( 3\alpha_1 - 5\alpha_2 + 3\alpha_1 - 5 \alpha_2 + 2\alpha_3 = 6\alpha_1 - 10\alpha_2 +
2\alpha_3 = 0 \Leftrightarrow 3\alpha_1 - 5\alpha_2 + \alpha_3 = 0  \)

¿Para formar esa ecuación de dimensión dos te basas en \( \mathbf{W}=\{\alpha\mathbf{w}_1 +\beta\mathbf{w}_2\mid\alpha,\beta\in\mathbb{R}\} \)
Y para formar todas las de dimensión 3 sería, \( \mathbf{W}=\{\alpha\mathbf{w}_1 +\beta\mathbf{w}_2,\gamma\mathbf{w}_3\mid\alpha,\beta,\gamma \in\mathbb{R}\} \), basandote siempre que esos vectores son los autovectores de A, no?

Sí, creo que estoy en lo cierto acá, pero hice la pregunta, me sirve para confirmar, jaja.

12 Octubre, 2018, 09:19 am
Respuesta #5

Fernando Revilla

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Arreglé un poco el LaTeX que escribiste en el 2008:

En su época se veía bien. Ciertos retoques posteriores del código LaTeX provocaron algunos desarreglos. Ya está corregido.

Sustituyendo este transformado en la ecuación de \( V_1 \) obtenemos:
\( 3\alpha_1 - 5\alpha_2 + 3\alpha_1 - 5 \alpha_2 + 2\alpha_3 = 6\alpha_1 - 10\alpha_2 +
2\alpha_3 = 0 \Leftrightarrow 3\alpha_1 - 5\alpha_2 + \alpha_3 = 0  \)
¿Para formar esa ecuación de dimensión dos te basas en \( \mathbf{W}=\{\alpha\mathbf{w}_1 +\beta\mathbf{w}_2\mid\alpha,\beta\in\mathbb{R}\} \)

Las ecuaciones cartesianas del subespacio propio \( V_1 \) asociado al valor propio \( \lambda_1=1 \) vienen dados por \( (T-1I)X=0 \) o equivalentemente

          \( \begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{3}&{-5}&{1}\end{bmatrix}\left [ \begin{array}{ccc}   x_1 \\   x_2 \\   x_3 \end{array}  \right ]=\left [ \begin{array}{ccc}   0 \\   0 \\   0 \end{array}  \right ] \)

en consecuencia, \( V_1\equiv 3x_1-5x_2+x_3=0 \).

Y para formar todas las de dimensión 3 sería, \( \mathbf{W}=\{\alpha\mathbf{w}_1 +\beta\mathbf{w}_2,\gamma\mathbf{w}_3\mid\alpha,\beta,\gamma \in\mathbb{R}\} \), basandote siempre que esos vectores son los autovectores de A, no? Sí, creo que estoy en lo cierto acá, pero hice la pregunta, me sirve para confirmar, jaja.

Los tres vectore son linealmente independientes y sean o no vectores propios generan al espacio total \( V \), que es trivialmente invariante.